初中数学辅导中考总结复习冲刺：初中数学“最值问题”集锦

2013中考总结复习冲刺练：“最值问题”集锦

•平面几何中的最值问题..............01

・几何的定值与最值..................07

・最短路线问题.......................14

•对称问题...........................18

•巧作“对称点”妙解最值题..........22

•数学最值题的常用解法..............26

•求最值问题.........................29

•有理数的一题多解..................34

•4道经典题.........................37

•平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题.如果把最值问题和生

活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率.下面介绍几个简例.

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值

问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

(1)应用几何性质：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：

①运用配方法求二次三项式的最值；

②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线I的同侧，在直线L上取一点P,使PA+PB最小。

变式:匕声］两点/独生直娃人的西恻，在直"FU上卵麻P史山H最大・•

♦A

_________________L

B,I

分析：在直线L上任取一点P',连结AP',BP',

在AABP'中AP'+BP'>AB,如果AP'+BP'=AB,则P'必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。

取点A关于直线L的对称点A',则AP'=AP,

在AA'BP中A'P'+B'P'>A'B,当P'移到A'B与直线L的交点处P点时A'P'+B'P'=A'B,所以这时PA+PB最小。

1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周

长最大(图3-91)?

图3-91

分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R.由于AB||CD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只

须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.

解作DE±AB于E,则x2=BDz=ABBE=2R(R-y)=2R2-2Ry,

2R2-x2

所以

2R2-x2

u=x+y+R=x+————+R

所以2R

x2+2Rx+2R2

=---------------------+R・

2R

所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.

-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2<3R2,

上式只有当x=R时取等号，这时有

2R2-x22R2-R2R

所以2y=R=x.

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C,D,

这时，梯形的底角恰为60°和120°.

2.如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？

图3-92

分析与解设x表示半圆半径，v表示矩形边长AD,则必有2x+2y+jrx=8,

8-%x-2x

尸一，

若窗户的最大面积为S,则

S=2xy+g%xt②

把①代入②有

8--2x1

S=2x•-------------+-%x20

22

=8x-%x2-2x2+T-TTX2

2

=8x-(2+今x?

=_士.一2丫+工

2l4+冗)4+冗

4+客

上式中，只有x=S时，等号成立.这时，由①有

4+兀

(88)1

y=8-7f•--------2•-------X—

14+冗4+%/2

8

=------=X,

4+兀

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.

3.已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大（图3-93）?

分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限

状况（P与A重合时）等于AB.因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值.

设P为半圆弧中点，连PB,PA,延长AP至ljC,使PC=PA，连CB,贝I]CB是切线.

为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P',连PA,P'B,延长AP'到C',

使PC，=BP',连C'B,CC',贝IJNP'C'B=NP'BC=NPCB=45°,

所以A,B,C',C四点共圆，所以NCC'A=NCBA=90°,

所以在AACC，中，AC>AC',即PA+PB>P'A+P'B.

4如图3-94,在直角SBC中，AD是斜边上的高，M,N分别是，、ABD,4ACD的内心，直线MN交AB,AC于K,L.求证：S-

ABC^2SiAKL.

证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.

因为在AABC中，NA=90°,AD±BC于D,

所以zABD=zDAC,zADB=zADC=90°.

因为M,N分别是AABD和AACD的内心，所以

z1=22=45°,z3=z4,

所以AADN-ABDM,

DM_BD

DN=AD"

又因为NMDN=90°=/ADB,所以AMDN-ABDA,

所以NBAD=NMND.

由于NBAD=4CD,所以zMND=zLCD,

所以D,C,L,N四点共圆，所以zALK=zNDC=45°.

同理，NAKL=N1=45°,所以AK=AL.因为△AKM•ADM,

所以AK=AD=AL.而

AC,S^^AD-AL^AD2,

而

,AC2ABaAC2•AB2

AD2=-----------=---------------

BC2AB2+AC2

从而

s=1AC•AJB♦AC*AC

0<1AKL2mAB2+AC2

,I11

45AB.AC•-=-siABC(

所以S-ABC^S-AKL.

5.如图3-95,已知在正三角形ABC内（包括边上）有两点P,Q.求证：PQ<AB.

