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第1页(共1页)2024年河南省洛阳市中考数学三模试卷一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的。1.(3分)的相反数是()A. B. C. D.2.(3分)5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑,而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅.已知硅原子的半径约为0.117mm(1nm=10﹣9m)数字0.117nm用科学记数法可表示为()mA.0.117×10﹣9 B.117×10﹣6 C.1.17×10﹣10 D.1.17×10﹣83.(3分)如图是某几何体的展开图,该几何体是()A.扇形 B.三棱锥 C.圆锥 D.圆柱4.(3分)下列运算正确的是()A.a2+a2=2a4 B.(a﹣b)2=a2﹣b2 C.a2•a3=a6 D.a2÷a2=1(a≠0)5.(3分)如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,若∠AOC=40°,则∠DOF的度数是()A.20° B.40° C.70° D.80°6.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根7.(3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,已知AE=5,DE=3()A.2 B. C.4 D.248.(3分)某校体操队5名队员的身高(单位:cm)分别是166、166、167、170、175,现用一名身高为170cm的队员换下身高为175cm的队员,队员身高的()A.平均数变小,方差变小 B.平均数变小,方差变大 C.平均数变大,方差变小 D.平均数变大,方差变大9.(3分)如图1,矩形ABCD中,点E为BC的中点,设BP=x,PA﹣PE=y,则AD长为()A.6 B.8 C.10 D.1210.(3分)如图,在平面直角坐标系中,大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”,AB∥y轴,正方形ABCD的面积为5,将△CDG绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,点G的坐标为()A. B. C. D.二、填空题(每小题3分,共15分)11.(3分)请你写出一个图象经过点(1,1)的函数解析式:.12.(3分)不等式组的整数解为.13.(3分)2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘,欣欣家国”.“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌.将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中,从中随机抽取一张不放回,则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为.14.(3分)如图,在2×3的网格图中,每个小正方形的边长均为1,B,C,D都在格点上,线段CD与弧AC交于点E.15.(3分)如图,等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别在边AB和AC上.将∠A沿着DE折叠,此时BD的长为.三、解答题(本大题共8个小题,共75分)16.(10分)(1)计算:;(2).17.(9分)某洗车公司安装了A,B两款自动洗车设备,工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份(评分分数用x表示,分为四个等级:不满意x<70,比较满意70≤x<80,满意80≤x<90,非常满意x≥90),下面给出了部分信息:抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据:83,85,85,87,89;抽取的对B款设备的评分数据:68,69,76,81,84,86,87,87,89,97,98,98,98,100.抽取的对A,B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息,解答下列问题:(1)填空:a=,m=,n=;(2)5月份,有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分,估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数;(3)根据以上数据,你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎?请说明理由(写出一条理由即可).18.(9分)为了“让人民群众奔着更好的日子去”,各地广泛进行电商助农销售.某网店尝试用30天的时间,按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/件的农产品(件)、销售单价y(元/件)在第x天(x为正整数),且第1天的日销售量为98件,第4天的日销售量为92件(1)求第5天的日销售量;(2)在这30天中,网店哪天销售该农产品的日利润W最大?最大是多少元?19.(9分)如图,一次函数y=k1x+3(k1≠0)与反比例函数的图象交于点A(2,a),与y轴交于点B的图象上的一点C作x轴的垂线,垂足为点D1x+3于点E,且S△OAB:S△OCD=3:4.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)若OC∥AB,求△OCE的面积;(3)请直接写出当x>0时,不等式解集.20.(9分)位于洛阳的明堂,是唐洛阳城的地标性建筑,为中国古代建筑的巅峰之作.