2021中考数学分类练习：全等三角形辅助线方法

全等三角形帮扶线

常见帮扶线的作法有以下几种：

1）碰到等腰三角形，可作底边上的高，操纵“三线合一”的性质解题，思维模式是全

等变幻中的“半数”.

2）碰到三角形的中线，倍长中线，使耽搁线段与原中线长相等，组织全等三角形，操纵

的思维模式是全等变幻中的“扭转”.

3）碰到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的双方作垂线，操纵的思维模式是

三角形全等变幻中的“半数”，所考学问点常常是角平分线的性质定理或逆定理.

4）过图形上某一点作特定的平分线，组织全等三角形，操纵的思维模式是全等变幻中

的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时耽搁垂线段，组织等腰三角形）

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将

某条线段耽搁，是之与特定线段相等，再操纵三角形全等的有关性质加以讲明.这

类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

特别方式：在求有关二角形的定值一类的题目时，常把某点到原三角形各极点的线

段毗连起来，操纵三角形面积的学问解答.

一、倍长中线（线段）造全等

1:（“但愿杯”试题）已知，似图4ABC中，AB=5,AC=3,那么中线AD的取值范畴是

A

2：似图，ZUBC中，E、F分不在AB、AC±，DE±DF,D是中点，试对比BE+Cpg泼血）

/\

3：似图，AABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点户求证：AE>平分C

A

DEC

ZBAE.

中考使用

（09崇文二模）以乙48c的双方AB>AC为腰分不向外作等腰和等腰

RtAACE,/84£>=/。4£1=90°,毗连£）£；M、N分不为BC、CE的中点.会商：AM

与。E的位置关系及数量关系.（1）似图①当A4BC为直角三角形时，AM与。E的位

置关系是，线段4M与OE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtAAB。绕点A沿逆时针方向扭转/（0<%90）后，似图②所示，（1）

问中得到的两个结论是否产生扭转？同时讲明出处.

D

截长补短

1,似图，AABC中，AB=2AC,AD平分N84C,且AD=BD,求证：CD±AC

5：似图在aABC中，AB>AC,Z1=Z2,P为AD上随意任性一点,

B,c

求证;AB-AOPB-PC

6.似图，在A△ABC中，AD平分NBAC,AB+BD=AC,求NB：NC的值.

（08海淀一模）

如图，在四辿形4枚；〃中点E是八8上一个动点，若48=60",相=8C,R.

Z.0£C=6O»,判断AD+AE厉BC的关系并证明你的结论.

解：

三.借助角平分线造全等

1：似图，己知在AABC中，ZB=60°,AABC的角平分线AD,CE订交

于点0,求证：0E=0D

2：(06*州市中考题)似图，ZXABC中，AD平分NBAC,DG1BC

且平分BC,DE±AB于E,DF±AC于F.(1)讲明BE=CF的出处；

(2)介入AB=a,AC=b,求AE、BE的长.

中考使用：(06北京中考)似图①，OP是NMON的平分线，请你操纵该图形画一对以

OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考那个作全等三角形的方式，解答以下题

目：

(1)似图②，在AABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD.CE分不为ABAC.NBCA

的平分线，AD.CE订交于点凡请你判断同时写出尸E与尸。之间的数量关系；

(2)似图③，在△ABC中，介入NACB不是直角，而(1)中的其它前提不变，叨教,

1,AD为△ABC的角平分线，直线MN_LAD于A.E为MN±一点，AABC周长记为PA,△

EBC周长记为日.求证外>5.

2：似图，在AABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AOAD+AE.

A

五、扭转

1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求NEAF的度

2：D为等腰用A48C歪边AB的

(1)当NMDN绕点D转动时,

(2)如果AB=2,求四边形DECF的

3,似图，AABC是边长为3的等边三角形，MDC是等腰三

角形，且N8OC=120°,以D为极点做一个60°角，使其双方分

不交AB于点M,交AC于点N,毗连VN,那么AAMN的周长为

中考使用：(07佳木斯)已知四边形ABCD中，AB^AD,

BC±CD,AB=BC,：ZABC=120°,NMBN=60°,NMBN绕3点扭转，它的双

方分不交A。，0c(或它们的耽搁线)于£,F.(l)当NMBN绕3点扭转到A£=CF

时(似图1),易证AE+CE=EF.(2)当NMBN绕8点扭转到A£*C户时，在图2

和图3这两种状况下，上述结论是否成立？如果成立，请赋予证明；如果不成立，线段

AE,CF,EF又有似何的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

(0好%一模)在等边铝炉黑双方AB、AC所?瞥上分不有两点M、N,D为

△该夕在，且必后方C=120央C*商：当M、N分不在直线

A；、上移，时,BM、\c、\jN之，的数量关巅XA噂长Q与等边AA8C的

周长L的关系.\

图3

(I)似图1,当点M、N边AB、AC±,且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关

系是：此刻义=

一L~

(II)似图2,点M、N边AB、AC上，且当DMHDN时，猜想(I)问的两个结论还

成立吗？写出你的猜想同时加以证明;

(III)似图3,当M、N分不在边AB、CA的耽搁线上时，如果AN=x，那么Q=(用

x、L示意).

六、组织全等

例1：已知：似图4,在Rt^ABC中，ZACB=90°,

AC=BC,D为BC的中点，CE_LAD于E,交AB于F,毗连DF.

求证：ZADC=ZBDF.

