2024年高考数学一轮复习点点练30直线与方程含解析理

PAGEPAGE9第九单元直线与圆的方程考情分析一般以选择题和填空题为主，考查直线与圆的几何性质，在解答题中，与椭圆、双曲线或抛物线交汇命题，解题时要充分利用直线和圆的几何性质简化运算过程．点点练30直线与方程一基础小题练透篇1.过点P(eq\r(3)，－2eq\r(3))且倾斜角为135°的直线方程为()A．3x－y－4eq\r(3)＝0B．x－y－eq\r(3)＝0C．x＋y－eq\r(3)＝0D．x＋y＋eq\r(3)＝02．直线l：x＋eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角的大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°3．已知直线l1：x＋2y＋1＝0与l2：ax－y＋2＝0平行，则实数a的值是()A．eq\f(1,2)B．2C．－eq\f(1,2)D．－24．[2024·浙江省返校考试]已知直线l1：mx－y＝1与直线l2：x－my－1＝0相互垂直，则实数m的值是()A．0B．1C．－1D．±15．[2024·湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(5)C．2D．46．点(0，－1)到直线3x－4y＋1＝0的距离为()A．eq\f(2,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5)D．17．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________．8．[2024·宁夏银川月考]已知直线3x＋4y＋3＝0与直线6x＋my－14＝0平行，则它们之间的距离是________．二实力小题提升篇1.[2024·安徽省第一次联考]“a＝－1”是“直线2x＋ay＋4＝0与直线(a－1)x＋y＋2＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．[2024·辽宁铁岭六校联考]已知点A(3，0)，B(0，3)，M(1，0)，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ周长的最小值为()A．4B．5C．2eq\r(5)D．eq\r(34)3．[2024·福建宁德质量检测]已知点A(－2，1)和点B关于直线l：x＋y－1＝0对称，斜率为k的直线m过点A交l于点C.若△ABC的面积为2，则实数k的值为()A．3或eq\f(1,3)B．0C．eq\f(1,3)D．34．[2024·云南大理检测]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)(点P与点A，B不重合)，则△PAB面积的最大值是()A．2eq\r(5)B．5C．eq\f(5,2)D．eq\r(5)5．[2024·重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________.6．[2024·安徽黄山质量检测]已知a，b，c成等差数列，过点A(1，2)作直线l：ax＋by＋c＝0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，则|PQ|的最小值是________．三高考小题重现篇1.[2024·全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)2．[2024·全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．23．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m改变时，d的最大值为()A．1B．2C．3D．44．[2024·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋eq\f(4,x)(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．四经典大题强化篇1.[2024·武汉调研]已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．2．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求：(1)点A和点C的坐标；(2)△ABC的面积．点点练30直线与方程一基础小题练透篇1．答案：D解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＋2eq\r(3)＝－（x－eq\r(3)），即x＋y＋eq\r(3)＝0.2．答案：D解析：由l：x＋eq\r(3)y＋1＝0可得y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)，所以直线l的斜率为k＝－eq\f(\r(3),3)，设直线l的倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(\r(3),3)，因为0°≤α<180°，所以α＝150°.3．答案：C解析：因为直线l1：x＋2y＋1＝0与l2：ax－y＋2＝0平行，所以eq\f(a,1)＝eq\f(－1,2)≠eq\f(2,1)，解得a＝－eq\f(1,2).4．答案：A解析：因为直线l1：mx－y＝1与直线l2：x－my－1＝0相互垂直，所以m＋m＝0，解得m＝0.5．