高中数学选择性必修一课件：1 1 1 第2课时 共线向量与共面向量

第2课时

共线向量与共面向量第一章

1.1.1空间向量及其线性运算1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点

共线、四点共面.学习目标我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下.导语随堂演练课时对点练一、空间向量共线的充要条件二、空间向量共面的充要条件内容索引一、空间向量共线的充要条件问题1

平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？提示对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知

＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的

，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.a＝λb方向向量知识梳理注意点：(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.(2)向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上.解方法一

∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，方法二∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，反思感悟向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，跟踪训练1

(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若

则m＋n＝____.解析由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，1所以m＋n＝1.(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，

求证：四边形EFGH是梯形.(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，

求证：四边形EFGH是梯形.证明∵E，H分别是AB，AD的中点，又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.二、空间向量共面的充要条件问题2

空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.问题3

对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb?提示向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段

所在的直线OA_______

或

，那么称向量a平行于平面α.2.共面向量平行于平面α知识梳理定义平行于同一个

的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)使

__________在平面α内平面唯一p＝xa＋yb提示x＋y＋z＝1.证明如下：(1)充分性∴点P与A，B，C共面.(2)必要性∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，又∵点O在平面ABC外，∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.例2

(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是√√由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确.(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面.反思感悟解决向量共面的策略(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示.跟踪训练2

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面.证明如图，连接EG，BG.(2)BD∥平面EFGH.所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.1.知识清单：(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量.(2)空间向量共面的充要条件.(3)三点共线、四点共面的证明方法.2.方法归纳

：转化化归、类比.3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线.课堂小结随堂演练1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量√1234解析由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量.2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是√1234√解析A选项中，3－1－1＝1，四点共面，∴点M，A，B，C共面.且M，A，B，C四点共面，√1234－31234因为A，B，D三点共线，1234即9a＋mb＝λ(－3a＋b).解得m＝λ＝－3.课时对点练1.下列命题中正确的是A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面基础巩固12345678910111213141516D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb√解析A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb.12345678910111213141516A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D√∴A，B，D三点共线.12345678910111213141516A.P∈直线ABB.P∉直线ABC.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.以上都不对√12345678910111213141516解析因为m＋n＝1，所以m＝1－n，12345678910111213141516所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.A.四点O，A，B，C必共面

B.四点P，A，B，C必共面C.四点O，P，B，C必共面

D.五点O，P，A，B，C必共面√123456789101112131415165.(多选)在以下命题中，不正确的命题是A.已知A，B，C，D是空间任意四点，B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件C.若a与b共线，则a与b所在的直线平行D.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面√12345678910111213141516√√若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故B不正确；由向量平行知C不正确；D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确.12345678910111213141516√12345678910111213141516又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，－8∵A，B，D三点共线，12345678910111213141516∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，∵e1，e2不共线，平行解析设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)判断M是否在平面ABC内.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件√12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内√12345678910111213141516于是M，B，A1，D1四点共面.14.有下列命题：12345678910111213141516④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上).②③④12345678910111213141516拓广探究123456789101112131415160解析∵A，B，C三点共线，12345678910111213141516∴①当k＝－1时，比较系数得m＝0且λ＝－n，∴λ＋m＋n＝0；12345678910111213141516得m＝(－k－1)λ，n＝kλ；由此可得λ＋m＋n＝λ＋(－