初中数学向量的线性运算强化练习2

初中数学向量的线性运算强化练习2

学校:姓名：.班级：考号：

一、单选题

1.下列判断不正确的是（）

A.a+b=b+aB.a-a=0

C.如果d=h5（k*0）,那么D.如果|万|=|5|,那么万=很

2.下列各量中是向量的是（）

A.时间B.速度C.面积D.长度

3.设"为单位向量，同=2,则下列各式中正确的是（）

—1-

A.a=2eB.C.|6z|=2|e|D.-a=+\

2

4.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,向量而一而=（）

B.BC

C.CB

D.AD

5.在矩形ABC。中，下列结论中正确的是（）

c.西=|西D.

6.已知一个单位向量入设2、B是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）

1--1r1r

CD.口。可

7.已知|£|=3,己1=4,且「与「方向相反,如果用向量B表示向量那么结果是

()

_3-「-3--c-4-

A.a=~bB.=~~bC.a=-hD.a=~~b

4a433

8.已知I和1都是单位向量，下列结论中，正确的是（）

A.…B.^=0C.同+同=2D.et+e2=2

二、填空题

9.如图，点。是△ABC的边CB上的点，CD=2BD.设/=万，CB=b，则而=

一.（用含有。和匕的式子表示）

10.在平行四边形ABCD中，AB=DC=（l,1）,焉历i+七80=熹f8Z5,则四边

A?C\BD\

形ABCD的面积是.

11.如图，已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延

长线交于点F.设丽=£,反那么向量而用向量£、B表示为.

ABF

12.如图，在〃ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC=3BE,设

BF=a，BE=b，那么将下列向量表示5的分解式：

（1）AD=;（2）BD=；（3）~EA=;（4）OC=

13.如图，已知点O是正六边形ABCOEP的中心，记而=元，OF=n，那么丽=

（用向量方、［表示）.

14.若［与单位向量工方向相反，且长度为3,则公=（用单位向量工表示向量

15.计算：-（a-2b）+2b=

2

16.如图，在平行四边形ABCC中，点M是边C。中点，点N是边BC的中点，设

AB=a，BC=b，那么丽可用W，B表示为.

三、解答题

17.一条渔船距对岸4km,以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船

的实际航程为8km,求河水的流速.

18.计算：（2a+3b-c）-2（3a-2b+c）.

19.如图，将平行四边形ABCD的边BC延长至点E,使CE=BC,点F为边AD的中

点，联结AE、BF,AE与BF相较于点G,设点=£,BC=b.试直接用向量£、b

表示向量无？、BF^FG.

UUUX1

20.已知：如图，EF是AA8C的中位线，设立=万，BC=b.

（1）求向量繇、EA（用向量£、6表示）；

（2）在图中求作向量而在南、正方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所

21.如图，在平行四边形A8CO中，对角线AC、BD相交于点O.E为OC的中点,

连接BE并延长，交边CD于点F,设丽=。，BC=b.

（1）填空：向量荏=;

（2）填空：向量乔=,并在图中画出向量而在向量丽和及方向上的

分向量.

（注：本题结果用含向量2、5的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表

示结论的向量）

22.如图，点E在平行四边形的对角线80的延长线上.

（1）填空：DA+DC=;

AE-BC=;

（2）求作：AB+DE（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）.

参考答案:

1.D

【解析】

【分析】

由题意根据平面向量的线性计算和平行线的性质进行分析判断即可.

【详解】

解：A、a+b=b+a，计算正确，不符合题意；

B、a-a=6,计算正确，不符合题意；

C、如果1=%0(％*0),那么彳〃5,推断正确，不符合题意；

。、如果|町=|5|,只能判断两个向量的模相等，不能推断出两个向量共线，即判断不正

确，符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量和平行线的性质，注意掌握两个向量的模相等，但不一定是共线向

旦

里.

2.B

【解析】

【详解】

根据向量的概念进行判断即可.

解：既有大小，又有方向的量叫做向量；

时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量.

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量.

故选：B.

此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容.注意数学知识与实

际生活之间的联系.

3.C

【解析】

【分析】

根据e为单位向量，可知忖=1，逐项进行比较即可解题.

答案第1页，共13页

【详解】

解：•."为单位向量,

A中忽视了向量的方向性，错误

B中忽视了向量的方向性，错误

C中,：忖=2,忖=1,

.••同=2忖,正确,

D中忽视了向量的方向性，错误

故选C.

【点睛】

本题考查了向量的应用，属于简单题，熟悉向量的概念是解题关键.

