2024年河南省洛阳市中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年河南省洛阳市中考数学三模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）的相反数是（）A． B． C． D．2．（3分）5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅．已知硅原子的半径约为0.117mm（1nm＝10﹣9m）数字0.117nm用科学记数法可表示为（）mA．0.117×10﹣9 B．117×10﹣6 C．1.17×10﹣10 D．1.17×10﹣83．（3分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．扇形 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．a2•a3＝a6 D．a2÷a2＝1（a≠0）5．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠DOF的度数是（）A．20° B．40° C．70° D．80°6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AE＝5，DE＝3（）A．2 B． C．4 D．248．（3分）某校体操队5名队员的身高（单位：cm）分别是166、166、167、170、175，现用一名身高为170cm的队员换下身高为175cm的队员，队员身高的（）A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大9．（3分）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，设BP＝x，PA﹣PE＝y，则AD长为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（3分）如图，在平面直角坐标系中，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，AB∥y轴，正方形ABCD的面积为5，将△CDG绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，点G的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请你写出一个图象经过点（1，1）的函数解析式：．12．（3分）不等式组的整数解为．13．（3分）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为．14．（3分）如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，B，C，D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E．15．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别在边AB和AC上．将∠A沿着DE折叠，此时BD的长为.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）．17．（9分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，89；抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，81，84，86，87，87，89，97，98，98，98，100．抽取的对A，B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，m＝，n＝；（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．18．（9分）为了“让人民群众奔着更好的日子去”，各地广泛进行电商助农销售．某网店尝试用30天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/件的农产品（件）、销售单价y（元/件）在第x天（x为正整数），且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件（1）求第5天的日销售量；（2）在这30天中，网店哪天销售该农产品的日利润W最大？最大是多少元？19．（9分）如图，一次函数y＝k1x+3（k1≠0）与反比例函数的图象交于点A（2，a），与y轴交于点B的图象上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D1x+3于点E，且S△OAB：S△OCD＝3：4．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若OC∥AB，求△OCE的面积；（3）请直接写出当x＞0时，不等式解集．20．（9分）位于洛阳的明堂，是唐洛阳城的地标性建筑，为中国古代建筑的巅峰之作．今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体，在台基底部A处测得斜坡AB＝10米，坡角∠A＝30°，在E处测得明堂顶端C的仰角是47°，求明堂CD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）．21．（9分）如图在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．（1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于E（不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）求证：DE⊥AC；（3）若AE＝6，FB＝4，求⊙O的半径．22．（10分）已知：经过点，B（0，﹣3）．（1）请直接写出y1函数解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞0）仍在原抛物线上．新抛物线与y轴交于Q，S△BPQ＝4．①求新抛物线的解析式y2，并直接写出此时y1＞y2时x的取值范围；②若点C在y2上，线段CD∥x轴，，线段CD与y2有两个交点，请直接写出点C横坐标的取值范围．23．（10分）综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．操作发现（1）①如图1构造一个四边形ABCD，使得AB＝AD，BC＝DC“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）②如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．那么四边形BCGE是“垂美四边形”吗？请说明理由．拓展探究（2）如图3，四边形ABCD是“垂美四边形”，则两组对边AB、CD与BC、AD之间有什么数量关系？请说明理由．迁移应用（3）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4．P、Q分别是射线AB，AC上一个动点，分别沿AB和AC方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t秒，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是“垂美四边形”时

