2024年中考数学考前冲刺复习专题04点圆模型

专题04点圆模型题型解读动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力．该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点．掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径．本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握．模型01定义型点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆．模型02直径所对的角为直角（直角模型）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧．模型03等弦对等角模型一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧．模型构建模型01定义型考｜向｜预｜测点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主．解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题．答｜题｜技｜巧第一步：根据题意判定动点的变化特性第二步：找准定点和定长（圆心和半径）第三步：结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题例1．（2022·广西）1．如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．例2．（2022·北京）2．如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为．模型02直角模型考｜向｜预｜测点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解．实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键．许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题．答｜题｜技｜巧第一步：观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；第二步：利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；第三步：涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点；第四步：数形结合进行分析、解答例1．（2021·山东）3．如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为．例2．4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是第一象限内的一个动点并且使，点，则BC的最小值为．模型03等弦对等角考｜向｜预｜测点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握．该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度．该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差的性质求解．解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．答｜题｜技｜巧第一步：观察图形特点，确定定弦和定角；第二步：根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；第三步：利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；例1．（2022·江苏）5．如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为．例2．（2023·重庆）6．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为．强化训练（2023·广东）7．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．（2023·湖南）8．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3（2023·山西）9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A． B． C． D．（2023·广州）10．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为．（2023·云南）11．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．（2023·贵州）12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为．（2022•天津）13．如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为．（2023·贵阳）14．如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为．

（2023·安徽）15．等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当填度数度时，可以取最大值，最大值等于．（2023·广西）16．如图①，在中，，点分别是边上的点，且，连接，．(1)当时，求证：平分；(2)当时，求的值；(3)如图②，若点是线段上一点，且，连接交于点，求面积的最大值．通关试练17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．18．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（）A．5 B．2﹣2 C．6 D．2+219．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（

）．A．6 B． C．9 D．20．如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接，在上取一点E，使，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．21．如图，点P是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是（

）A． B． C．6 D．22．如图，矩形的边，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，则的最小值为．23．如图，在等边中，，点分别在边上，且，连接交于点，连接，则，的最小值是．24．如图，在中，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是．25．如图，在边长为3的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是．26．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为．27．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为．28．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，连接，则线段长的最小值为．29．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C.D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A.B.C.D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．参考答案1．A【分析】连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，相似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．∴，DQ=DC=1．∴．∴．∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，∴DE=DC=DN．∴点E在上移动．∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．∴△AEB面积的最小值为．故选：A．【点拨】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．2．##【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，则当点，点，点共线，且时，长度最小,当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，然后求得最大值与最小值的差即可求解．【详解】解：，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边的中点，，，点在以为圆心，为半径的圆上，如图，当点，点，点共线，且时，长度最小，，，最小值为．当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，则最大值为长度的最大值与最小值的差为故答案为：．【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、圆的基本认识，确定点的轨迹是本题的关键．3．．【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．∴BG的最小值为：．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．4．##【分析】由可知点B是以为直径的圆上的动点，当过圆心时长度最小，画图计算即可解题．【详解】解：如图，以为直径作，连接，交于点B，此时长最小，∵，，∴，∴，∴∴．故答案为：．【点拨】本题考查90°的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，找到线段长最小位置是解题的关键．5．【分析】根据题意得出E是以为直径的圆上的一个动点，利用勾股定理可得答案．【详解】解：，∴点E在以为直径的圆上，如图所示，的最大值为，∵正方形的边长为2，，的最大值为，当点E在的下方时，的最大值也是，故答案为：．【点拨】本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质及正方形的性质，根据最大的弦是直径求得为的最大值是解题的关键．6．．【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．【详解】如图所示，∵边长为6的等边，∴，又∵∴∴∴∴∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧此时连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值∵，，∴∴，∴又∵∴，∴即故答案为：【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．7．D【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形为矩形∴∵∴∴∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵，∴∴∵故选：D．【点拨】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．8．C【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可．【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上．过点M作MH⊥DC于点H，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故选：C．【点拨】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．9．D【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可．【详解】∵AQ⊥BQ，∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴CO＝OA＝1，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴的长为，故选：D．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键．10．【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，的值最大，进行求解即可．【详解】解：连接，∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，∴∴，，∵绕点A旋转，∴点在以点为圆心，为半径的圆上，∵，∴当三点共线时，的值最大，即：；故答案为：．【点拨】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上．11．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD＝2，∴．由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，CE的最大值即C到BA中点的距离加上长．∵，，BC＝2，∴C到BA中点的距离即，又∵，∴CE的最大值即．故答案为3．【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键．12．5【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴当B.G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．13．##【分析】作的外接圆，得到点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA.OE.OC，OA交于，分析得到当M与重合时，AM取得最小值．分别过点O作于点H，过点O作于点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解．【详解】∵，∴，如图，作的外接圆，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA.OE.OC，OA交于，当M与重合时，AM取得最小值．过点O作于点H，∵∴，∴，，过点O作于点G，∴，，AG=6-2=4，∴，则．故答案为：．【点拨】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题的关键是找到点M的轨迹．14．45【分析】因为，点G为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以G是以B为圆心，以5为半径的圆弧上的点，作C关于的对称点，连接，交于H，交以B为圆心，以5为半径的圆于G，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求．【详解】解：连接，

