高中数学选择性必修一课件：2 4 2 圆的一般方程(人教A版)

第二章

§2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和

半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点圆的一般方程1.圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程

称为圆的一般方程.x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝02.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点____________D2＋E2－4F>0表示以

为圆心，以

为半径的圆思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.(

)2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(

)3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(

)4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(

)××√√2题型探究PARTTWO一、圆的一般方程的辨析例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，一、圆的一般方程的辨析例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，(2)写出圆心坐标和半径.解将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，反思感悟圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.跟踪训练1

(1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为A.r＝1，(－2,1) B.r＝2，(－2,1)C.r＝2，(2，－1) D.r＝1，(2，－1)√解析x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1).(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是√解析因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，二、求圆的一般方程例2已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为

，求圆的方程.二、求圆的一般方程例2已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为

，求圆的方程.解方法一(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

③∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.方法二(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).又圆C的半径长代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.反思感悟求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.跟踪训练2

(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________.x2＋y2－4x－4y－2＝0解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，解得D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是______________________.x2＋y2－8x－2y＋12＝0解析设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.三、求动点的轨迹方程例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；解设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.反思感悟求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.跟踪训练3已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).3随堂演练PARTTHREE1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16√123452.将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0√12345解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2).A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为A.以(a，b)为圆心的圆

B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b) D.点(－a，－b)√12345解析原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，∴方程表示点(－a，－b).4.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是____________.12345(－∞，－1)解析方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆.5.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是______________.123452x－y－6＝0解析圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.即2x－y－6＝0.1.知识清单：(1)圆的一般方程.(2)求动点的轨迹方程.2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在A.圆内 B.圆上C.圆外 D.无法确定√基础巩固123456789101112131415162.圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为√123456789101112131415163.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是√12345678910111213141516解析方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圆的条件是42＋(－2)2－4×5m>0，解得m<1.4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为√12345678910111213141516解析因为圆心坐标为(1，－2)，5.如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有A.D＋E＝0 B.D＝EC.D＝F D.E＝F√12345678910111213141516解析由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，6.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是__________.123456789101112131415167.若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是__________.12345678910111213141516(－∞，1)解析点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.8.已知直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0,1)，则直线AB的方程为____________.12345678910111213141516x－y＋1＝0解析易知圆心P的坐标为(－1,2).∵AB的中点Q的坐标为(0,1)，∴直线AB的斜率k＝1，故直线AB的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.9.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程.解设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C三点都在圆上，∴A，B，C三点的坐标都满足所设方程，把A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)的坐标依次代入所设方程，∴所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0.1234567891011121314151610.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.12345678910111213141516解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，于是有x0＝8－x

，y0＝6－y. ①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.1234567891011121314151611.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限√综合运用解析因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，故该圆的圆心在第四象限.1234567891011121314151612.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是A.(x＋3)2＋y2＝4 B.(x－3)2＋y2＝1C.(2x－3)2＋4y2＝1 D.(2x＋3)2＋4y2＝1√解析设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，又点P在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.1234567891011121314151613.已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是__________.12345678910111213141516(－∞，8)解析由题意知，直线y＝x＋b过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b＝5，所以圆的方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，所以a<13，由此得a－b<8.14.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________.12345678910111213141516(0，－1)∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1).√12345678910111213141516拓广探究12345678910111213141516化简得(x－3)2＋y2＝8