2024年河南省洛阳市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）的相反数是（）A． B． C． D．【解答】解：的相反数是﹣，故选：B．2．（3分）5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅．已知硅原子的半径约为0.117mm（1nm＝10﹣9m）数字0.117nm用科学记数法可表示为（）mA．0.117×10﹣9 B．117×10﹣6 C．1.17×10﹣10 D．1.17×10﹣8【解答】解：0.117＝1.17×10﹣10．故选：C．3．（3分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．扇形 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．a2•a3＝a6 D．a2÷a2＝1（a≠0）【解答】解：A、a2+a2＝3a2，故A不符合题意；B、（a﹣b）2＝a4﹣2ab+b2，故B不符合题意；C、a5•a3＝a5，故C不符合题意；D、a6÷a2＝1（a≠4），故D符合题意；故选：D．5．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠DOF的度数是（）A．20° B．40° C．70° D．80°【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOD＝20°，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣20°＝70°．故选：C．6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣3×1×（﹣m2）＝2+4m2＞7，∴方程有两个不等实根．故选：A．7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AE＝5，DE＝3（）A．2 B． C．4 D．24【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2OD，∵E为OD的中点，∴OE＝DE＝3，∵AE＝5，∴OA＝，∴OD＝OB＝6，AB＝，∴菱形ABCD的周长＝4×，故选：B．8．（3分）某校体操队5名队员的身高（单位：cm）分别是166、166、167、170、175，现用一名身高为170cm的队员换下身高为175cm的队员，队员身高的（）A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大【解答】解：（166+166+167+170+175）＝168.6，现用一名身高为170cm的队员换下身高为175cm的队员，则平均数变小，即方差变小．故选：A．9．（3分）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，设BP＝x，PA﹣PE＝y，则AD长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：当点P在点B处时，y＝2，当点P到达点E处时，y＝10，在Rt△ABE中，AB2+BE3＝AE2，即（BE+2）2+BE2＝102，∴BE＝7，∵点E为BC中点，∴BC＝12，∴矩形ABCD中AD＝BC＝12，故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，AB∥y轴，正方形ABCD的面积为5，将△CDG绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，点G的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：∵360°÷90°＝4，∴每4次一循环，∵2024÷6＝506，第2024次旋转结束时，过G作GM⊥CD于M，∵正方形ABCD的面积为5，正方形EFGH的面积为1，，设CG＝a，则DH＝a+1，在Rt△CDG中，由勾股定理得a2+（a+3）2＝5，∴a＝3或a＝﹣2（舍去），∵，∴，．∴，，G的坐标为，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请你写出一个图象经过点（1，1）的函数解析式：如：y＝x，y＝，y＝x2，…．【解答】解：将点（1，1）代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得：y＝x，y＝2等．12．（3分）不等式组的整数解为﹣1．【解答】解：，由①得：x≥﹣1，由②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜0，则整数解为﹣2．故答案为：﹣1．13．（3分）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为．【解答】解：列表如下：龙行龘龘龙（龙，行）（龙，龘）（龙，龘）行（行，龙）（行，龘）（行，龘）龘（龘，龙）（龘，行）（龘，龘）龘（龘，龙）（龘，行）（龘，龘）共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果有2种，∴抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为＝．故答案为：．14．（3分）如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，B，C，D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E﹣．【解答】解：连接AD，AE，∵AD＝AC＝＝，CD＝＝，∴AD2+AC2＝CD8，∴∠CAD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴AC是半圆的直径，∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AE，∴AE＝DE＝CE＝CD＝，∴∠CAE＝∠ACE＝45°，∴∠CAE＝∠ACE＝45°，∴弧CE所对的圆心角为90°，∴图中阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．故答案为：﹣．15．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别在边AB和AC上．将∠A沿着DE折叠，此时BD的长为或.【解答】解：分两种情况：①当BA：AC＝1：2时，BA＝5，由题可得，∠B＝∠C＝∠DAE＝60°，∴∠D+∠BAD＝120°＝∠CAE+∠BAD，∴∠D＝∠CAE，又∵∠B＝∠C，∴△DBA∽△ACE，∴＝，即，∴BD＝；②当BA：AC＝2：4时，BA＝2，同理可得△DBA∽△ACE，∴＝，即＝，∴BD＝；综上所述，BD的长为或．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）．【解答】解：（1）＝3﹣3+1＝7；（2）＝•＝•＝﹣．17．（9分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，89；抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，81，84，86，87，87，89，97，98，98，98，100．