答案：B解析：设直线x＋2y＋1＝0与直线3x－4y＋c2＝0的交点为A，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＝0,3x－4y＋c2＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(c2＋2,5),y＝\f(c2－3,10)))，故A（－eq\f(c2＋2,5)，eq\f(c2－3,10)），同理设直线x＋2y＋1＝0与直线3x－4y＋c1＝0的交点为B，则B（－eq\f(c1＋2,5)，eq\f(c1－3,10)），设直线x＋2y＋3＝0与直线3x－4y＋c1＝0的交点为C，则C（－eq\f(c1＋6,5)，eq\f(c1－9,10)），设直线x＋2y＋3＝0与直线3x－4y＋c2＝0的交点为D，则D（－eq\f(c2＋6,5)，eq\f(c2－9,10)），由菱形的性质可知BD⊥AC，且BD，AC的斜率均存在，所以kBD·kAC＝－1，则eq\f(\f(c1－3,10)－\f(c2－9,10),－\f(c1＋2,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c2＋6,5))))·eq\f(\f(c2－3,10)－\f(c1－9,10),－\f(c2＋2,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c1＋6,5))))＝－1，即eq\f(36－（c2－c1）2,4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(16－（c2－c1）2)))＝－1，解得|c1－c2|＝2eq\r(5).6．答案：D解析：点（0，－1）到直线3x－4y＋1＝0的距离为d＝eq\f(|3×0－4×（－1）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(5,5)＝1.7．答案：4x－3y＋9＝0解析：方法一由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)))即交点为（－eq\f(5,3)，eq\f(7,9)），∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k＝eq\f(4,3).由点斜式得所求直线方程为y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)（x＋eq\f(5,3)），即4x－3y＋9＝0.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))可解得交点为（－eq\f(5,3)，eq\f(7,9)），代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.方法三由题意可设所求直线方程为（2x＋3y＋1）＋λ（x－3y＋4）＝0，即（2＋λ）x＋（3－3λ）y＋1＋4λ＝0①又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.8．答案：2解析：∵直线3x＋4y＋3＝0与直线6x＋my－14＝0平行，∴m＝8，6x＋8y－14＝0可化为3x＋4y－7＝0.∴它们之间的距离为eq\f(|3－（－7）|,\r(32＋42))＝2.二实力小题提升篇1．答案：C解析：当两直线平行时，1×2－（a－1）a＝0，解得a＝2或a＝－1，当a＝2，两直线重合，舍去；当a＝－1时，两直线平行．所以“a＝－1”是“直线2x＋ay＋4＝0与直线（a－1）x＋y＋2＝0平行”的充要条件．2．答案：C解析：过A（3，0），B（0，3）两点的直线方程为x＋y－3＝0.设M（1，0）关于直线x＋y－3＝0对称的点为N（x，y），则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y,x－1)＝1，,\f(x＋1,2)＋\f(1,2)y－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))即N（3，2）.易知点M（1，0）关于点O对称的点为（－1，0），设E（－1，0），当N，P，Q，E四点共线时，△MPQ的周长取得最小值，最小值为|MP|＋|PQ|＋|QM|＝|NP|＋|PQ|＋|EQ|＝|NE|＝eq\r(（3＋1）2＋22)＝2eq\r(5).3．答案：B解析：设点B（x，y），则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x＋2)＝1，,\f(x－2,2)＋\f(y＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3，))则B（0，3）.由已知可得直线m的方程为y－1＝k（x＋2），与方程x＋y－1＝0联立，解得x＝－eq\f(2k,k＋1)，y＝eq\f(3k＋1,k＋1)，则Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2k,k＋1)，\f(3k＋1,k＋1))).由已知可得直线AB的方程为y－1＝x＋2，即y＝x＋3，且|AB|＝2eq\r(2)，则点C到直线AB的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2k,k＋1)－\f(3k＋1,k＋1)＋3)),\r(2))＝eq\f(|2－2k|,\r(2)|k＋1|)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)·eq\f(|2－2k|,\r(2)|k＋1|)＝2，即|1－k|＝|k＋1|（k≠－1），解得k＝0.4．答案：C解析：动直线x＋my＝0，令y＝0，解得x＝0，因此此直线过定点A（0，0）.动直线mx－y－m＋3＝0，即m（x－1）＋3－y＝0，令x－1＝0，3－y＝0，解得x＝1，y＝3，因此此直线过定点B（1，3）.当m＝0时，两条直线分别为x＝0，y＝3，交点P（0，3），S△PAB＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2).当m≠0时，两条直线的斜率分别为－eq\f(1,m)，m，则－eq\f(1,m)·m＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA|＝a，|PB|＝b，∵|AB|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，∴a2＋b2＝10.