系统辨识-第3章-系统辨识输入信号

第3章系统辨识常用输入信号 3.1

准备知识——随机过程 3.2

白噪声及其产生方法 3.3M序列的产生及其性质 3.4

逆重复M序列的产生及其性质

3.5辨识输入信号的要求对象u(k)y(k)噪声测量测量测量噪声测量噪声输入测量值输出测量值系统辨识辨识三要素：数据、模型和准则3.1准备知识—随机过程一维随机变量随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的数字特征定义数学期望差方一维随机变量随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的函数的分布定义定义联合分布函数联合分布律联合概率密度边缘分布条件分布两个随机变量的函数的分布随机变量的相互独立性定义性质二维随机变量推广二维随机变量数字特征随机变量的数字特征数学期望方差离散型连续型性质协方差与相关系数随机变量函数的数学期望定义计算性质二维随机变量的数学期望定义协方差的性质相关系数定理定义:设(

,F,P)为概率空间，T是参数集。若对任意t

T

，有随机变量X(e,

t)与之对应，则称随机变量族{X(e,

t)，t

T

}是(

,F,P)上的随机过程，简记为

{X(t)，t

T

}、{Xt，t

T

}、{X(t)}其中：

是事件的集合，F是

的子集组成的集合，P为概率(映射)。1.1随机过程的定义X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I。从数学上看，随机过程{X(e,

t)，t

T

}是定义在T

上的二元函数。对固定的t，则X(e,

t)是(

,F,P)上的随机变量；对固定的e，则X(e,

t)是定义在T上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。1.1随机过程的定义样本空间：试验结果的全体，通常用实数值表示某个结果对于固定e，

xe(t)称为样本(函数)对于固定时刻t0，

xe(t0)是随机变量1.1随机过程的定义随机过程{x(t)}是二元函数x(e,t)，其中e

A，表示随机事件，t表示时间，取值对事件和时间都具有偶然性。按参数T和状态空间I分类（1）T和I都是离散的————离散随机序列（2）T是连续的，I是离散的—离散随机过程（3）T是离散的，I是连续的--连续随机序列（4）T和I都是连续的————连续随机过程按{X(t)}

的概率特性分类正交增量过程独立增量过程马尔可夫过程

平稳随机过程1.1随机过程的定义随机过程{X(t)}在任意时刻t均可看作随机变量1.2随机变量及其分布

(1)一维随机变量的分布函数：离散随机变量概率分布律概率分布函数概率密度函数连续随机变量概率分布函数随机事件的概率==>随机变量的取值规律二维随机过程{X(t),Y(t)}在任意时刻t均可看作二维随机变量1.2随机变量及其分布

(2)二维随机变量的联合分布函数：离散随机变量联合分布律联合分布函数联合概率密度函数连续随机变量相互独立1.3随机过程的数字特征

(1)数学期望(均值函数)：数学期望的性质X、Y相互独立时：

(2)方差函数与标准差函数：1.3随机过程的数字特征方差的性质a为常数时X、Y相互独立时：——标准差函数

(3)协方差函数与相关系数：1.3随机过程的数字特征协方差的性质当a,b为常数时X、Y相互独立时：X、Y的相关系数标准差X、Y

互不相关1.3随机过程的数字特征协方差矩阵N维随机变量随机变量的矩X的k阶原点矩X的k阶中心矩方差=2阶中心矩1.3随机过程的数字特征(4)自相关函数与互相关函数随机序列的未来值、过去值对当前值的依赖关系。自相关函数：信号与其延迟信号之间相似性度量。离散信号连续信号互相关函数：两个随机过程不同时刻值相互关系的测度连续信号离散信号1.3随机过程的数字特征自相关函数与互相关函数性质u超前y时间τy超前u时间-τParseval定理

确定性信号x(t)的总能量为：随机过程x(t)的谱密度互谱密度(5)谱密度与互谱密度1.3随机变量的数字特征为充分激励系统，要求输入信号的频谱“宽”于系统频谱。对于频率响应为G(jω)的线性系统，在随机输入下的输出谱密度和互谱密度分别为：1.3随机变量的数字特征定义设{X(t)，t

T

}是随机过程，并满足：

(1)E{X2(t)}存在；

(2)对任意t

T

，μX(t)=EX(t)=常数；

(3)对任意s,t

T

，RX(s,t)=E{X(s)X(t)}=RX(t-s)，即统计性质不随时间改变，则称为广义平稳过程、平稳过程。若T为离散集，称为平稳序列。实际工程中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳过程。