今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体,在台基底部A处测得斜坡AB=10米,坡角∠A=30°,在E处测得明堂顶端C的仰角是47°,求明堂CD的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin47°≈0.73,cos47°≈0.68,tan47°≈1.07).21.(9分)如图在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D.(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作⊙O的切线,交AB的延长线于点F,交AC于E(不写作法和证明,保留作图痕迹)(2)求证:DE⊥AC;(3)若AE=6,FB=4,求⊙O的半径.22.(10分)已知:经过点,B(0,﹣3).(1)请直接写出y1函数解析式;(2)平移抛物线使得新顶点为P(m,n)(m>0)仍在原抛物线上.新抛物线与y轴交于Q,S△BPQ=4.①求新抛物线的解析式y2,并直接写出此时y1>y2时x的取值范围;②若点C在y2上,线段CD∥x轴,,线段CD与y2有两个交点,请直接写出点C横坐标的取值范围.23.(10分)综合与实践课上,老师给出定义:对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了数学活动.操作发现(1)①如图1构造一个四边形ABCD,使得AB=AD,BC=DC“垂美四边形”.(填“是”或“不是”)②如图2,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE、BG、GE.那么四边形BCGE是“垂美四边形”吗?请说明理由.拓展探究(2)如图3,四边形ABCD是“垂美四边形”,则两组对边AB、CD与BC、AD之间有什么数量关系?请说明理由.迁移应用(3)如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4.P、Q分别是射线AB,AC上一个动点,分别沿AB和AC方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动,运动时间为t秒,当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是“垂美四边形”时
2024年河南省洛阳市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的。1.(3分)的相反数是()A. B. C. D.【解答】解:的相反数是﹣,故选:B.2.(3分)5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑,而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅.已知硅原子的半径约为0.117mm(1nm=10﹣9m)数字0.117nm用科学记数法可表示为()mA.0.117×10﹣9 B.117×10﹣6 C.1.17×10﹣10 D.1.17×10﹣8【解答】解:0.117=1.17×10﹣10.故选:C.3.(3分)如图是某几何体的展开图,该几何体是()A.扇形 B.三棱锥 C.圆锥 D.圆柱【解答】解:因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形,故这个几何体是圆锥.故选:C.4.(3分)下列运算正确的是()A.a2+a2=2a4 B.(a﹣b)2=a2﹣b2 C.a2•a3=a6 D.a2÷a2=1(a≠0)【解答】解:A、a2+a2=3a2,故A不符合题意;B、(a﹣b)2=a4﹣2ab+b2,故B不符合题意;C、a5•a3=a5,故C不符合题意;D、a6÷a2=1(a≠4),故D符合题意;故选:D.5.(3分)如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,若∠AOC=40°,则∠DOF的度数是()A.20° B.40° C.70° D.80°【解答】解:∵直线AB、CD相交于点O,∴∠BOD=∠AOC=40°,∵OE平分∠BOD,∴∠DOE=∠BOD=20°,∵OF⊥OE,∴∠EOF=90°,∴∠DOF=∠EOF﹣∠DOE=90°﹣20°=70°.故选:C.6.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根【解答】解:∵Δ=(﹣1)2﹣3×1×(﹣m2)=2+4m2>7,∴方程有两个不等实根.故选:A.7.(3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,已知AE=5,DE=3()A.2 B. C.4 D.24【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD=2OD,∵E为OD的中点,∴OE=DE=3,∵AE=5,∴OA=,∴OD=OB=6,AB=,∴菱形ABCD的周长=4×,故选:B.8.(3分)某校体操队5名队员的身高(单位:cm)分别是166、166、167、170、175,现用一名身高为170cm的队员换下身高为175cm的队员,队员身高的()A.平均数变小,方差变小 B.平均数变小,方差变大 C.平均数变大,方差变小 D.平均数变大,方差变大【解答】解:(166+166+167+170+175)=168.6,现用一名身高为170cm的队员换下身高为175cm的队员,则平均数变小,即方差变小.故选:A.9.(3分)如图1,矩形ABCD中,点E为BC的中点,设BP=x,PA﹣PE=y,则AD长为()A.6 B.8 C.10 D.12【解答】解:当点P在点B处时,y=2,当点P到达点E处时,y=10,在Rt△ABE中,AB2+BE3=AE2,即(BE+2)2+BE2=102,∴BE=7,∵点E为BC中点,∴BC=12,∴矩形ABCD中AD=BC=12,故选:D.10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”,AB∥y轴,正方形ABCD的面积为5,将△CDG绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,点G的坐标为()A. B. C. D.