证设过P,Q的直线与AB,AC分别交于Pi,Qi,连结PiC,显然，PQ2PiQi.

因为，AQIPI+NPIQIC=180°,

所以NAQFI和NPIQIC中至少有一个直角或钝角.

若NAQIP1W90°,贝I]PQVPiQiSAPiVAB;

若NPIQ£W90°,则PQVP1Q1VP1C.

同理，NAPIC和/BPiC中也至少有一个直角或钝角，不妨设NBPICN90°,

则PiC<BC=AB.

对于P,Q两点的其他位置也可作类似的讨论,因此，PQ<AB.

图3-95

6.设AABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线I,顶点B,C至4I的距离设为di,ch,求ch+ch的最大值（1992年上海初中赛

题）.

c

lz

D1

B

图3-96

解如图3・96,延长BA至IJB',使AB=AB，连BC,则过顶点A的直线I或者与BC相交，或者与BC相交.以下分两种情况

讨论.

⑴若I与BC相交于D,则

5(d]+da)•AD=+S&际

43%

=S&ABC彳♦36,

所以

18gL18-73

d.+d2=-^-<^-=6.

12AD3、S

只有当l±BC时，取等号.

⑵若r与BC相交于D\则

5(d]+d2),AD'=$ABD，A+‘AACD，

=s+s=s

“△BDA24ABC'

所以

d]+d2K---=6A注

上式只有I'JB'C时，等号成立.

综合(1),(2),由+%的最大值为6、%

7.如图3・97.已知直角“kOB中，直角顶点0在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO,B0分别与单位圆交于C,D.试求四

边形ABCD面积的最小值.

图3-97

解设。。与AB相切于E,有0E=1,从而

AB=OE*AB=AO*0B

AO2+BO2(AO-BO)2

=22

/AO2+BO2AB2

%-------------=------

22

即AB>2.

当AO=BO时，AB有最小值2.从而

11

SABCD=万AC♦BD=-(1+OA)(1+BO)

1

=-(l+AO+BO+AO*BO)

+2JAO♦BO+AO♦BO)

=1(1+TAO•BO)2=1(1+7OE•AB)2

=1(I+7AB)2>|(I+72)2

=%3+2回

所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为

33+2点).

・几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问

题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证

明.

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，

求几何最值问题的基本方法有：

1.特殊位置与极端位置法；

2.几何定理（公理）法；

3.数形结合法等.

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确），解

题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.

【例题就解】

【例1】如图，已知AB=10,P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边“PC和等边4BPD,则CD

长度的最小值为.

思路点拨如图，作CC-iAB于C,DD-1AB于D',

DQ_LCC',CD2=DQ2+CQ2,DQ=』AB—常数，当CQ越小，CD越小，

2

本例也可设AP=x,则PB=10-x,从代数角度探求CD的最小值.

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：

（1）中点处、垂直位置关系等；

（2）端点处、临界位置等.

【例2】如图,圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T,圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能

的圆的位置而言，MTN为的度数（）

A.从30°到60°变动B.从60°到90°变动

C.保持30°不变D.保持60°不变

思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，

其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断.

注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，

动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变

化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，

研究的量取得定值与最值.

【例3】如图，已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b（a）,P为AB边上的一动点，

直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.

思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式+庐±2帅（当且仅当a=6时取等号）来求最小值.

【例4］如图，已知等边AABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、VI相交于K，直线CB与AM相

交于点N,证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关…

思路点拨即要证AK-BN是一个定值，在图形中AABC

的边长是一个定值，说明AKBN与AB有关，从图知AB为

△ABM与AANB的公共边，作一个大胆的猜想，AKBN=AB2,

从而我们的证明目标更加明确.

注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问AK

【例5］已知AXYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（/Z=90°）,它的三个顶点分别在等腰RtAABCJC=90°）的三边上，求《ABC

直角边长的最大可能值.

思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）上,当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最

大值，当顶点Z在（AC或CB）上时，设CX=x,CZ=y，建立x,}•的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值.

注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方

法求解.常见的解题途径是：

（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；

（2）构造二次函数求几何最值.