1.4平稳随机过程各态遍历性

若平稳的随机过程的每一个足够长的样本函数，都具有相同的统计性质持续激励信号（persistentlyexcitingsignal）定义：设信号u(k)是拟平稳的随机信号，如果对于任意的ω，总有谱密度函数Su(ω)>0。定理：设信号u(k)是拟平稳的随机信号，如果自相关函数矩阵是n阶非奇异的，则u(k)是n阶持续激励信号。例：则n个不同频率的正弦信号叠加和是n阶持续激励信号。1.4平稳随机过程3.2白噪声及其产生方法白噪声定义白噪声过程是一种最简单的随机过程，严格地说，它是均值为0，功率谱密度为非零常数的平稳随机过程。x(t)R＝1总能量：平均功率：2、白噪声及其产生方法总能量：平均功率：由Parseval定理平均谱密度：2、白噪声及其产生方法白噪声的一个重要公式Wiener-Khintchine关系式傅立叶变换对平均功率谱密度：维纳一辛钦公式2、白噪声及其产生方法白噪声的描述白噪声的自相关函数为：根据维纳一辛钦公式2、白噪声及其产生方法白噪声是任意阶的持续激励信号。白噪声序列的产生MATLAB下用randn(m,n)指令可以产生服从期望为0，标准差为1的高斯白噪声。有色噪声的产生

白噪声通过一传递函数（成形滤波器）可生成有色噪声。2、白噪声及其产生方法白噪声序列——工程上无法获得3.3

M序列的产生及其性质1.伪随机码M序列的由来可重复产生的输入信号，用以辨识系统工程上，采用M序列来辨识系统的脉冲响应序列2.M序列的特点(1)伪随机二位式序列；

(2)M序列的数学特征与白噪声相似；

(3)确定性序列；

(4)工程上可以方便地重复产生。3、M序列的产生及其性质3.M序列的产生方法产生方法：工程上产生M序列采用移位寄存器方法。3、M序列的产生及其性质移位操作(k=1,2,…,n)不同算法：系数ai取不同值，初值xi(0)取不同值模2加反馈四级移位寄存器输出序列1111011100110001100001000010100111000110101101011010110111101111输出序列寄存器1寄存器2寄存器3寄存器43、M序列的产生及其性质反馈级选择不同，所得序列信号将完全不同定义：n级移位寄存器产生的最长序列为M序列1111011100111001110011101111输出序列寄存器1寄存器2寄存器3寄存器4输出序列3、M序列的产生及其性质n级移位寄存器产生的序列的最大周期为M序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等

1的个数为(Np+1)/2=2n-10的个数为(Np-1)/2=2n-1-1

在4级移位存储器中,Np=151的个数为80的个数为73)移位可加性2个相异M序列，按位模2加后得到的和序列仍为M序列4)从逻辑1

逻辑0或从逻辑0

逻辑1的次数为4．M序列的性质3、M序列的产生及其性质5）M序列中某种状态连续出现的段称为游程。一个周期中有2n-1个游程，游程长度为1~n，但出现的概率是随机的。其中0的游程和1的游程各占一半长度为1的游程有2n-2个长度为2的游程有2n-3个长度为3的游程有2n-4个……长度为n的游程有1个3、M序列的产生及其性质0对应高电平+a1对应低电平-a5．M序列的自相关函数离散形式：白噪声的自相关函数3、M序列的产生及其性质Δ为移位脉冲周期情况1：同为a或-a情况2：3、M序列的产生及其性质情况3：3、M序列的产生及其性质情况4：M序列与白噪声具有相同的性质情况3：情况1：情况2：3、M序列的产生及其性质6.二电平M序列的功率谱密度物理意义：对于任何信号，将它分解成若干个（无限个）不同频率的正弦信号分量。这些正弦波分量的功率谱与其频率的对应关系即为信号的功率谱。随机过程x(t)的谱密度与自相关函数构成一组傅立叶变换对3、M序列的产生及其性质二电平M序列的功率谱为其中：基波频率

(

)为

函数3、M序列的产生及其性质2.M序列的直流分量与Np2成正比，因此，加大Np，可减少M序列中的直流分量。1.M序列的频谱不是光滑的曲线，而是线条谱。只在基波频率的整数倍频率

＝k0上取值3.当M序列的频带为

时，功率谱密度即下降了3分贝（db）3、M序列的产生及其性质1.幅值可取a,-a，容易选择，且当Np充分大时，均值约等于02.在一个周期内，自相关函数RM(τ)近似为δ函数，因此，以M序列为输入的线性系统，其互相关函数序列等于脉冲响应序列（Np大于过渡过程）3.对于多输入单输出系统，可将同一M序列的不同移位序列（例：{M(k)}、{M(k+Np)}、{M(k+2Np)}等）作为各输入信号的扰动信号，当输出对各输入的过渡过程小于Np时，可认为输入信号之间是互相正交的。M序列作为输入信号的优点3、M序列的产生及其性质3.5逆重复M序列的产生及其性质1.定义M序列{u}和方波信号{m}按模2加法规则相加，得到逆重复M序列{l}三级移位寄存器1010101010101011010011101001011110