∵矩形，∴，，，∵点为的中点，∴，∴点在以圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以5为半径的圆于，由两点之间线段最短，此时的值最小，∴最小值为，即：的最小值为，故答案为：45．【点拨】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题．15．【分析】连接、．先证明，则，，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可．【详解】解：如图一，连接、．是等腰直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，，，，，，．，如图二，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上最长，，故答案为：；【点拨】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．16．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）证明得出，从而得出，再证明即可得证；（2）以点为圆心，长为半径作圆，过点作于，证明是等边三角形，得出，是等腰直角三角形，得出，设，则，结合，求出的值，然后证明即可得出答案；（3）由勾股定理得出，当时，取得最小值，此时，点到的距离取得最大值，即的面积取得最大值，求出，即可得解．【详解】（1）证明：，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）得：，如图①，以点为圆心，长为半径作圆，过点作于，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，设，则，在中，，解得：，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：由（1）得：，如图②，以点为圆心，长为半径作圆，∵，，，∴，为定值，∵为定值，∴当时，取得最小值，此时，点到的距离取得最大值，即的面积取得最大值，∵，即，解得：，∴，∴．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、圆的性质、锐角三角函数的定义以及三角形面积等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．17．A【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．【详解】解：连接AM，如图所示：∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵在矩形ABCD中，AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．【点拨】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．18．B【分析】作CB关于DA的对称点C'B'，以AB中的O为圆心作半圆O，连C′O分别交DA及半圆O于P、F．将PC+PF转化为C′F找到最小值．【详解】解：如图：取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连接AF．连接BF并延长交DA于点E．由以上作图可知，AF⊥EB于F．PC+PF＝PC'′+EF＝C'F由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．∵C'B'＝4，OB′＝6∴C'O＝，∴C'F＝，∴PC+PF的最小值为，故选：B．【点拨】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．19．A【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD.CF的长，代入面积公式求解即可．【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，过C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此时三角形ACE的面积==6，故选：A．【点拨】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．20．C【分析】根据∠DCE+∠ACE=90°，∠DCE=∠DAC，确定∠DAC+∠ACE=90°即∠AEC=90°，取AC的中点F，当B.E.F三点共线时，BE最小，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵，∴∠DCE+∠ACE=90°，∵∠DCE=∠DAC，∴∠DAC+∠ACE=90°即∠AEC=90°，取AC的中点F，当B.E.F三点共线时，BE最小，∵，，，∴AC=4，∴AF=CF=EF=2，∴BF=∴BE=BF-EF=,故选C【点拨】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短原理，取AC的中点F，准确构造两点之间线段最短原理是解题的关键．21．B【分析】取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，先求出，然后根据∠APB=90°，得到点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，则当D.P、G三点共线时，DP有最小值，由此求解即可．【详解】解：取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴，∴，∴，∵∠APB=90°，∴点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，∴当D.P、G三点共线时，DP有最小值，在Rt△BDG中，，∴，故选B．【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆外一点到圆上一点的最值问题，确定当D.P、G三点共线时，DP有最小值是解题的关键．22．7【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，则，∴，∴的最小值为；连接，∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，∴，，，∴四边形是矩形，∴，∵点关于直线的对称点，∴，在中，由勾股定理，得，∴的最小值为，故答案为：7．23．##120度【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理、圆的有关性质等知识，首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动（，），连接交于，当点与重合时，的值最小，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题．【详解】解：如图，，是等边三角形，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，在弧上任取一点，连接、，则，，，，，，，，，，，，，，，，，连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值．故答案为：，．24．【分析】以点E为圆心，为半径作圆，连接，交于点，此时的长度最小，即，过E作于点M，根据勾股定理求出即可求解．【详解】解：在中，，∴，∴，如图，以点E为圆心，为半径作圆，连接，交于点，此时的长度最小，∵将沿对折得到，且点E是的中点，∴，∵，∴此时的周长最小，过E作于点M，∴，由勾股定理可得，∴，由勾股定理可得，∴，∴周长的最小值是．故答案为：．【点拨】本题考查了折叠问题，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是关键．25．【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．过点M作交延长线于点H，连接，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出，再由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得点在以M为圆心，为半径的圆上，从而得到当点在线段上时，长度有最小值，是解题的关键．【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接，∵，∴∵，∴∴，∴∴∵将沿所在直线翻折得到，∴，∴点在以M为圆心，为半径的圆上，∴当点在线段上时，长度有最小值∴长度的最小值故答案为：26．##【分析】作，使得，，则，，，