学力训练

1.如图，正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，

垂足分别是B'、C'、D',则BB'+CC'+DD'的最大值为,最小值为.

2.如图/AOB=45°,角内有一点P,PO=10，在角的两边上有两点Q,R（均不同于点0），则APQR的周长的最小值为

3.如图，两点A、B在直线MN外的同侧A到MN的距常AC=8B到MN的距席BD=5,CD=4,P在直线MN上运动则

的最大值等于.

（第1题）（第2题）（第3题）

4.如图，A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，©0的半径为1,则AP+BP的最小值为

（）

A.1B.—C.V2D.V3-1

2

5.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是（）

A.2/1+MB.2jl+4Mc.Wl+MD.2J4+/

6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点，E,F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R

不动时，那么下列结论成立的是（）

A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定

（第4题）（第5题）,〈第6题）

7.如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和

等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.

（1）求证：MN||AB;

（2）若AB的长为10cm,当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C,使线段MN的长度最长？若存在，请确定C点的位

置并求出MN的长；若不存在，请说明理由.

（2002年云南省中考题）

D

ACB

8.如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，1\4是5丁的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到

什么位置，NSPM是一定角.

9.已知AABC是。。的内接三角形，BT为。。的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点

E,交直线AC于点F.

⑴当点P在线段AB上时（如图），求证：PAPB=PEPF;

（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由.

10.如图，已知；边长为4时止方形截去一用法,刀力以形AbCUtz,具印Ab=2,BF=I,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最

大面积，则矩形PNDM的面积最大值是（）

A.8B.12C.——D.14

上AB于点B,AB=2;AC=1,BD=3,P是半圆上的一个动点，

c（第】。题）（第U题）L

A.2+MzD.I+V,4U.D+vzu.-VJ+v2

12.如图，在AABC中，BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将SBC分成面积相等的两部分，

试求这样线段的最小长度.

（第12题）（第13题）

13.如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求

四边形PUQV面积的最大值.

14.利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为I0米的圆，问如

何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽），才能使矩形花坛的面积最大？

15.某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场（平面图如图所示）.其中，正方形MNPQ与四个相

同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方米.

（1）设矩形的边AB=x（米）,AM=y（米）,用含x的代数式表示y为.

（2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方

米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元.

①设该工程的总造价为S（元），求S关于工的函数关系式.

②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由.

③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案；若

不能，请说明理由.

（镇江市中考题）

16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形'荒地ABCDE,边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划

出这块地基，并求地基的最大面积（精确到1m2）.

参考答案

1如恻咖

im]

阳5CgDff+Cf,当8=咽：孙力仙鲫蒯⑪触财加.

«2仙嬲心梃/腕麻（X其岫60°

M…AADFV八ADDA/皿gAD'BP/F）

阳蚣AWABPQ，际祠ADMBQ=-^-=-y

；,AP+BQ=H—=H--iV升电沟*=2业

IIIVI

:,鸵除=：W产阚让播触,魁AP=v®&+BQ卧期佛2向力

,：4MK=/C=/CAB=/K+dBK,/AMK=/MAB&ABK」,/K=4AM=/BAM朋/A8K=

d，融ABWABNA甫那=《MK,册=AB熊f），WAK与肺的釉联M糖就主

D1VAD

阳⑴嫄1,麻Z檎肚加H的中由M,缸M,ZM,CZ,并WAB上楣CN卿CZ<CM+MZ=/y+by

uL

=1严叔（XCZ翩CN慈,CA=5CN@

（2）嫄2,岫Z植触球（贪CB出峭触，确麓MA上我CXfCZ』轼昨YH1CA于H,

雅A加纳XZC，HHZ=CX=」,昨口”加册招髓归虢韶叼,痴=皿出

=播产Hy述MCXZ中产+（卜2科=1中5尸蜘+卜闫,购防频,骷=16卜2。（卜

1）=2（H碘0长点卅二融度”，尸£，豁⑴、（2咖小睚施城，

00

倬尴】

1.墟削普MI曾优二DD』肽明目酷邪《I我犯ACBB'+DDRD常肺

tf=o,

2,峨3.5

4.C愠奸MN毓触从限曲刎吁斜'删版岫麻AP+PB期懒曙党BOA'期就

=/0BW=i,

5.A6,C

7，。）轴）颤拗储郦删AC『,MN=y；棚幽:法孰占拒产?用

乩乩IXVIIV

+2,5（0<i<10）（当产血比加=2,而，

8.麟0S、0T、（M闻0+徽珊+心邮,：SR（W联即；谶=酬山物，财

力播艇电力趟蚣0T为海为0T确施MSPM*魏

Ml）WAPMwAPBEiQ）邪力BA秣肚-期和）鼬就AB敝.