【解答】解:∵360°÷90°=4,∴每4次一循环,∵2024÷6=506,第2024次旋转结束时,过G作GM⊥CD于M,∵正方形ABCD的面积为5,正方形EFGH的面积为1,,设CG=a,则DH=a+1,在Rt△CDG中,由勾股定理得a2+(a+3)2=5,∴a=3或a=﹣2(舍去),∵,∴,.∴,,G的坐标为,故选:D.二、填空题(每小题3分,共15分)11.(3分)请你写出一个图象经过点(1,1)的函数解析式:如:y=x,y=,y=x2,….【解答】解:将点(1,1)代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得:y=x,y=2等.12.(3分)不等式组的整数解为﹣1.【解答】解:,由①得:x≥﹣1,由②得:x<3,∴不等式组的解集为﹣1≤x<0,则整数解为﹣2.故答案为:﹣1.13.(3分)2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘,欣欣家国”.“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌.将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中,从中随机抽取一张不放回,则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为.【解答】解:列表如下:龙行龘龘龙(龙,行)(龙,龘)(龙,龘)行(行,龙)(行,龘)(行,龘)龘(龘,龙)(龘,行)(龘,龘)龘(龘,龙)(龘,行)(龘,龘)共有12种等可能的结果,其中抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果有2种,∴抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为=.故答案为:.14.(3分)如图,在2×3的网格图中,每个小正方形的边长均为1,B,C,D都在格点上,线段CD与弧AC交于点E﹣.【解答】解:连接AD,AE,∵AD=AC==,CD==,∴AD2+AC2=CD8,∴∠CAD=90°,∴△ACD是等腰直角三角形,∵∠ABC=90°,∴AC是半圆的直径,∴∠AEC=90°,∴CE⊥AE,∴AE=DE=CE=CD=,∴∠CAE=∠ACE=45°,∴∠CAE=∠ACE=45°,∴弧CE所对的圆心角为90°,∴图中阴影部分的面积=﹣××=﹣.故答案为:﹣.15.(3分)如图,等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别在边AB和AC上.将∠A沿着DE折叠,此时BD的长为或.【解答】解:分两种情况:①当BA:AC=1:2时,BA=5,由题可得,∠B=∠C=∠DAE=60°,∴∠D+∠BAD=120°=∠CAE+∠BAD,∴∠D=∠CAE,又∵∠B=∠C,∴△DBA∽△ACE,∴=,即,∴BD=;②当BA:AC=2:4时,BA=2,同理可得△DBA∽△ACE,∴=,即=,∴BD=;综上所述,BD的长为或.三、解答题(本大题共8个小题,共75分)16.(10分)(1)计算:;(2).【解答】解:(1)=3﹣3+1=7;(2)=•=•=﹣.17.(9分)某洗车公司安装了A,B两款自动洗车设备,工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份(评分分数用x表示,分为四个等级:不满意x<70,比较满意70≤x<80,满意80≤x<90,非常满意x≥90),下面给出了部分信息:抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据:83,85,85,87,89;抽取的对B款设备的评分数据:68,69,76,81,84,86,87,87,89,97,98,98,98,100.抽取的对A,B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息,解答下列问题:(1)填空:a=15,m=88,n=98;(2)5月份,有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分,估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数;(3)根据以上数据,你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎?请说明理由(写出一条理由即可).【解答】解:(1)由题意得,a%=1﹣10%﹣45%﹣,即a=15;把A款设备的评分数据从小到大排列,排在中间的两个数是87,故中位数m=;在B款设备的评分数据中,98出现的次数最多.故答案为:15;88;(2)600×15%=90(名),答:估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名;(3)A款自动洗车设备更受消费者欢迎,理由如下:因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同,但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高.18.(9分)为了“让人民群众奔着更好的日子去”,各地广泛进行电商助农销售.某网店尝试用30天的时间,按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/件的农产品(件)、销售单价y(元/件)在第x天(x为正整数),且第1天的日销售量为98件,第4天的日销售量为92件(1)求第5天的日销售量;(2)在这30天中,网店哪天销售该农产品的日利润W最大?最大是多少元?