北师大版必修第二册6.6.3球的表面积和体积作业

2020-2021学年新教材北师大版必修第二册6.6.3球的表面积和体积

作业

一、选择题

1、已知正方体-ABCiS棱长为1,“是A6的中点，点。是面所在平面内的动点,

且满足“QC=NMQB,则三棱锥Q-MC的体积的最大值是（）

A.6B.18c.9D.12

3

2、已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：。加）是（）

3216

A.3B.3c.4D.8

3、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于血的有（）

皿

MRM

A.1个B.2个

C.3个D.4个

4、如图，在四棱锥A-BCDE中，ADL平面BCDE,底面BCDE为直角梯形，DE〃BC,NCDE=90°,BC

=3,CD=DE=2,AD=4.则点E到平面ABC的距离为（）

34475

A.5B.5c.5D.2

5、一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面

积为（）

A.168B.98C.108D.88

6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED成45。角

②NF与BM是异面直线

③CN与BM成60。角

@DM与BN是异面直线

以上四个结论中，正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7、阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高

斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球

体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结

论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面

积为54%的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）

64万

A.4乃B.16乃c.36兀D.3

8、下列说法中正确的个数是（）

02/12

①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；③棱台各侧棱的

延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.

A.0B.1C.2D.3

9、在三棱锥中，ABA.BP,ACVPC,ABVACtPB=PC=242,点P到底面ABC

的距离为2,则三棱锥P-延°外接球的表面积为（）

有兀

A.3兀B.2C.%万D.24万

10、已知不同直线人机与不同平面&、尸，且/ua,mu/3，则下列说法中正确的是（）

A.若MV,则碗B.若则

C.若/，尸，则。上〃D.若尸，则加」夕

11、正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30,则该四棱锥的侧面积（）

32

A.32B.48c.64D.T

12、已知圆锥的表面积为27万，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）

A.有B.3C.26D.屈

二、填空题

13、有如下命题：

①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；

②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；

③平行于同一条直线的两条直线平行；

④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

其中作为公理（基本事实）的是（填写序号）.

叵

14、已知某长方体的所有顶点均在半径为2的球面上，且长方体的表面积为22,则此长方体的所

有棱长之和为.

15、在四棱锥S-WTD中，底面四边形为矩形，平面ABC。，p,。分别是线段BS,AD

的中点，点火在线段必上，若AS=4,AD=2,ARYPQf则.

16、如图，边长为2的正方形AB。中，点E、尸分别是边46、3c的中点，、AEB/、AFCD

分别沿DE、EF、ED折起，使A、B、°三点重合于点4,若四面体A'E?刃的四个顶点在同一

个球面上，则该球的表面积为.

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面.皿为正方形，棱。。与比均垂直于底面

ABCDtPD=2EC,求证：平面E3C〃平面PD4.

18、（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A-BPC中,APIPC,ACIBCfM为AB的中点，D为PB

的中点，且△外必为正三角形.

（1）求证：DM平面APC；

（2）若5c=4,AB=10t求三棱锥D-BCM的体积.

19、（本小题满分12分）如图在三棱锥P-/RC中,0，瓦厂分别为棱PCACAB的中点，已知

PALAC,PA=6,BC=S,DF=5

求证：（1）直线以//平面。即；

（2）平面5£史，平面ABC.

20、（本小题满分12分）已知：空间四边形ABCD,E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF〃平面BCD

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参考答案

I、答案c

DC_MB

解析由题意可得如QB,QC=2QB以3为原点，3c网分别为x轴和V轴建立平面直角坐

标系，由8（°，°），。（1，°），设。（*，丁），则有++'9；由%—AL3%属”即可求解.