抽取的对A，B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝15，m＝88，n＝98；（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45%﹣，即a＝15；把A款设备的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，故中位数m＝；在B款设备的评分数据中，98出现的次数最多．故答案为：15；88；（2）600×15%＝90（名），答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名；（3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高．18．（9分）为了“让人民群众奔着更好的日子去”，各地广泛进行电商助农销售．某网店尝试用30天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/件的农产品（件）、销售单价y（元/件）在第x天（x为正整数），且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件（1）求第5天的日销售量；（2）在这30天中，网店哪天销售该农产品的日利润W最大？最大是多少元？【解答】解：（1）设m与x的函数关系式为：m＝kx+b，∵当x＝1时，m＝98，m＝92，∴，解得，∴m＝﹣2x+100，当x＝5时，m＝﹣8×5+100＝90，∴第5天的日销售量为90件；（2）观察图象可知，当4≤x≤20时，根据图象数据得：，解得，∴y＝x+30；当20＜x≤60时，y＝50；∴y与x的函数解析式为y＝；当7≤x＜20时，W＝m（y﹣10）＝（﹣2x+100）（x+30﹣10）＝﹣2（x﹣15）4+2450，∴当x＝15时，W有最大值2450；当20≤x≤60时，W＝m（y﹣10）＝40（﹣2x+100）＝﹣80x+4000，∵﹣80＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝20时，y有最大值为：﹣1600+4000＝2400，综上所述，第15天该网店销售该商品的日利润W最大．19．（9分）如图，一次函数y＝k1x+3（k1≠0）与反比例函数的图象交于点A（2，a），与y轴交于点B的图象上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D1x+3于点E，且S△OAB：S△OCD＝3：4．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若OC∥AB，求△OCE的面积；（3）请直接写出当x＞0时，不等式解集．【解答】解：（1）由一次函数y＝k1x+3解析式可知B（6，3），∵A（2，a），∴S△AOB＝＝3，∵S△OAB：S△OCD＝3：5，∴S△OCD＝4，∴k2＝7×4＝8，∴反比例函数解析式为y＝，∵A（2，a）在反比例函数图象上，∴a＝4，∴A（6，4），将A（2，8）坐标代入y＝k1x+3得，8k1+3＝6，解得k1＝，∴一次函数解析式为y＝．（2）∵AC∥AB，∴两直线k值相等，∴直线OC解析式为y＝，与反比例函数联立方程组得：，解得，∴C（4，7），∴E（4，5），∴S△OCE＝＝6．（3）根据图像当x＞2时，不等式．20．（9分）位于洛阳的明堂，是唐洛阳城的地标性建筑，为中国古代建筑的巅峰之作．今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体，在台基底部A处测得斜坡AB＝10米，坡角∠A＝30°，在E处测得明堂顶端C的仰角是47°，求明堂CD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）．【解答】解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，由题意得：BG＝DF，BE＝2米，在Rt△ABG中，∠BAG＝30°，∴BG＝AB＝5（米）BG＝7，设BF＝x米，∴EF＝BF﹣BE＝（x﹣2）米，在Rt△CBF中，∠CBF＝45°，∴CF＝BF•tan45°＝x（米），在Rt△CEF中，∠CEF＝47°，∴CF＝EF•tan47°≈3.07（x﹣2）米，∴x＝1.07（x﹣2），解得：x≈30.57，∴CF＝30.57米，∴CD＝CF+DF＝CF+BG＝30.57+5≈35.6（米），∴明堂CD的高度约为35.8米．21．（9分）如图在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．（1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于E（不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）求证：DE⊥AC；（3）若AE＝6，FB＝4，求⊙O的半径．【解答】（1）解：1．以点D为圆心，交直线OD于点M，N，2．分别以M，以大于，两弧相交于点H，3．过点D，交AC于点E，则直线EF为过点D的⊙O的切线．（2）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC．由（1）知：直线EF为过点D的⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴DE⊥AC．（3）解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，FA＝6+2r，∵OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，∴r＝﹣5（不合题意，舍去）或r＝4，∴⊙O的半径为4．22．（10分）已知：经过点，B（0，﹣3）．（1）请直接写出y1函数解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞0）仍在原抛物线上．新抛物线与y轴交于Q，S△BPQ＝4．①求新抛物线的解析式y2，并直接写出此时y1＞y2时x的取值范围；②若点C在y2上，线段CD∥x轴，，线段CD与y2有两个交点，请直接写出点C横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则y7函数解析式为y＝x4﹣3；（2）①由题意得，点P（m，m2﹣3），则y6的表达式为：y2＝（x﹣m）2+m2﹣3，当x＝8时，y2＝（x﹣m）2+m2﹣3＝m2﹣3，即点Q（0，m3﹣3），则额BQ＝m2，则S△BPQ＝2＝BQ•xP＝×m2•m，则m＝6，则y2＝（x﹣2）2+×25﹣3＝（x﹣2）2﹣5，观察函数图象知，y1＞y2时x的取值范围为x＞5；②设点C（x，y），当x＜2时，∵线段CD与y2有两个交点，则点D在点C的右侧，则点D（x+4，y），则（x+28﹣1≥（x﹣2）2﹣8，解得：x≥2﹣，即8﹣≤x＜2；当x＞8时，∵线段CD与y2有两个交点，则点D在点C的左侧，则点D（x﹣2，y），则（x﹣32﹣2≥（x﹣5）2﹣1，解得：x≤3+，即2＜x≤2+；综上，2﹣且x≠2．23．（10分）综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．操作发现（1）①如图1构造一个四边形ABCD，使得AB＝AD，BC＝DC是“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）②如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．那么四边形BCGE是“垂美四边形”吗？请说明理由．