ID.B期舲

11.A速山麟ABCD糖上%辗期JI牖糊尢期MPD虢歌AjjDCd以上糖版」就

90

。利E；DC斛鼾卜叨加力MPD中CD肚肺卧必期40E;客或W=0E-*=

VV

和7s鸣产ba

11姻力他包广3。触帧速于限婀=附=黑2%嬲"出小,旧与

3M3II

到一段加力阳睁=升生当）2=三生）中以2』啦2林傩膝岫DE肺妓为

工31315

==

13・加图，连W…AU"DVt:・S△ypvS^ADP»S△卿=S△BQCI•*•S阳vS^MD+5&处,作PEJ_

AD于E，QFJ_BC于F,设「£=工及尸=?,5鼬京烟=4(工+》),设AU=a,DV=6,则三+中

Lab

=DE十AE，M舟同理产图第二吗％3卡力

(1-。)(1-储_(。+6)-(#+1)_2(a+b)-N-lTd+H)<2(a+b)-。2-"2。6_

2-'2(fl+6)(2-a-6)4(a+b)(2-〃-6)、4(a+6)(2-。一加

盖黯胃=:，等号当且仅当a=b时成立面四边形PUQV面积的最大值是十

乩⑴如图◎◎是两个相同的财器所在位置,ABCD是设计雕形妹，设短形边长AD=

工米冽PQ=AD=r米，在R3EQ中,0甫=/O^-QE2=J102-(y)2=1

VLL

T

J40QT,：,圆心电01a=201E=y4007,AB=2O:O2=2而F7".矩形面积

S=2z7400-?(0<1<20),^'.'S2=4?(400-?)=-(2?-400)J+400!,；.当2?

-400=0lt，S2才最大，此时r=10仞米)S才最大,S的最大值为400.

从而，符合要求的设计是两个麻雕更高为0。力400—(1。监)『10监(米)点形两边长AD=10/米,AB=

2。麻施形花坛有量大酬.

QAA-J

15.⑴产吟上(0CK2。收)；

41

(2)。S=2100?+105X^+40X4XY/=2000?+^^+76000(0<I<20#),®S=2000(?+^2-80)+

LII

?6000+2000X80=2000(X--)2+236000>235000).1.财摄行髓稚瓢虹壮睇任务，.由5=23500。

X

I

QOAAAAf)

+73000=308000雨2咖/+孥+7削0=30800。潞得i=10或产4丽应的福例I如=17,5,尸49,雌

什族为血施M岫长机。米，酎桐的撕调般微加伪立5桶1。焉酎桐的三角胆城

睡岫长般口，5米，

27方腿蜘好为珠那桐的麟蹒琳和宽用伪49耦珠册桐的三螂区疑直岫

长岫49米，

16.如断以直线KAE储|仙机孀建立直角也标KBC,AE为正方向卢赁单应为

米酒发A8脱程加=-*+2。,首先考庶与0不搬^氏灯在血上的储必

V

o92220

fflF(i)20-4z),(0<i<30))S=(100-i)[80-(20-Ti)]=-rx+Txl6000

=-7(x-5),+6016p朝当工=5,y=204M7时忌询7m,就格

3sJ

F在AE虹C上的雌，此瓶林肺和是脚W和56服?,依靛F(5,17)左

既翻肌Q面,

・最短路线问题

通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种

限制条件的最近路线即最短路线问题.

在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面

体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最

短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱

柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.

这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的.例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如

何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之

间不超过半个圆周的弧线就是所求的A,B两点间的最短路线，航海上叫短程线.关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲.