2.用有刻度的直尺能平分随意任性角吗？下面是一种

方式：似图9所示，先在NAOB的双方上取OP=OQ,

再取PM=QN,毗连PN、QM,得交点C,那么射线0C

平分NAOB.你能讲明事理吗？图9

3.似图10,Z\ABC中，AB=AC,过点A作

GE〃BC,角平分线BD、CF订交于点H,它们的

耽搁线分不交GE于点E、G.试在图10中找出3

对全等三角形，同时对其中一对全等三角形给出证明.图10

4.己知aABC,AB=AC,E、F分不

为AB和AC耽搁线上的点，且BE=CF,EF

交BC于G.求证：EG=GF.图15

5.己知：aABC中，BD=CD,Z1=Z2,求证：AD平分/BAC.

讲明：碰到有关角平分线的题目时，可引角的双方的垂线，先证明三角形学等曼咽

照全等三角形的性质得出垂线段相等，再操纵角的平分线性质得出两角相等.C

(2)操纵角的平分线组织全等三角形：①过角平分线上一点作双方的垂线段

锻炼：似图22,AB〃CD,E为AD上一点，且BE、CE分

不平分NABC、ZBCD.求证：AE=ED.

②以角的平分线为对称轴组织对称图形

例6：似图23,在Z\ABC中，AD平分/BAC,ZC=2ZB.求证：AB=AC+CD.

解析：因为角平分线所在的直线是那个角的对称轴，是以在AB上截取AE=AC,毗

连DE,咱们就能组织出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明

BE=CD就能了.

A

③耽搁角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线

例7：似图24,在Z^ABC中，AD平分NBAC,CEJ_AD于E.

求证：ZACE=ZB+ZECD.

解析：看重到AD平分NBAC,CE±AD,于是可耽搁CE交AB于点F,即可组织全等三

角形.

(3)操纵角的平分线组织等腰三角形

似图25,在ZXABC中，AD平分NBAC,过点D作

DE〃AB,DE交AC于点E.易证4AED是等腰三角形.

是以，咱们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线,

组织等腰三角形.图25

例11似图26,在Z\ABC中，AB=AC,BD平分/ABC,DEJ_BD于D,交BC于点E.

求证：CD=-BE.

2

锻炼：1.似图27,在AABC中，ZB=90°,

AD为ZBAC的平分线，DF_LAC于F,DE=DC.

求证：BE=CF.

2.己知：似图28,AD是z^ABC的中线,

DE_LAB于E,DF_LAC于F,且BE=CF.

求证：(1)AD是NBAC的平分线；(2)AB=AC.图28

3.在Z\ABC中，ZBAC=60°,ZC=40°,

AP平分NBAC交BC于P,BQ平分NABC交AC于Q.

求证：AB+BP=BQ+AQ.图29

4.似图30,在Z\ABC中，AD平分NBAC,AB=AC+CD.

求证：ZC=2ZB.图30

BDC

5.似图31,E为ZiABC的NA的平分线

AD±一点，AB>AC.

求证：AB-AOEB-EC.图31

6.似图32,在四边形ABCD中，BOBA,

AD=CD,BD平分/ABC.求证：NA+NC=180°.

7.似图33所示，已知AD〃BC,ZI=Z2,

Z3=Z4,直线DC过点E作交AD于点D,交

BC于点C.

求证：AD+BC=AB.

8.已知，似图34,ZXABC中，ZABC=90°,

AB=BC,AE是NA的平分线，CD_LAE于D.求证：CD=-AE.

2

9.z^ABC中，AB=AC,ZA=100°,

BD是/B的平分线.求证：AD+BD=BC.

10.似图36,NB和NC的平分线订交于点F,

过点F作DE〃BC交AB于点D,交AC于点

E,如果BD+CE=9,那么线段DE的长为（）

A.9B.8C.7D.6图36

11.似图37,4ABC中，AD平分NBAC,AD交BC于点D,

求证：AB=AC.图37

12.已知：似图38,ZXABC中，AD是ZBAC

的平分线，E是BC的中点，EF〃AD,交AB于M,

交CA的耽搁线于F.求证：BM=CF.

1,（2021年河南中考模拟题3）似图，在Rt^ABC中，AB=AC,D、

E是歪边BC上两点，且NDAE=45°,将AADC绕点A顺时针扭转

90°后，得到△AFB,毗连EF,以下结论：（1）△AEDg/\A

EF；(2)AABE^AACD；(3)BE+DC=DE；(4)BE'+DC'=DE'.其

中精确的是（

A.(2)(4)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(1)(3)

2,（2021年浙江杭州）在△力比'中，AB=6,AC=8,BP

BC=10,P为边比'上一动点，PELAB于E,PFA.AC

于“"为EF中点,那么4y的最小值为./

3,（2021年中考模拟2）似图，在等腰梯形ABCD中，ZC=60°,AD/7BC,

且AD=DC,E、F分不在AD、DC的耽搁线上，且DE=CF,AF、BE交于点P.（1）求

证：AF=BE；（2）请你判断NBPF的度数，同时证明你的结论.

4,（2021年北京市中考模拟）已知：似图，在4ABC中，ZACB=90\

8,AB于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交

CD的耽搁线于点F.求证：AB=FC”上

5.（2021年赤峰市中考模拟）似图，在四边形ABCD中，AB=BC,BF是N7

ABC的平分线，AF〃DC,毗连AC、CF,求证：CA是NDCF的平分线./

6,（10年广州市中考六模）、似图，在正方形］比》中，点区尸分不在或等费魁獴:癖:赤:;

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BC、CD±.移动，但/到哥'的间隔4/一向连结与4?长相