2024新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定练习新人教A版必修第一册

.5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学问点一全称量词命题和存在量词命题1．下列命题中全称量词命题的个数是()①随意一个自然数都是正整数；②有的平行四边形的对角线相互垂直；③三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3答案C解析①中含有全称量词“随意一个”，故①为全称量词命题；②中含有存在量词“有的”，故②为存在量词命题；③可描述为“全部三角形的内角和为180°”，其中“全部”为全称量词，故③为全称量词命题．故选C.2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2答案B解析选项A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；选项B中当x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；选项C中因为eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命题；选项D中对于随意一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命题．3．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表达方式的是()A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3答案C解析“∀”和“任选一个”都是全称量词．4．(多选)给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于随意实数x,2x＋1是奇数，下列说法正确的是()A．四个命题都是真命题B．①②是全称量词命题C．②③是存在量词命题D．四个命题中有一个假命题答案CD解析①末尾数是偶数的整数能被2整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形，是存在量词命题，是真命题；③存在实数x，x>0，是存在量词命题，是真命题；④对于随意实数x,2x＋1是奇数，是全称量词命题，是假命题．故A，B错误，C，D正确．故选CD.5．命题“有些负数满意不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成存在量词命题为________．答案∃x＜0，(1＋x)(1－9x2)＞0解析命题可分两部分，条件“有些负数”写为“∃x<0”，结论“不等式(1＋x)(1－9x2)>0”写为“(1＋x)(1－9x2)>0”．6．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题．(1)全部实数x都能使x2＋x＋1>0成立；(2)对全部实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；(3)肯定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；(4)全部的有理数x都能使eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数．解(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0.(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解．(3)∃x，y∈Z,3x－2y＝10.(4)∀x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数．7．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并推断真假．(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立．(2)每个二次函数的图象都与x轴相交．(3)∃x∈R，eq\r(x)<0.(4)存在实数x，eq\r(x2)＝－x.解(1)存在量词命题．因为x2＋x＋8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(31,4)>0，所以该命题为假命题．(2)全称量词命题．如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题．(3)存在量词命题．非负数有算术平方根，且仍为非负数，所以该命题为假命题．(4)存在量词命题．当x<0时，eq\r(x2)＝－x，所以该命题为真命题．学问点二全称量词命题和存在量词命题的否定8．命题“负数的平方是正数”的否定是()A．负数的平方不是正数B．有些负数的平方是正数C．全部负数的平方不是正数D．有些负数的平方不是正数答案D解析该命题的否定：有些负数的平方不是正数．9．命题“有些实数的肯定值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0答案C解析由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，而命题的否定只否定结论．10．已知命题p：∀x>0，(x＋1)ex>1，则p为()A．∃x≤0，(x＋1)ex≤1B．∃x＞0，(x＋1)ex≤1C．∀x＞0，(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，(x＋1)ex≤1答案B解析全称量词命题的否定是存在量词命题．因此p为∃x＞0，(x＋1)ex≤1.故选B.11．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是()A．∃x∉∁RQ，x3∈QB．∃x∈∁RQ，x3∉QC．∀x∉∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q答案D解析存在量词命题的否定是全称量词命题．因此选D.12．写出下列命题p的否定，并推断p的否定的真假．(1)p：∀x＞0，x＋eq\f(1,x)≥2；(2)p：全部矩形的对角线相等；(3)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根；(4)p：某些平行四边形是菱形；(5)p：∃x，y∈Z，eq\r(2)x＋y＝3.解(1)p：∃x＞0，x＋eq\f(1,x)＜2.假命题．