4.B

【解析】

【详解】

解：由题意可知，AC-AB=BC，

故选：B.

根据向量减法的三角形法则可得答案.

本题主要考查的是向量的减法及其几何意义，掌握向量减法的三角形法则是解题的关键.

5.C

【解析】

【分析】

根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可.

【详解】

相等向量：长度相等且方向相同的两个向量.

A.入月=-弓方,故该选项错误；

B.|^c|=|fiD|,但方向不同，故该选项错误；

c.根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以|%4=忸4，故该选项正确；

D.BO=OD，故该选项错误;

答案第2页，共13页

故选：c.

【点睛】

本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键.

【解析】

【分析】

由工是一个单位向量，可得#=1,即可判断A；根据题目并没有告诉£、B的长度和方向,

即可判断B、C、D.

【详解】

解：••屋是一个单位向量，

A、；,=1,"，故A选项符合题意；

B、题目并没有告诉B的长度和方向，无法推出卜卜=1，故B选项不符合题意；

1T-

C、题目并没有告诉B的长度和方向，无法推出同b=e,故c选项不符合题意;

1r1[

D、题目并没有告诉入B的长度和方向，无法推出百"二布”,故D选项不符合题意;

故选A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量，熟知平面向量的相关知识是解题的关键.

【解析】

【分析】

设向量）为单位向量，向量公与单位向量"的方向相同，根据平面向量的定义即可解决问

题.

【详解】

解：设向量"为单位向量，向量£与单位向量"的方向相同，

则a=3e»

答案第3页，共13页

B与Z方向相反，

b=—4e，

-一-3

••a=~~b7

4

故选：B

【点睛】

本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

8.C

【解析】

【分析】

根据单位向量的定义：模为1的向量为单位向量即可得到同=同=1,又由题意并没有指

明不与［的方向即可求解.

【详解】

解：•••】与1都是单位向量，

二同=同=1，

.•.同+同=2,故C选项符合题意;

•••题目并没有指明I与1的方向，

，并不能得到A、B、D选项中的结论，故A、B、D选项不符合题意；

故选C.

【点睛】

本题主要考查了单位向量的定义，熟知单位向量的定义是解题的关键.

一2f2--

9.〃+—B##—B+Q

33

【解析】

【分析】

由已知条件求得而，根据三角形法则求得而，在△ABZ）中利用三角形法则求解即可

【详解】

解：VCD=2BD,CB=b

答案第4页，共13页

BD=-CB=-b

33

VAC=a>CB=h，

AB=AC+CB=a+b

___________j__2一

AD=AB-BD=a+b——b=a-\--b

33

-2-

故答案为：a+—b

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，掌握三角形法则是解题的关键.

10.石

【解析】

【分析】

1丽+上而=昌丽,

先由网四即可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分NABC,四

边形ABCD是菱形，其边长为及，且对角线BD等于边长的#倍，然后根据30。角所对

应的直角边是斜边的一半，可得到NABD=60。，求得三角形的面积.

【详解】

1—.1——6——

解：；I__.1BA+...BC=.BD

同\BC\\BD\

・•・平行四边形ABCD的角平分线BD平分NABC

・・・四边形ABCD是菱形，其边长为0,且对角线BD等于边长的百倍，

ZABD=60°,

SABCD=（四）-=g

故答案为由.

【点睛】

本题考查了向量与简单的几何问题相结合，通过向丽+向前=裔而得到四边形

ABCD是平行四边形且对角平分线BD平分NABC是关键.

11.a+2b

【解析】

答案第5页，共13页

【详解】

【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF,故

AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行解答.

【详解】如图，连接BD,FC,

,/四边形ABCD是平行四边形，

；.DC〃AB,DC=AB,

.,.△DCE^AFBE,

又E是边BC的中点，

.DEEC1

•.==一,

EFBC1

,EC=BE,即点E是DF的中点，

四边形DBFC是平行四边形，

；.DC=BF,故AF=2AB=2DC,

^DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b，

故答案是：a+2h-

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，向量运算等,

熟练掌握相关判定与性质定理是解题的关键.

___3-

12.3b2a+3b2a-h-«+~

【解析】

【分析】

先利用平行四边形的性质求出各边之间的关系，再利用向量混合运算法则一一求出即可.

【详解】

由平行四边形ABCD可知：AD=BC,OC=-AC,

2

因为点F是AB的中点，BC=3BE,

所以BA=2BF,BC=3BE.

