【化归思想在中学数学中的应用探究6600字（论文）】

化归思想在中学数学中的应用研究目录23035摘要 III27421引言 1251821.1背景 119601.2化归思想的意义 182482化归思想的基本原则 1219412.1和谐化原则 2118762.2简单化原则 253332.3直观化原则 2154162.4熟悉化原则 3290153常见的化归方法 3240203.1数与数之间的转化 330113.1.1换元法 389503.1.2特殊值法 5186343.1.3补集法 5270633.1.4加强命题法 745213.2数与形之间的转化 9296563.2.1数形结合法 942663.3形与形之间的转化 11153023.3.1降维法 1147773.3.2等积法 13119124结束语 1415815参考文献 16摘要：数学思想方法蕴含于数学知识的产生、发展及应用中，是学习者把知识转化为能力的体现，是研究和解决数学问题以及生活问题所采用的手段、途径和方法.在数学中，思想和方法是相互依存的，而化归思想是最普遍、最重要的思想方法之一.化归思想的中心就是将那些复杂的、抽象的问题，转化为相对简单的、直观的问题，便于解决.本文通过对划归原则的分析，以及解题实例来展示化归思想在中学数学中的应用，详细叙述了化归思想在中学数学问题中的应用.具体地，本文主要分为三个部分，其中，第一部分是引言部分，大致介绍了化归思想的背景、概念及在中学中的意义.第二部分将分析化归思想的原则，介绍化归思想的应用过程中所遵守的必须原则.第三部分将讨论一些常见的化归方法，如：解方程中的消元，二次方程转化为一次方程解决，四边形的问题中通常连接对角线转化为三角形问题解决等等.关键词：化归；化归思想；换元法；转化；1引言1.1背景随着经济和科技的发展，人才需求的增大，教育的改革，新课标的出现，在对学生的知识与技能，数学思想和情感态度，及学习方法的要求也发生了改变.在数学中，数学知识十分重要，而以数学知识作为载体的数学思想以及解题方法也同样重要.数学思想方法蕴含于知识的产生、发展及应用中，是学习者把知识转化为能力的体现，是研究和解决数学问题以及生活问题所采用的手段、途径和方法.在数学中，思想和方法是相互依存的，而化归思想是最普遍、最重要的思想方法之一.定义：在已有的、简单的、具体的、基本的知识的基础之上，把A问题通过一定的方式方法进行转化，化归为相对容易解答的或已有固定解答的B问题，并且通过B问题的解答，能够得到A问题的解答.有时在复杂的问题中需要不断运用化归思想才能解题，但始终都脱离不了这样的模式.A问题（化归对象）B问题（化归目标） A问题（化归对象）B问题（化归目标） 难 转化（化归方法） 易A的解答B的解答A的解答B的解答 还原1.2化归思想的意义化归思想不仅是数学中重要的解题思想，也是我们生活中有效的思维方式.【11】化归在数学中无处不在，在中学数学中利用率同样很高，例如由未知向已知转化，数与形之间的转化，由多维向一维转化，由复杂抽象向简单具体转化.化归思想之中也包含了辩证思想的应用，它的实质就是利用运动变化发展的观点，以及两个或多个事物之间相互联系、相互制约的辩证观点来解决问题的，我们要学会善于对所要求解的问题进行变换转化，使得问题更加方便求解，进而解决问题.2化归思想的基本原则匈牙利著名数学家路沙·彼得运用生动有趣的文字，在其所著的《无穷的玩艺》中，形象地向我们阐述了数学家是怎样使用化归思想来解决生活中的问题的.书中写了这样一个故事：两个人在一起闲聊时，其中一人问到：“假设，现在我给你提供煤气灶、水龙头、水壶和火柴，让你烧开水，你会怎么做？”另一人对他提出的简单问题感到疑惑，但还是回答到：“先把水壶接满水后，放在煤气灶上，再开火，等着水烧开就可以了.”