在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线.像

这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法.

例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员

选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.

B

A，

解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.

作点A关于河岸的对称点A',即作AA'垂直于河岸,与河岸交于点C,且使AC=A'C,连接A'B交河岸于一点P,这时P点就

是饮马的最好位置，连接PA,此时PA+PB就是侦察员应选择的最短路线.

证明：设河岸上还有异于P点的另一点P',连接P'A,P'B,P'A'.

:P'A+P'B=P'A'+P'B>A'B=PA'+PB=PA+PB,

而这里不等式P'A'+P'B>A'B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，

所以PA+PB是最短路线.

此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A'B,所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法

等.看下面例题.

例2如图一只壁虎要从一面墙壁a上A点，爬到邻近的另一面墙壁B上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的

路线呢？

解：我们假想把含B点的墙0顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙a处在同一平面上，此时B转过来的位置记为g,

B点的位置记为B',则A、B，之间最短路线应该是线段AB',设这条线段与墙棱线交于一点P,那么，折线4PB就是从A点沿着两扇

墙面走到B点的最短路线.

证明：在墙棱上任取异于P点的P'点，若沿折线AP'B走，也就是沿在墙转90。后的路线AP'B，走都比直线段APB，长,所以折线

APB是壁虎捕蛾的最短路线.

由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在

同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线.

例3长方体ABCD—A'B'C'D'中，AB=4,A'A=2',AD=1,有一只小虫从顶点D'出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样

爬距离最短？（见图（1））

(1)⑵(3)

解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D'、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面

上D,B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D'点出发，到B点共有六条路线供选择.

①从1点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2））,这时在这个平面上D'、

B间的最短路线距离就是连接D'、B两点的直线段，它是直角三角形ABD'的斜边，根据勾股定理，

D'B2=D'A2+AB2=（1+2）2+42=25,:,D'B=5.

②容易知道，从D'出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距康也是5.

③从D，点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D，、B两点间的

最短路线（上页图（3）），有：

D,B2=22+（1+4）2=29.

④容易知道，从D'出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距席的平方也是29.

⑤从D，点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D，、B两点

间的最短路线（见图），

D'B2=（2+4）2+12=37.

⑥容易知道，从D，出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37.

比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D'点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2））,

或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度.

利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻

的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平

面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B,P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线.

圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线.因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着

很广泛的应用.如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题.

例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问

沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？

解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A'、B'分别与

A、B重合），连接AB',再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB'在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路.

圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线.请看下面例题.

例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为A。的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.

B/-W

解：将圆锥面沿母线A。剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A'、B'分别与A、B重合），在扇形中连

AB',则将扇形还原成圆锥之后，AB'所成的曲线为所求.

例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是

12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米.如果蚂蚊爬行的是最短路线，应

该怎么走？路程总长是多少？

分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F,使DF=BD,

即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F,用F代替B,即可找出最短路线了.

EF

r---_~

解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直线CD的对称点F,连结AF,交桶口沿线CD

于0.

因为桶口沿线CD是B,F的对称轴，所以OB=OF,而A、F之间的最短线路是直线段AF,又AF=A。+OF,那么A、B之间

的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外爬到。点后，转向桶内B点爬去.

延长AC至IJE,使CE=DF,易知"AEF是直角三角形,AF是斜边，EF=CD,根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2=（12

+8）2+152=625=252,解得AF=25.

即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.

例7A,B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择

合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短.

分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线.由于桥的长度相

当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值.因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，

找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决.

解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，

D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点.即两村的最短路程是AE+ED+DB.

例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再

到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？

解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A'和B',连结A'、B'分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A-E

-F-B-A是最短路线，即最短路程为：AE+EF+FB+BA.

证明：由对称性可知路线ATETF—B的长度恰等于线段AB，的长度.而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，

利用对称方法都可以化成一条连接A：B，之间的折线，它们的长度都大于线段AB\例如上图中用“•一•一•”表示的路线A-E'F'B的

长度等于折线AEFB的长度，它大于AB，的长度，所以ATETFTB—A是最短路线.

•对称问题

教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对

称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。

教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。

一、点关于一条直线的对称问题

问题超