答案第6页，共13页

(1)AD=BC=3BE=3b;

(2)M=2BF=2a

BD=BA+AD=2a+3b;

(3)EA=EB+BA=(-BE)+BA=-b+2a；

(4)AC=AB+BC=(-BA)+AD=-2a+3bt

一1一_3—

OC=-AC=-a+—b.

22

【点睛】

本题考查向量的混合运算及其几何意义，是基础题.解题时要认真审题，注意数形结合思

想的灵活运用.

13.-K-n

【解析】

【分析】

根据正六边形性质，得AOE户为等边三角形，根据平行线性质，得FE//OD；结合向量性

质，得厚=丽，再根据向量性质计算，即可得到答案.

【详解】

CD

•.•六边形ABCDEF是正六边形，

360°

ZEOD=ZEOF=——=60°,OE=OF=OD=OB

6

二FE=OE=OF=OD

:.AOEF为等边三角形

：.ZOEF=ZEOF

：.FEHOD

；•FE=OD

OE=OF+FE—7r+n

答案第7页，共13页

OB=—OE=-7t—n

故答案为：-兀一n.

【点睛】

本题考查了正多边形、等边三角形、平行线、向量的知识；解题的关键是熟练掌握正多边

形、向量的性质，从而完成求解.

14.-32

【解析】

【分析】

根据i与单位向量"的关系，即可求解.

【详解】

与单位向量工方向相反，且长度为3,

a=—3e-

故答案是：-3e.

【点睛】

本题主要考查用单位向量表示其他向量，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.

15.-ci+b

2

【解析】

【分析】

先去括号，然后合并同类项即可.

【详解】

1__

解：-(a-2h)+2h

2

=—a-—x2L+2b

22

1-

=­a+hr

2

1_-

故答案为：3a+b.

【点睛】

本题考查了向量的线性运算.解题的关键在于理解向量的数乘与加减运算.

答案第8页，共13页

1-1-

16.—a——h

22

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质和线段的中点，可用£表示出祝，用B表示出函，再根据

MN=MC+CN,即可用£和坂表示出丽.

【详解】

,•*BC=5，

.UUI

••CB——b•

•••四边形ABCD是平行四边形，

•**CD=AB=a，

•・•点M是边CD中点，点N是边8C的中点，

—•1—1——-1-.1-

：.MC=-AB=-a,CN=-CB=——b,

2222

：.MN=MC+CN=-a+(--b)=-a--b.

2222

1-1-

故答案为：—<7--.

22

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，线段的中点和向量的线性运算.利用数形结合的思想是解答

本题的关键.

17.2y/3km/h

【解析】

【分析】

由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速.

【详解】

解：如图，设而表示船垂直于对岸的速度，能表示水流的速度，

则由通+元=蔗，正就是渔船实际航行的速度,

航行的时间为4+2=2(刈,

答案第9页，共13页

在R/A48c中，|AB|=2lan/h,\AC\=8^2=4hn/h,

.,.西=2辰w//?

【点睛】

本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形以及勾股定理模型的应用，数形结合是

解答本题的关键.

18.lb—4a—3c

【解析】

【分析】

根据向量的计算法则与实数运算基本相同，先去括号，再合并同类项即可解答.

【详解】

(2a+3h-c)-2(3“-2b+c)

=2a+3b—c—6a+4b—2c

=7b-4a-3c-

【点睛】

本题考查了向量的运算，熟练掌握向量的运算法则是解答的关键.

19.AE=a+2bBF=；B-aFG=-^Z>+^a

【解析】

【分析】

根据向量的性质求解即可

【详解】

AE=AB+BE=AB+2BC=a+2b:BF=AF-AB=^BC-AB=-b-3；FG=|BF=1a-^b

【点睛】

本题主要考查了向量的性质，熟练掌握相关性质是解题关键

20.(1)引=；6；EA=1b-a；(2)作图见解析.

【解析】

【分析】

(1)由EF是AABC的中位线，设而=£,元=尻利用三角形的中位线的性质，即可求得

答案第10页，共13页

EF，然后由三角形法则，求得丽;

(2)利用平行四边形法则，即可求得向量而在福，正方向上的分向量.

【详解】

解：(1)：EF是AMC的中位线，BC=b.

1—.1-

EF--BC=-b,

*/AF=a.

/.EA=EF-AF=-h-a,

2

(2)如图，过点E作EM〃AC,

则函与而即为向量而在而、衣方向上的分向量.

本题考查了平面向量的知识.此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应

用.

21.(1)-6--«；(2)i-a+b；作图见解析

443

【解析】

【分析】

(1)先求出AE占AC得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则计算即可；

(2)先根据相似三角形的性质得到C