详解

DCMB

由N£>QC=NMQ8,可知tanNDQC=tanNMQ8,即加—近，

而"是AB的中点，故QC=2QB

以5为原点，BC，BBX分别为了轴和〉轴建立平面直角坐标系，

由8（0,0）,0（1,0）,设Q（x,y）,则有（1『+/=4廿+力

（1Y_4

x—+y2——

化简可得：I3J9,可知点0在圆上运动，

V=-xIyl〈一x—x1xlx一=一

故en-ABRcr3MBC|）|3239

故选：C

点睛

采题考查了列方程求动点的轨迹方程，解题的关键是建立等量关系，属于中档题.

2、答案B

解孤出几何体的直观图，可知该几何体是四棱锥，计算出四棱锥的底面积与高，利用锥体的体积公

式可求得该几何体的体积.

详解：由三视图可知，该几何体的直观图如下图所示：

可知该几何体是四棱锥，底面为矩形，高为2,

y_J-x2x4x2=-

由三视图中的数据可得该几何体的体积为33.

故选：B.

01/12

点睛

/题考查利用三视图计算几何体的体积，一般要将几何体的直观图作出来，考查空间想象能力与计算

能力，属于基础题.

3、答案C

解析根据三视图得出该几何体的直观图，根据三角形的面积公式，即可得出结论.

详解：该几何体对应的直观图如下图所示

s

ABC=1X2XV3=A/3SABD=1X2X5/3=73

乙.，乙•，

2

AC=百+（扬2AD=72+（V3）=77

22

/.SBCD=1X2XV3=V35MCD=^X2X7（V7）-1=V6

则面积等于6的有3个

故选：C

点睛

本题主要考查了根据三视图求直观图的面积，属于中档题.

4、答案C

解析连接EC,设点E到平面ABC的距离为h,利用等体法％TBC=VA-BCE即可求解.

详解________________

由题意可得AC=VAD2+DC2=A/42+22=2J?

连接EC,设点E到平面ABC的距离为h,

V-V彳^ABC•'=彳SBCE,A。

由vE-ABC—vA-BCE，即33

-x-BCACh=-x-BCDCAD

所以3232

02/12

鼠_4J?

即6局=24,解得5.

故选：C

点睛

本题考查了三棱锥的体积公式以及等体法求点到面的距离，需熟记公式，属于基础题.

5、答案D

解薪三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4,底面是等腰三角形，三角形的底边边长

为6,高为4,求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案.

详解

由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4,

底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6,高为4,

二腰长为5,...底面三角形的周长为5+5+6=16,

j_

...几何体的表面积S=2义2X6X4+(5+5+6)X4=24+64=88.

点睛

本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几

何量.

6、答案C

解析根据展开图，画出立体图形，5M与EO垂直，不成45。，沏与5M是异面直线，CN与BM

成60。，与是异面直线，故②③④正确，故选C.

7、答案C

解析设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为S=2兀R2+2兀Rx2T?=54〃，解得

球的半径R=3,再代入球的体积公式求解.

详解：设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=2兀*+2兀Rx27?=54»,

解得氏=3,

44

-=—乃川=—X乃X33=36开

所以该球的体积为33

故选：C

点睛

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

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8、答案C

解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.

详解

对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；

对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错误；

对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，

③正确；

对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜

方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何

体不是四棱柱，所以④错误；

综上所述，正确命题的序号是①③，共2个.

故选：C.

点睛

本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9、答案C

解析首先根据垂直关系可确定0P二8二劣二。。，由此可知。为三棱锥外接球的球心，在AE4B

中，可以算出”的一个表达式，在A0AG中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造

等式求得半径，进而求出球的表面积.

详解：取AP中点0,由AC_LPC可知：OP=OA=OB=OC,

，°为三棱锥P-帅。外接球球心，

过尸作尸平面ABC,交平面ABC于连接交3c于G,连接°G,HB,HC,

PB=PC,HB=HC9/.AB=AC,G为3C的中点

OG=-PH=1

由球的性质可知：03,平面450,「.。7〃也，且2

设=

AO=-PA=-y/x2+3

QPB=272,22

AG=-BC=—x

22.•.在AOAG中，AG2+OG2=0A2,

x=29

AO=g商+（20）=g小4+（2@

二.三棱锥P-ABC的外接球的半径为:

•••三棱锥P-MC外接球的表面积为S=4%if=12%.