(2)p：有的矩形的对角线不相等．假命题．(3)p：存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题．(4)p：每一个平行四边形都不是菱形．假命题．(5)p：∀x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3.假命题．学问点三全称量词命题、存在量词命题的综合应用13．已知∀x1∈{x|0≤x≤2}，m>x1，∃x2∈{x|6≤x≤8}，m<x2，那么m的取值范围是()A．2<m<8B．0<m<8C．0<m<6D．2<m<6答案A解析由∀x1∈{x|0≤x≤2}，m>x1，可得m>2；由∃x2∈{x|6≤x≤8}，m<x2，可得m<8，所以2<m<8.14．已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，使得x－a≥0成立；若p是真命题，则实数a的取值范围是()A．a<1B．a>3C．a≤3D．a≥3答案D解析p是真命题，所以p是假命题，所以∃x∈{x|1<x<3}，使得x－a≥0无解，所以当1<x<3时，a≤x不成立，所以a≥3.15．若∀x∈R，x2－x＋3(m－1)≠0，则实数m的取值范围为()A．m<－eq\f(13,12) B．m>eq\f(13,12)C．－eq\f(13,12)≤m<eq\f(13,12) D．m≤－eq\f(13,12)或m≥eq\f(13,12)答案B解析因为∀x∈R，x2－x＋3(m－1)≠0，即关于x的一元二次方程x2－x＋3(m－1)＝0无解，所以Δ＝(－1)2－4×1×3(m－1)<0.解得m>eq\f(13,12).故实数m的取值范围为m>eq\f(13,12).16．已知命题p：∃x∈R，(a－3)x＋1＝0，若p是假命题，则实数a的取值集合是________．答案{a∈R|a≠3}解析因为p是假命题，所以命题p：∃x∈R，(a－3)x＋1＝0是真命题，所以关于x的方程(a－3)x＋1＝0有实数解，所以a－3≠0，即a≠3，所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠3}．17．已知函数y＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋y>0对于随意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－x2＋2x－5＞0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋y>0可化为m>－y，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于随意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋y>0对于随意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5，若存在一个实数x，使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>ymin.又y＝(x－1)2＋4，∴ymin＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是m>4.易错点一对含有一个量词的命题否定不完全致错已知命题p：存在一个实数x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2<0，写出p.易错分析该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题，应将存在量词改为全称量词，并且对结论进行否定，此题简单忽视其中一项而造成错解．正解p：对随意的实数x，都有x2－x－2≥0.易错点二写命题的否定时忽视隐含的量词致错写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位是0；(2)能被3整除的数，也能被4整除．易错分析(1)(2)均为省略了全称量词的全称量词命题，因此写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不变更量词．正解(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.(2)省略了全称量词“全部”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．一、单项选择题1．下列命题中存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于随意x∈R，总有|sinx|≤1.A．0B．1C．2D．3答案B解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“全部的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题．故有一个存在量词命题．2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∀x∈R,2x＋1>0B．若2x为偶数，则∀x∈NC．全部菱形的四条边都相等D．π是无理数答案C解析对于A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；对于B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．p：∀x∈A,2x∉BB．p：∀x∉A,2x∉BC．p：∃x∉A,2x∈BD．p：∃x∈A,2x∉B答案D解析全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是p：∃x∈A,2x∉B.4．命题p：∃x>0，x＋eq\f(1,x)＝2，则p为()A．∀x>0，x＋eq\f(1,x)＝2 B．∀x>0，x＋eq\f(1,x)≠2C．∀x≤0，x＋eq\f(1,x)＝2 D．∀x≤0，x＋eq\f(1,x)≠2答案B解析该命题的否定p：∀x>0，x＋eq\f(1,x)≠2.5．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为()A．①②③④ B．①②③C．①②④ D．②③④答案C解析①中表述的为全部无理数都是实数，正确；②空集是任何一个非空集合的真子集，正确；③1＋1＝2，故1＋1＜2为假命题；④当x为整数时，x2－x＋1即为整数，正确．故选C.6．设非空集合P，Q满意，P∩Q＝Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是()A．