【解答】解:(1)设m与x的函数关系式为:m=kx+b,∵当x=1时,m=98,m=92,∴,解得,∴m=﹣2x+100,当x=5时,m=﹣8×5+100=90,∴第5天的日销售量为90件;(2)观察图象可知,当4≤x≤20时,根据图象数据得:,解得,∴y=x+30;当20<x≤60时,y=50;∴y与x的函数解析式为y=;当7≤x<20时,W=m(y﹣10)=(﹣2x+100)(x+30﹣10)=﹣2(x﹣15)4+2450,∴当x=15时,W有最大值2450;当20≤x≤60时,W=m(y﹣10)=40(﹣2x+100)=﹣80x+4000,∵﹣80<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=20时,y有最大值为:﹣1600+4000=2400,综上所述,第15天该网店销售该商品的日利润W最大.19.(9分)如图,一次函数y=k1x+3(k1≠0)与反比例函数的图象交于点A(2,a),与y轴交于点B的图象上的一点C作x轴的垂线,垂足为点D1x+3于点E,且S△OAB:S△OCD=3:4.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)若OC∥AB,求△OCE的面积;(3)请直接写出当x>0时,不等式解集.【解答】解:(1)由一次函数y=k1x+3解析式可知B(6,3),∵A(2,a),∴S△AOB==3,∵S△OAB:S△OCD=3:5,∴S△OCD=4,∴k2=7×4=8,∴反比例函数解析式为y=,∵A(2,a)在反比例函数图象上,∴a=4,∴A(6,4),将A(2,8)坐标代入y=k1x+3得,8k1+3=6,解得k1=,∴一次函数解析式为y=.(2)∵AC∥AB,∴两直线k值相等,∴直线OC解析式为y=,与反比例函数联立方程组得:,解得,∴C(4,7),∴E(4,5),∴S△OCE==6.(3)根据图像当x>2时,不等式.20.(9分)位于洛阳的明堂,是唐洛阳城的地标性建筑,为中国古代建筑的巅峰之作.今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体,在台基底部A处测得斜坡AB=10米,坡角∠A=30°,在E处测得明堂顶端C的仰角是47°,求明堂CD的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin47°≈0.73,cos47°≈0.68,tan47°≈1.07).【解答】解:过点B作BG⊥AD,垂足为G,由题意得:BG=DF,BE=2米,在Rt△ABG中,∠BAG=30°,∴BG=AB=5(米)BG=7,设BF=x米,∴EF=BF﹣BE=(x﹣2)米,在Rt△CBF中,∠CBF=45°,∴CF=BF•tan45°=x(米),在Rt△CEF中,∠CEF=47°,∴CF=EF•tan47°≈3.07(x﹣2)米,∴x=1.07(x﹣2),解得:x≈30.57,∴CF=30.57米,∴CD=CF+DF=CF+BG=30.57+5≈35.6(米),∴明堂CD的高度约为35.8米.21.(9分)如图在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D.(1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作⊙O的切线,交AB的延长线于点F,交AC于E(不写作法和证明,保留作图痕迹)(2)求证:DE⊥AC;(3)若AE=6,FB=4,求⊙O的半径.【解答】(1)解:1.以点D为圆心,交直线OD于点M,N,2.分别以M,以大于,两弧相交于点H,3.过点D,交AC于点E,则直线EF为过点D的⊙O的切线.(2)证明:连接AD,如图,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=DC,∵OA=OB,∴OD为△BAC的中位线,∴OD∥AC.由(1)知:直线EF为过点D的⊙O的切线,∴OD⊥EF,∴DE⊥AC.(3)解:设⊙O的半径为r,则OD=r,FA=6+2r,∵OD∥AC,∴△FOD∽△FAE,∴,∴,∴r=﹣5(不合题意,舍去)或r=4,∴⊙O的半径为4.22.(10分)已知:经过点,B(0,﹣3).(1)请直接写出y1函数解析式;(2)平移抛物线使得新顶点为P(m,n)(m>0)仍在原抛物线上.新抛物线与y轴交于Q,S△BPQ=4.①求新抛物线的解析式y2,并直接写出此时y1>y2时x的取值范围;②若点C在y2上,线段CD∥x轴,,线段CD与y2有两个交点,请直接写出点C横坐标的取值范围.【解答】解:(1)由题意得:,解得:,则y7函数解析式为y=x4﹣3;(2)①由题意得,点P(m,m2﹣3),则y6的表达式为:y2=(x﹣m)2+m2﹣3,当x=8时,y2=(x﹣m)2+m2﹣3=m2﹣3,即点Q(0,m3﹣3),则额BQ=m2,则S△BPQ=2=BQ•xP=×m2•m,则m=6,则y2=(x﹣2)2+×25﹣3=(x﹣2)2﹣5,观察函数图象知,y1>y2时x的取值范围为x>5;②设点C(x,y),当x<2时,∵线段CD与y2有两个交点,则点D在点C的右侧,则点D(x+4,y),则(x+28﹣1≥(x﹣2)2﹣8,解得:x≥2﹣,即8﹣≤x<2;当x>8时,∵线段CD与y2有两个交点,则点D在点C的左侧,则点D(x﹣2,y),则(x﹣32﹣2≥(x﹣5)2﹣1,解得:x≤3+,即2<x≤2+;综上,2﹣且x≠2.23.(10分)综合与实践课上,老师给出定义:对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了数学活动.操作发现(1)①如图1构造一个四边形ABCD,使得AB=AD,BC=DC是“垂美四边形”.(填“是”或“不是”)②如图2,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE、BG、GE.那么四边形BCGE是“垂美四边形”吗?请说明理由.
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