初中数学旋转难题

1、如图13—1,一等腰直角三角尺颇1的两条直角边与正方形/腼的两条边分别重合

在一起.现正方形4?勿保持不动，将三角尺呼绕斜边绪的中点。（点。也就是加中点）按

顺时针方向旋转.

⑴如图13-2,当EF与屈相交于点M,即与初相交于点川时,通过观察或测量BM,FN

的长度,猜想BM,/W满足的数量关系,并证明您的猜想；

（2）若三角尺颇1旋转到如图13—3所示的位置时，线段"的延长线与4?的延长线相交

于点M线段劭的延长线与6F的延长线相交于点N,此时，（1）中的猜想还成立不？

若成立,请证明；若不成立,请说明理由.

、N

2、（10河北I）在△/笈中，4户4CCG，物交力的延长线于点C.一等腰直角三角尺按如图15-1

所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与46■边在一条直线上，另一条直角

边恰好经过点B.

⑴在图15T中请您通过观察、测量法与位的

长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系，

然后证明您的猜想；

（2）当三角尺沿/C方向平移到图15-2所示的位置时,图15-1

一条直角边仍与4C边在同一直线上,另一条

直角边交8c边于点D,过点〃作DEJLBA于

点£此时请您通过观察、测量DE、DF与CG

的长度,猜想并写出DE+DF与龙之间满足

的数量关系,然后证明您的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿4C方向继续平

移到图15-3所示的位置（点尸在线段4C上,

且点尸与点。不重合）时，（2）中的猜想就是否

仍然成立？（不用说明理由）

3、(2010梅州)用两个全等的正方形A8CO与COEE拼成一个矩形ABEF,把一个足够大

的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点。重合,且将直角三角尺绕点D按逆

时针方向旋转.

(1)当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABE尸的两边BE,EF相交于点G"时，如图

甲，通过观察或测量8G与E”的长度，您能得到什么结论？并证明您的结论.

(2)当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EE的延长线相交于点G"时(如图

乙)，您在图甲中得到的结论还成立不二简要说明理由.

H

图甲图乙

4、(09烟台市)如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别就是边AD,CD上的两个动点,

且满足AE+CF=2、

⑴求证：△BDEgZiBCF;

(2)判断4BEF的形状,并说明理由；

⑶设ABEF的面积为S,求S的取值范围、

5、如图①，四边形AEFG与A8CO都就是正方形，它们的边长分别为a,且点

产在AO上(以下问题的结果均可用a,〃的代数式表示).

⑴求S&DBF；

(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的;

⑶把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中,Sa。.就是否存在最大值、最小值？

如果存在，直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.

6、如图，在边长为4的正方形A5CD中，点P在AB上从A向B运动，连接QP交AC于点

Q.

(1)试证明:无论点P运动到A5上何处时，都有△ADQ^LABQ-,

(2)当点P在上运动到什么位置时,△AOQ的面积就是正方

形ABCO面积的L；

6

⑶若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整

个运动过程中，当点P运动到什么位置时,△AOQ恰为等

腰三角形.

1、解:⑴BM=FN。

证明:「AGEF就是等腰直角三角形，四边形ABCD就是正方形,

..NABD=NF=45°,OB=OF,

又.NBOM=NFON,

...△OBM学OFN,

.-.BM=FN;

(2)BM=FN仍然成立。

证明:「AGEF就是等腰直角三角形，四边形ABCD就是正方形,

.•.zDBA=zGFE=45°,OB=OF,

.-.zMBO=zNFO=1350,

又.NMOB=NNOF,

.“OBM学OFN,

.-.BM=FN0

2、

解：(1)BF=CG；

证明：在-ABF和-ACG中，

o

vzF=zG=90,zFAB=zGACrAB=AC,

.“AB0ACG(AAS),

.-.BF=CG;

(2)DE+DF=CG;

证明：过点D作DH_LCG于点H(如图)

•••DE_LBA于点E,zG=90°rDH±CG,

四哪EDHG^J^,

,-.DE=HG,DHllBG,

/.zGBC=zHDC,

•.AB=AC,

.-.zFCD=zGBC=zHDCr

又•.NF=NDHC=90。，CD=DC,

.“FD8-HCD(AAS),

.-.DF=CH,

.-.GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG;

(3)仍然成立.

3、解:⑴BG=EH.

.•四边形ABCD与CDFE都就是正方形，

.•.DC=DF,zDCG=zDFH=zFDC=90°,

•••zCDG+zCDH=zCDH+zFDH=90°,

.-.zCDG=zFDH,

.-.ACDG^FDH,

.-.CG=FH,

•••BC=EF,

.-.BG=EH.

(2)结论BG=EH仍然成立.

同理可证^CDG2△FDH,

.•.CG二FH,

・・,BC二EF,

.-.BC+CG=EF+FH/

.*.BG=EH.

4、

(1)证明：

•.•鳏ABCD的边长为2,BD=2,

.一ABD和-BCD都为1EH角形，

.-.zBDE=zBCF=60°,BD=BC,

•「AE+DE=AD=2,而AE-CF=2,

・・・DE=CF,

・・・-BDE年BCF;

(2)解：-BEF为正三角形.理由:

•.•-BDE即BCF,

.-.zDBE=zCBFrBE=BF,

•/zDBC=zDBF+zCBF=60°r

.•.NDBF+NDBE=600即NEBF=60"

.•.-BEF为正三角形；

(3)解：设BE=BF=EF=x,

贝US=ax*sin60°=4x2,

当BE_LAD时,x最小=2xsin6(T=b,

「.S最小=(x(如)2=,

当BE与AB重合时，渥大=2,

4

.•邛<s<«.

B

5

(1),・,点F在AD上,

222

.,.AF=4+4,即AF=4、5r

/.DF=12-4N2,

11——

•,•S_DBF=-DFXAB=-X(12-4^2)X12=72-24^2；

22

..臼题意易知AF#BDf

四边形AFDB是梯形，

・・・-DBF与-ABD等高同底,即BD为两三角形的底r

由AF4BD,得到平行线间的距离相等，即高相等，

•，•S-DBF=S-ABD=72;

（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，哺的轨迹是以点A为园心fAF为半径的园,

因为-BFD的边BD=12丘,故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S_BFD取得最大、最小值.

如图②fi^DF2J_BD时，S_BFD^^^^=S-BF2D=-X12N2>（6、2+4、2）=120,

2

1---

$_也的最小值二$的2。=一乂1272・（6、2小2）=24;

6

解：(1)在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时r

都有AD=ABS^DAQ=Z.BAQ,AQ=AQ

/.-ADQ^-ABQ;

(2)-ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的工时，

6

过点Q作QEJ_AD于E,QF，AB于F,

则QE=QF

11O

2ADXQE--^>^^ABCD=-

.・@=g

由-DEQ-DAP得丝=竺

APDA

解得4尸=2

.,月尸=