又a2＋b2≥2ab，∴ab≤5，当且仅当a＝b＝eq\r(5)时等号成立．∴S△PAB＝eq\f(1,2)|PA|·|PB|＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(5,2).综上，△PAB的面积最大值是eq\f(5,2).5．答案：2x－y－5＝0解析：因为∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别为x＝0，y＝x，所以直线AB与直线BC关于直线x＝0对称，直线AC与直线BC关于直线y＝x对称．则点A（－3，1）关于直线x＝0对称的点A′（3，1）在直线BC上，点A（－3，1）关于直线y＝x对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为eq\f(y＋3,1＋3)＝eq\f(x－1,3－1)，即y＝2x－5.6．答案：1解析：∵不全为零的实数a，b，c成等差数列，∴b＝eq\f(a＋c,2)，代入动直线l：ax＋by＋c＝0，得ax＋eq\f(a＋c,2)y＋c＝0，即a（2x＋y）＋c（y＋2）＝0，∵a，c不全为零，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,y＋2＝0，))解得x＝1，y＝－2，∴动直线l过定点N（1，－2）.设点P（x，y），∵当点P与N不重合时，AP⊥NP，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝（x－1，y－2）·（x－1，y＋2）＝0，整理得，x2＋y2－2x－3＝0，即（x－1）2＋y2＝4.又（1，－2）在圆（x－1）2＋y2＝4上，∴点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上．点Q在直线3x－4y＋12＝0上，圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d＝eq\f(|3＋12|,\r(32＋42))＝3>2，∴|PQ|的最小值等于圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d减去圆的半径2，∴|PQ|的最小值为3－2＝1.三高考小题重现篇1．答案：B解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|2－1－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(2\r(5),5)；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|10－5－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(2\r(5),5).2．答案：B解析：方法一点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝eq\f(|k·0－（－1）＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))，留意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤eq\r(k2＋1)·eq\r(2)，所以d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))≤eq\r(2)，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为eq\r(2).方法二由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝eq\r(2).3．答案：C解析：由题意可得d＝eq\f(|cosθ－msinθ－2|,\r(m2＋1))＝eq\f(|msinθ－cosθ＋2|,\r(m2＋1))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(m2＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,\r(m2＋1))sinθ－\f(1,\r(m2＋1))cosθ))＋2)),\r(m2＋1))＝eq\f(|\r(m2＋1)sin（θ－φ）＋2|,\r(m2＋1))（其中cosφ＝eq\f(m,\r(m2＋1))，sinφ＝eq\f(1,\r(m2＋1))），∵－1≤sin（θ－φ）≤1，∴eq\f(|2－\r(m2＋1)|,\r(m2＋1))≤d≤eq\f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))，eq\f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))＝1＋eq\f(2,\r(m2＋1))，∴当m＝0时，d取最大值3.4．答案：4解析：通解设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，x＋\f(4,x)))，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(|x＋x＋\f(4,x)|,\r(2))＝eq\f(2x＋\f(4,x),\r(2))≥eq\f(2\r(2x·\f(4,x)),\r(2))＝4，当且仅当2x＝eq\f(4,x)，即x＝eq\r(2)时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.优解由y＝x＋eq\f(4,x)（x>0）得y′＝1－eq\f(4,x2)，令1－eq\f(4,x2)＝－1，得x＝eq\r(2)，则当点P的坐标为（eq\r(2)，3eq\r(2)）