2024年高考数学微专题专练49含解析文

PAGEPAGE7专练49双曲线命题范围：双曲线的定义、标准方程与简洁的几何性质．[基础强化]一、选择题1．平面内到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)距离差的肯定值等于8的动点P的轨迹方程为()A．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝12．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为()A．19B．26C．43D．503．[2024·成都石室中学模拟]已知双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,b2)＝1，其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为()A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\r(3)C．2eq\r(3)D．eq\f(\r(3),3)4．若a>1，则双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D．(1，2)5．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,4)，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(4\r(15),15)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(15),4)x D．y＝±eq\f(\r(3),3)x6．[2024·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A．4 B．8C．16 D．327．[2024·全国甲卷]点(3，0)到双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的一条渐近线的距离为()A．eq\f(9,5) B．eq\f(8,5)C．eq\f(6,5) D．eq\f(4,5)8．[2024·江西省临川一中模拟]已知F1(－3，0)，F2(3，0)分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为eq\f(π,6)，则双曲线的标准方程为()A．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)－y2＝19．[2024·江西省南昌市高三模拟]已知中心在原点的双曲线E的离心率为2，右顶点为A，过E的左焦点F作x轴的垂线l，且l与E交于M，N两点，若△AMN的面积为9，则E的标准方程为()A.x2－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1二、填空题10．[2024·全国乙卷]双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．11．[2024·全国甲卷(文)，15]记双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满意条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________________．12．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝________.[实力提升]13．[2024·陕西省西安中学模拟]第24届冬季奥林匹克运动会，又称2024年北京冬季奥运会，于2024年2月在北京和张家口实行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新幻想．会徽图形上半部分呈现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充溢韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调全部参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在竞赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图)：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为()A．eq\f(\r(290),13) B．eq\f(\r(290),11)C．eq\f(13,11) D．214．[2024·陕西省西安中学四模]已知F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．15．[2024·江西省赣州市高三摸底]已知F1，F2是双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1的两个焦点，过F1作C的渐近线的垂线，垂足为P.若△F1PF2的面积为eq\r(3)，则C的离心率为________．16．[2024·江西省南昌市高三模拟]已知F1、F2分别是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，F2也是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若|PF1|＝|F1F2|，则双曲线E的离心率为________．专练49双曲线1．D由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.2．Bx2－y2＝9可化为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,9)＝1，∴a＝3，由双曲线的定义知|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.3．A不妨设焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，则焦点F(c，0)到渐近线的距离为eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b＝1，又a＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3＋1)＝2，所以该双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).4．C∵c2＝a2＋1，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2)，又a2>1，∴0<eq\f(1,a2)<1，∴1<1＋eq\f(1,a2)<2，∴1<e<eq\r(2).5．C∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，不妨设a＝4，c＝1，则b＝eq\r(15)，∴对应双曲线的渐近线方程为：y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(15),4)x，选C.6．B直线x＝a与双曲线的两条渐近线y＝±eq\f(b,a)x分别交于D、E两点，则|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝eq\f(1,2)·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时取等号)，即cmin＝4，所以双曲线的焦距2c的最小值为8.7．A由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(3,4)x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为eq\f(|3×3－4×0|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(9,5).8．B设点P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，因为|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由题，因为|F1F2|＝2c＝6，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2c>2a,4a>2a))，所以∠PF1F2为最小角，故∠PF1F2＝eq\f(π,6)，所以在△PF1F2中，由余弦定理可得，eq\f(（4a）2＋（2c）2－（2a）2,2·4a·2c)＝eq\f(\r(3),2)，又因为c＝3，解得a＝eq\r(3)，所以b＝eq\r(6)，所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.9．A设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则A(a，0)，F(－c，0)，由双曲线的离心率为2，得eq\f(c,a)＝2，则c＝2a，因为直线l过点F(－c，0)且垂直于x轴交E于点M、N，所以点M、N的横坐标都为－c，有eq\f(（－c）2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(b2,a)，所以M(－c，eq\f(b2,a))，N(－c，－eq\f(b2,a))，所以|MN|＝eq\f(2b2,a)，又AF＝a＋c，AF⊥MN，则S△AMN＝eq\f(1,2)|AF||MN|＝eq\f(1,2)(a＋c)·eq\f(2b2,a)＝(a＋c)·eq\f(c2－a2,a)＝(a＋c)·eq\f(4a2－a2,a)＝9a＝9，所以a＝1，故c＝2a＝2，得b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)，所以双曲线的方程为：x2－eq\f(y2,3)＝1.10．答案：eq\r(5)解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝eq\f(|3－8|,\r(12＋22))＝eq\r(5).11．答案：eq\r(5)(答案不唯一)解析：双曲线C的一条渐近线与C没有公共点，所以可令eq\f(b,a)＝2，则e＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq\r(5).12．答案：1解析：由双曲线方程知b2＝3，从而c2＝a2＋3.又e＝2，因此e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋3,a2))＝2.又a>0，得a＝1.13．A如图建立直角坐标系，过O4向x轴引垂线，垂足为A，易知|O4A|＝11，|O2A|＝13，∴eq\f(b,a)＝eq\f(11,13)，∴e＝eq\r(（\f(b,a)）2＋1)＝eq\f(\r(290),13).14．答案：9解析：对于双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，则a＝2，b＝2eq\r(3)，c＝4，如图所示：设双曲线的右焦点为M，则M(4，0)，由双曲线的定义可得|PF|－|PM|＝4，则|PF|＝4＋|PM|，所以，|PF|＋|PA|＝|PM|＋|PA|＋4≥|AM|＋4＝eq\r(（1－4）2＋（4－0）2)＋4＝9，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立．因此，|PF|＋|PA|的最小值为9.15．答案：2解析：由题，a＝1，焦点F1(－c，0)，渐近线方程为y＝－bx，依据点到直线距离公式得|PF1|＝eq\f(bc,\r(b2＋1))＝b，依据勾股定理得|PO|＝a，在Rt△F1PO中，利用等面积法可得，P到x轴的距离h＝eq\f(b,c)，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)×2c×eq\f(b,c)＝b＝eq\r(3)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq\r(1＋3)＝2.16．答案：2＋eq\r(3)解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点A，则|PA|＝|PF2|，因为|PF1|＝|F1F2|＝2c，则|PF2|＝|PF1