接着那人又问到：“如果其他的条件都不变，现在我已经把水壶装满了水，那你又会怎么处理？”这时，被提问者直接回答到：“当然是直接把水壶放上去，再开火.”然而在数学家的思想里，则会有更简单的回答：“把水倒掉，自然就回到第一个问题了.”【9】这个故事虽然有点夸张，但是它把未知化为已知，非常直观地体现了化归思想：化归，就是把未知转化成已知进行求解. 在总结我们处理数学问题的方法和经验中会发现，在遇到又陌生又复杂的问题时，我们往往通过化归思想把问题进行转化，化归为一个对我们而言比较熟悉的、简单的问题来进行求解.这样就可以把我们学习过的知识、已有的经验和方法充分调动起来解决问题.这就是化归思想，为了进行有效的化归，应遵循以下几个原则.2.1和谐化原则和谐化原则就是在求解问题时，通过转化所求问题的条件或者结论，使问题的表现形式更加和谐统一，或者是通过转化命题的形式，使其有助于运用某种数学方法或其他的符合人们思维规律的方式进行推演.通常体现和谐化原则方法有补集法、换元法、等积法等.2.2简单化原则简单化原则就是把复杂的、难解的、高维的问题转化为相对简单的、易解的、低维的问题，以便运用我们已知的简单的方法解决.这里所指的简单不仅是指知识的简化，而且还指问题结构形式和处理方式上的简化.通常遵循简单化原则的方法主要有三个，就是降维法、换元法、特殊值法.2.3直观化原则直观化原则就是把问题中复杂抽象的语言表述转化为相对直观具体的数学问题，从而有效把握问题所涉及的各个对象之间的关系，使问题得到简化，便于解决.例如把抽象的文字语言表述转化为具体的数字或者图形.直观化原则通常运用的方法有数形结合法、等积法等.2.4熟悉化原则熟悉化原则就是把陌生化归为熟悉，在解题过程中我们经常遇到的陌生题目，这时可以运用化归思想，转化为自己相对熟悉的题目，便于利用已经掌握的知识和经验来解决所求的问题.中学生在处理数学问题时找不到合适的解题方法，通常是因为他们尚未接触这类问题，或是问题太过陌生.面对这样的情况，就可以利用化归思想将问题化归为相对熟悉的问题，使得学生可以运用自己已掌握的知识和方法进行解题.熟悉化原则的常用方法有辅助线法、补集法、加强命题法等.3常见的化归方法 在中学数学中，我们运用化归思想的方法解题，主要分为三大形式：数与数之间的转化、数与形之间的转化、形与形之间的转化，便于我们快速定位问题的求解方法.3.1数与数之间的转化数与数之间的转化是中学数学中最常见的一种化归形式.在解题时，通过这类化归方法可以使所求问题得到简化，从而运用相对熟悉的步骤求解，由此解决问题.并且在中学数学中，我们能运用到的化归方法大多数都是数与数之间的转化，例如把所给的方程问题变形求解等，主要包括以下四种化归方法：3.1.1换元法通常在解题时，我们应把某个式子当作一个整体，并用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这就是数学中的换元法.换元的关键就是变量的构造和设置，它的实质就是替代，理论依据是等量代换，从而达到转换问题与研究对象的目的，进而将问题转移至代替后的新变量的知识背景中去进行研究，就可以使复杂问题变换为简单化，把非标准型问题变换为标准化，简化解题过程.例1.已知，求的解析式.解：运用换元法，令，后代入原式，构造新函数得，即，从而把繁难的计算和推理简化，快速求解得到：故的解析式为.例2.已知：数列的，前项和为，求的通项公式.解：由，可知，则有，则，故，此时运用换元法，令，则，又由，可得：，即，两边同时除以2n，再次运用换元法，令，则有，即，再代入得到：. 换元法通常是在寻求解题思路的过程，而适当灵活地运用换元，可以为求解问题提供新的依据和信息，解题思路也会清晰起来.当遇到已知条件和所求问题之间缺少必然联系的时候，找出它们之间的联系就成为了解决这个问题的关键.