∀x∈Q，有x∈PB．∃x∈P，有x∉QC．∃x∉Q，有x∈PD．∀x∉Q，有x∉P答案D解析因为P∩Q＝Q且P≠Q，所以QP，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有集合Q中没有的元素，所以A，B，C正确，D错误．7．已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A．a>eq\f(1,4)B．a≤eq\f(1,4)C．a<eq\f(1,4)D．a≥eq\f(1,4)答案A解析假设命题p为真，则∃x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0.解得a≤eq\f(1,4).因为命题p是假命题，所以a>eq\f(1,4).故选A.8．已知命题p：∀x1∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x1，命题q：∃x2∈{x|1≤x≤3}，使m≥x2，若命题p为真命题，q为假命题，则实数m的取值范围为()A．{m|m≤1}B．{m|1≤m≤3}C．{m|m≥3}D．{m|m≥1}答案C解析由题意知命题p，q都是真命题．由∀x1∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x1成立，只需m大于或等于x1的最大值，即m≥3.由∃x2∈{x|1≤x≤3}，使m≥x2成立，只需m大于或等于x2的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．二、多项选择题9．下列命题中是存在量词命题且是真命题的是()A．对全部实数x，都有2x2－3x＋4>0B．存在正整数m，使m为29的约数C．命题“全部四边形的内角和都是360°”的否定D．命题“对全部实数a，都有|a|>0”的否定答案BD解析对于A，是全称量词命题，故A错误；对于B，是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以B为真命题，故B正确；对于C，命题的否定为“有的四边形的内角和不是360°”，是存在量词命题，是假命题，故C错误；对于D，命题的否定为“存在实数a，使|a|≤0”，是存在量词命题，当a＝0时，此命题成立，所以为真命题，故D正确．故选BD.10．已知a>0，函数y＝ax2＋bx＋c.若x0满意关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为真命题的是()A．∃x∈R，y≤yx＝x0B．∃x∈R，y≥yx＝x0C．∀x∈R，y≤yx＝x0D．∀x∈R，y≥yx＝x0答案ABD解析由题意，知x0＝－eq\f(b,2a)是函数f(x)图象的对称轴方程，因为a>0，所以yx＝x0为函数的最小值，即对全部的实数x，都有y≥yx＝x0，因此A，B，D均为真命题，C为假命题．11．对下列命题的否定说法正确的是()A．p：能被2整除的数是偶数；p：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；p：全部的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；p：全部的三角形不都是正三角形D．p：∃n∈N,2n≤100；p：∀n∈N,2n>100.答案ABD解析由全称量词命题的否定和存在量词命题的否定，知A，B，D正确；C中p：全部的三角形都不是正三角形，故C错误．12．命题p：“∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－a>0”的否定为真命题的一个充分不必要条件是()A．a>4B．a≤4C．a≥5D．a<5答案AC解析由题可知p：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，即∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知A，C符合题意．故选AC.三、填空题13．命题“对随意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．答案存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3解析“随意x∈R”改为“存在x∈R”，“|x－2|＋|x－4|>3”的否定为“|x－2|＋|x－4|≤3”．14．若命题“∃x∈R，x2＋4x＋c≤0”为假命题，则实数c的取值范围是________．答案c>4解析因为命题“∃x∈R，x2＋4x＋c≤0”为假命题，所以该命题的否定“∀x∈R，x2＋4x＋c>0”为真命题，故Δ＝42－4×1×c<0.解得c>4.15．已知命题p：存在k∈R，使得函数y＝(k－3)x＋k的图象不经过定点M，若命题p是假命题，则点M的坐标为________．答案(－1,3)解析∵p是假命题，∴p是真命题，即对随意k∈R，函数y＝(k－3)x＋k的图象恒过定点M，则M点的坐标为(－1,3)．16．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________(填上全部满意要求的序号)．答案①②③④解析①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为随意三角形内角和为180°.四、解答题17．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满意什么条件时，命题p的否定为真？解(1)命题p的否定：对随意实数x，若x－a>0，则x－b>0.(2)当a，b满意条件b≤a时，命题p的否定为真．18．已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．解(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≤2m＋4，,m＋3≥－3，,2m＋4≤6，))解得－1≤m≤1.即m的取值范围是{m|－1≤m≤1}．(2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥－1.若A∩B＝∅，则m＋3>6或2m＋4<－3，解得m>3或m<－eq\f(7,2)，其补集为－eq\f(7,2)≤m≤3，又因为m≥－1，所以m的取值范围是{m|－1≤m≤3}．19．已知函数y1＝xeq\o\al(2,1)，y2＝－2x2－m，若∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2