故选：C.

点睛

采题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质

04/12

确定外接球球心的位置.

[0、答案C

解析/据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.

详解：对于A,若切/万，则人根可能为平行或异面直线，A错误；

对于3,若。,尸，则/，根可能为平行、相交或异面直线，3错误；

对于C,若1工0,且/ua,由面面垂直的判定定理可知。,尸，C正确；

对于。，若尸，只有当机垂直于％,的交线时才有D错误.

故选：c.

点睛

条题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系

的相关命题.

解析%解：如图：

正四棱锥的高P0,斜高PE,

底面边心距0E组成直角APOE.

V0E=2cm,ZOPE=3O°,

OE

------=4A

斜高h，=PE=sin30"

L"」X4X4X4=32

AS™=22

故选：A

12、答案B

解析设底面圆半径为广，高为丸，根据题目条件列出关于「和丸的方程组，解出心”.

详解：设圆锥的底面半径为广，高为丸，则母线长为/=，/+外,

—7vl2=—7V(r2+/?)

则圆锥的侧面积为22'),

—7r(r2+/i2)+7rr2=Tin—r2+—A2=27

故表面积为2V7，得22①,

又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故2兀S/,即2r=占〜后

得万=3'②,

联立①②得：厂=3,丸=36.

故答案为：B.

点睛

/题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.

13、答案①②③

解析根据公理1〜4可得出结论.

05/12

详解：公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理1;

公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理2；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

公理4:平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理4.

命题④为等角定理.

故答案为：①②③.

点睛

本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.

14、答案24

解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知片+〃+/=14,长方体的表面积为22可得

2（ab+ac+bc）=22,联立可得：a+b+c^6>即可得棱长之和.

详解：设该长方体的长、宽、高分别为名瓦°,

由体对角线为外接球的直径得"+/+。2=14①，

由长方体的表面积为22得：2（"+ac+bc）=22②，

①②两式相加得S+"c）=36,即a+b+c=6,

故此长方体的所有棱长之和为4（a+"c）=24

故答案为：24

点睛

亲题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础

题.

15、答案生5

5

解析取SA的中点£,连接PE，。？，则PE//AB,可证平面SAD,从而可得/石，平面S4D,

即可得PEJL4?,进而可证4?，平面尸石。，可得招,石。，在直角-AS。中，利用等面积法即可求

出AR的长.

详解：取SA的中点E,连接「瓦。石，则PE//A5

因为平面ABC。，ABI平面ABCD,所以5ALAB,

又AB_LAD,ADSA=A>所以AB_L平面SAD,

所以PE,平面SAD,又4?u平面&W,所以

又AR_LPQ,PEPQ=P,PQ,PEu平面PEQ

所以4?，平面PEQ,因为E°u平面PEQ,所以

因为凡0分别为SAA。的中点，所以E0〃SD,所以AH,SD,

06/12

在直角cASD中，AS=4,AD=29所以50=，4废+AD、=J16+4=26,

fADAS2x44百

所以SD2逐5.

475

故答案为：5

点睛

本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.

16、答案6%

解析把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径，就是三棱锥的外接球的半径，由此能求

出该球的表面积，得到答案.

详解

由题意，知AA'M是等腰直角三角形，且平面4£/，

三棱锥的底面4即扩展为边长为1的正方形，

然后扩展为正四棱柱，三棱锥和外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，

正四棱柱的对角线长就是外接球的直径,

八Vl2+l2+22V6

所以球的半径22,

S=4»R2=4乃x（亚产=6万

所以该球的表面积为2

故答案为：6兀.

点睛

本题主要考查了球的表面积的求法，同时考查空间几何体的结构特征的应用，着重考查了推理与论证

能力，以及运算能力，属于中档试题.

详解：由于四边形A3CD是正方形，.

BCa平面PCM,人。匚平面。04,，3。〃平面也凶，

平面ABC。