这时可以考虑运用换元法进行换元，以起到沟通和桥梁的作用，进而使问题得到解决.3.1.2特殊值法特殊值法就是在某一特定范围内取一个特殊的值，从而将复杂的问题简单化，这对于一些不需要整个解题思维的客观题十分友好，可以做到事半功倍的效果.在一般的问题中，通常运用特殊值法就可以获得解题的关键信息，由此发现解决问题的有效途径.例3.当时，不等式恒成立，试求的最大值.解：题目给出的的范围显然不能直接代入不等式中，因此可以运用特殊值法，在不等式中取特殊值，得到，当且仅当时，不等式，恒成立，故有的最大值为2.特殊值法是中学数学中一种十分高效、快捷、重要的解题方法.在解题时，如果我们熟练掌握了特殊值法的解题规律，就可以又快又准地找到解题的关键，并降低问题的难度，从而得到正确答案.3.1.3补集法我们通常在解决问题时总是先从题目正面入手进行思考，虽然这是解题的基本步骤，但有的时候用正向思维方式来求解问题的途径会比较困难.此时，我们就可以改变思维方向，逆向思考，从问题的反面寻求突破口，利用“正难则反，顺繁则逆”的技巧，往往可以起到“柳暗花明又一村”的作用.这就是化归思想中的补集法.例4.已知是一个常数，求满足什么条件时，使得抛物线的所有弦都不能被直线垂直平分.解：本题如果直接求解会比较困难，相反地，我们可以逆向思考，把问题转化为：在抛物线上存在关于直线对称的两点，求出的取值范围.设在抛物线上存在两点和关于直线对称，则，即，同时消去解得：，故存在和，使得上述方程有解，则有，即，从而得到，因此，原问题的解为.例5.已知函数在内至少有一个零点，试求实数的取值范围.解：题中至少有一个零点的情况相对复杂，并且需要分类讨论，难度较大，因此，可以考虑它的反面情形，没有零点时，a的取值范围更加明确.假设当函数在上没有零点，即在上有，即在上.当时，，要使，则必有，故原命题的取值范围是.在数学中存在很多的正反关系，例如函数与反函数、对立事件等，都可以为我们提供解题依据，利用补集法间接求解原问题，简化问题，降低难度，足以见得补集法在数学解题中的重要地位.3.1.4加强命题法加强命题法就是把原命题的限制条件变得更强，使问题的讨论范围更加精确，通常应用于数列和不等式的题目中.通过加强命题后，就可以得到一个比原命题拥有限制更强更加直观的，并且易于解决的命题，使得我们在通常解题时，思路更加清晰畅通，由此更快地得到求解或者求证的目标.例6.已知数列.记.求证：当时，（1）；（2）；（3）.解：（1）由题，猜想：.用数学归纳法证明：当时，，结论成立；假设当时，，则有，，从而，故，综上所述，故，得证.由，则，相加后可以得到：，故，得证.由，从而，即，故有，补齐得到，则，故,综上所述得证.在中学数学中，使用数学归纳法证明不等式时，往往需要我们对题目进行细致灵活的分析.加强命题法是数学解题方法中一种技术性偏高的方法，加上题目的复杂性，运用这个方法就要求我们具有较高的知识储备以及敏锐的思维，对我们的能力要求较高，但只要不断探索练习，总是可以掌握的.3.2数与形之间的转化数与形之间的转化最主要包括两点：“数上构形”：中学数学中一些属于代数方向的问题，我们在仔细观察和总结后，发现它们基本都具有某种几何特征，可以体现出数与形之间的关系，从而我们可以利用这种特征作为转化的条件，进而将问题中的代数转化为几何，来进行求解.【2】“形中觅数”：即问题中已知图形作出或易于作出图形，要解决这类问题主要是要找到恰当的表示问题数量关系的关系式，就可以把几何化归为代数，以“数助形”来达到解决问题的目的.【2】3.2.1数形结合法数形结合法就是运用化归思想，通过找到互相对应的数与形之间的元素，并把它们进行相互转化来求解问题的一种方法，实际上就是把代数中抽象的数学语言、数量关系与几何中直观的几何图形、位置关系联系起来，这样就可以做到“以数解形”、“以形解数”，是中学生常用一种的解题方法.