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文档简介
第2课时
共线向量与共面向量第一章
1.1.1空间向量及其线性运算1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件,会证明空间三点
共线、四点共面.学习目标我们知道向量是有大小、有方向的量,它可以平行移动,平面内两个向量若方向相同或相反,就说它们是共线的,那么在空间内向量共线又是怎么回事呢?今天我们就来探究一下.导语随堂演练课时对点练一、空间向量共线的充要条件二、空间向量共面的充要条件内容索引一、空间向量共线的充要条件问题1
平面向量共线的充要条件是什么?它适用于空间向量吗?提示对任意两个平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb,由于空间向量共线的定义与平面向量相同,因此也适用于空间向量.1.对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使
.2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,可知
=λa,把与向量a平行的非零向量称为直线l的
,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.a=λb方向向量知识梳理注意点:(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.(2)向量a,b共线时,表示向量a,b的两条有向线段不一定在同一条直线上.解方法一
∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,方法二∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,反思感悟向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:是否存在实数λ,跟踪训练1
(1)已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若
则m+n=____.解析由于A,B,C三点共线,所以存在实数λ,1所以m+n=1.(2)如图所示,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,
求证:四边形EFGH是梯形.(2)如图所示,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,
求证:四边形EFGH是梯形.证明∵E,H分别是AB,AD的中点,又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.二、空间向量共面的充要条件问题2
空间任意两个向量是共面向量,则空间任意三个向量是否共面?提示不一定,如图所示,空间中的三个向量不共面.问题3
对两个不共线的空间向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p与向量a,b有什么位置关系?反过来,向量p与向量a,b有什么位置关系时,p=xa+yb?提示向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.1.向量与平面平行:如果表示向量a的有向线段
所在的直线OA_______
或
,那么称向量a平行于平面α.2.共面向量平行于平面α知识梳理定义平行于同一个
的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x,y)使
__________在平面α内平面唯一p=xa+yb提示x+y+z=1.证明如下:(1)充分性∴点P与A,B,C共面.(2)必要性∵点P在平面ABC内,不共线的三点A,B,C,又∵点O在平面ABC外,∴x=1-m-n,y=m,z=n,∴x+y+z=1.例2
(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是√√由共面的充要条件知P,A,B,C四点共面,故C选项正确.(2)(链接教材P5例1)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2,求证:A1,B,N,M四点共面.又∵三向量有相同的起点A1,∴A1,B,N,M四点共面.反思感悟解决向量共面的策略(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示.跟踪训练2
已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证:(1)E,F,G,H四点共面.证明如图,连接EG,BG.(2)BD∥平面EFGH.所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.1.知识清单:(1)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量.(2)空间向量共面的充要条件.(3)三点共线、四点共面的证明方法.2.方法归纳
:转化化归、类比.3.常见误区:混淆向量共线与线段共线、点共线.课堂小结随堂演练1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量√1234解析由向量共面定理可知,三个向量a,b,2a-b为共面向量.2.(多选)下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是√1234√解析A选项中,3-1-1=1,四点共面,∴点M,A,B,C共面.且M,A,B,C四点共面,√1234-31234因为A,B,D三点共线,1234即9a+mb=λ(-3a+b).解得m=λ=-3.课时对点练1.下列命题中正确的是A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面基础巩固12345678910111213141516D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb√解析A中,若b=0,则a与c不一定共线;B中,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面;D中,若b=0,a≠0,则不存在λ,使a=λb.12345678910111213141516A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D√∴A,B,D三点共线.12345678910111213141516A.P∈直线ABB.P∉直线ABC.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上D.以上都不对√12345678910111213141516解析因为m+n=1,所以m=1-n,12345678910111213141516所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈直线AB.A.四点O,A,B,C必共面
B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面
D.五点O,P,A,B,C必共面√123456789101112131415165.(多选)在以下命题中,不正确的命题是A.已知A,B,C,D是空间任意四点,B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件C.若a与b共线,则a与b所在的直线平行D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面√12345678910111213141516√√若a,b同向共线,则|a|-|b|<|a+b|,故B不正确;由向量平行知C不正确;D中只有x+y+z=1时,才有P,A,B,C四点共面,故D不正确.12345678910111213141516√12345678910111213141516又∵P是空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,-8∵A,B,D三点共线,12345678910111213141516∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2,∵e1,e2不共线,平行解析设G是AC的中点,连接EG,FG(图略),1234567891011121314151612345678910111213141516(2)判断M是否在平面ABC内.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件√12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内√12345678910111213141516于是M,B,A1,D1四点共面.14.有下列命题:12345678910111213141516④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上).②③④12345678910111213141516拓广探究123456789101112131415160解析∵A,B,C三点共线,12345678910111213141516∴①当k=-1时,比较系数得m=0且λ=-n,∴λ+m+n=0;12345678910111213141516得m=(-k-1)λ,n=kλ;由此可得λ+m+n=λ+(-
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