数形结合法既保全了数据的严谨，又体现了形状的直观，是化归思想解题过程中的重要方法之一.例7.设定义域为的函数，则关于x的方程有7个不同的实数解的充要条件是（）.且且且且解：原函数中需要讨论绝对值，确定解太复杂，考虑去掉绝对值，把函数转化为，并作出函数的图像，如图1所示.令，则：（1）当时，函数有4个不同的实数解；（2）当时，函数有3个不同的实数解；（3）当时，函数没有实数解.故方程有7个不同的实数解的充要条件是方程有两个根：一个等于0，一个大于0.则此时应有且，故选C.图1例8.如图2，在正的三边上分别有点，若同时成立，求点在上的位置.解：此题单纯只依靠图形关系无法得出答案，此时应该利用数形结合法.设，由为正三角形，且由，可知：，，，又因为，即，解得：，即点在边上的处.图2利用数形结合法，我们可以把抽象问题直观化，由此实现数学中代数与几何之间的相互联系和相互转化，起到优化解题方法的目的，从而提高数学的实际运用能力和解题能力.3.3形与形之间的转化立体几何是中学数学中比重相当大的一个部分，它蕴含了许多的数学思想方法，其中最为典型的就是化归思想.在中学立体几何的学习和运用中，化归思想贯穿了始终，例如运用图像变换当中的分割、折叠、展开、辅助线以及辅助面等手段处理空间图形或平面图形.形与形之间的化归转化主要包括以下两种化归方法：3.3.1降维法降维法就是由三维空间向二维空间转化，目的在于把空间的基本元素化归到某一个平面上去，然后利用我们熟悉的平面几何知识来解决问题.降维法是研究和解决立体几何问题的重要数学方法之一，无论是在中学还是高等教育中，降维法都经常被运用到解题当中，可见它在数学上的重要性.例9.如图3，在直四棱柱中，，底面是直角梯形，且是直角，，求异面直线与所成角的大小.（要求答案用反三角函数来表示）解：由题意可知：是异面直线与所成的角，因此我们应把异面直线化归到一个平面，即求与所成角的大小.连接与，在中，可得，又在中，可得.在梯形中，过点作交于，可得，，，故得到.又在中，可得.则在中，有，故有，即为异面直线BC图3例10.如图4，在侧棱的正三棱锥中，，点分别是上的点，过点作截面，求周长的最小值是多少.解：根据假设，则，则,，即，故周长为.此函数无论是运用换元法，还是求导法，都无法求得最小值，因此我们考虑将例题图形展开为平面图形，那么解题思路豁然开朗.如图4，的周长最小值是，可以看出是一条线段，而又是等腰三角形，则，即利用余弦定理，可得到：，故即为的周长最小值.图4降维法可以有效的解决一系列复杂的立体几何问题，在降维过程中，我们应注意抓住求解的关键，构造合适的辅助平面进行求解.3.3.2等积法等积法就是选择从一个棱锥不同的底面和高分别计算棱锥的体积，且体积相同来建立相应元素之间的关系，利用这一思想进行化归，常常可以做到化难为易，化繁为简.例11.斜三棱锥的底面是等边三角形，且边长为，求侧棱到侧面的距离.解：如图5，过点作底面的垂线，则有，易证垂足点必在的平分线上.作交于，连接，则，又因为为正三角形，故有，于是有即为矩形.设侧棱长为，易知，，则，故，则，又由可得：，由，可得，故，即侧棱与侧面的距离为.图5在中学数学的几何学中，等积法是一种特别实用和有效的求解立体几何问题的方法与技巧.立体几何中“等积转换”的实质就是以面积或者体积来作为媒介，从而我们可以找出相关元素之间的联系，由此得出关系式，最后解决问题.4结束语 在中学数学中，化归思想的应用十分广泛，远不止举例这些.但在应用化归思想时需注意以下几个问题：1.应注意化归方法的有效性，在运用化归思想时应遵循化归的基本原则，化归作为一种思想，其中涉及了三个基本要素：eq\o\ac(○,1)化归对象，就是把什么元素进行化归；eq\o\ac(○,2)化归目标，就