专题2.17反比例函数与几何压轴问题大题专练（培优强化30题）（解析版）

一．解答题（共30小题）1．如图，已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数yk为常数，k≠0）.（1）当这两个函数图象有两个公共点时，求最大的整数k.（2）利用（1）中所求k值，借助函数图象求不等式：x+＜4的解集.（3）若已知的一次函数与反比例函数的图象交于点E、F，且EF＝5，求k的值.【分析】（1）由，消去y得到，x2﹣4x+k＝0，由题意Δ>0列出不等式即可解决问题.（2）画出函数y=﹣x+4与y＝的图象，如图1所示，可知它们的交点坐标为A（1，3B（3，1x+＜4的解集，即<﹣x+4的解集，由图象可知反比例函数图象在直线的下方部分对应的自变量的取值范围，即可解集.y1+y2＝4，y1y2＝kx1﹣x2）2y1﹣y2）2＝16﹣4k，列出方程即可解决问题.【解答】解1）由，消去y得到，x2﹣4x+k＝0，由题意Δ>0，∴最大的整数k为3.（2）画出函数y=﹣x+4与y=的图象，如图1所示，可知它们的交点坐标为A（1，3B（3，1x+＜4的解集，即<﹣x+4的解集，由图象可知<﹣x+4的解集为1＜x＜3或x＜0.（3）设E（x1，y1F（x2，y2,消去y得到，x2﹣4x+k＝0，∴（x1﹣x2）2y1﹣y2）2＝16﹣4k，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝50，∴32﹣8k＝50，∴k=﹣.2．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C在y轴上，∠ADC＝90°,AB＝BC，线段BC，OB的长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根.（1）求OA的长；（2）求经过点D的反比例函数的解析式；（3）点P在直线AD上，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）解方程可得BC、OB的长，即可解决问题.（2）如图2中，作DE⊥OA于E，求出BE、DE即可解决问题.（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ1P1是菱形，②四边形ABQ2P2是菱形，③当AB为对角线时，四边形AQ3BP3是菱形，分别求出P、Q坐标即可.【解答】解1）如图1中，∵线段BC，OB的长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，（2）如图2中，作DE⊥OA于E.∵cos∠CBO==∴BE＝BD＝1，DE＝BE=∴点D坐标（3，﹣),设经过点D的反比例函数解析式为y=∴k=﹣3，∴经过点D的反比例函数解析式为y=﹣.（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个.当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ1P1是菱形，此时P1（6+2，2Q1（2+2，2②四边形ABQ2P2是菱形，此时P2（6﹣22Q2（2﹣22③当AB为对角线时，四边形AQ3BP3是菱形，此时P3（4),Q3（4.3永城市模拟）如图，两个矩形有一公共顶点O，边分别与坐标轴平行（或重合顶点A(﹣2，y1B(﹣6，y2）在反比例函数的图象上.（1）若y1＝3，求反比例函数的解析式和B(﹣6，y2）的y2值；（2）分别求满足下列条件的k的值.②若两个矩形重叠部分（阴影）的面积为2，求k的值.【分析】（1）根据点A的坐标可得k的值，从而得出y2的值；（2）①根据A(﹣2，y1B(﹣6，y2）在反比例函数的图象上．得y1=﹣再利用CD＝4，可得k的方程；②当两个矩形重叠部分（阴影）的面积为2时，则OC＝1，可知B(﹣6，1从而解决问题.【解答】解1）当y1＝3时，A(﹣2，3∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式y=﹣,∵A(﹣2，y1B(﹣6，y2）在反比例函数的图象上.∴y1=﹣,y2=﹣,解得k=﹣12，②当两个矩形重叠部分（阴影）的面积为2时，则OC＝1，∴k=﹣6×1=﹣6.4通榆县模拟）如图，。ABCD中，顶点A的坐标是（0，1AD∥x轴，一次函数y＝x﹣1与反比例函数y=的图象都经过B，D两点.（1）求k的值.（2）求。ABCD的面积.【分析】（1）根据点D的纵坐标为1，可得点D的坐标，代入反比例函数解析式即可；（2）联立一次函数与反比例函数解析式，解方程可得点B的坐标，从而得出AE的长，即可得出答案.【解答】解1）∵点A的坐标是（0，1AD∥x轴，将点D（2，1）代入反比例函数y＝得，k＝2×1＝2；（2）当x﹣1＝时，x1＝2，x2=﹣1，）＝∴。ABCD的面积为AD×AE＝2×3＝6.5嘉峪关三模）如图，一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B.（1）求点B的坐标；（2）点C是线段AB上一点（不与点A、B重合若，求点C的坐标.【分析】（1）联立方程组并解方程组可得答案；（2）过点C，B分别作CD，BE垂直y轴于点D，E，利用△ACD∽△ABE，求得CD＝1，从而解决问题.【解答】解1）∵一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B.（2）如图，过点C，B分别作CD，BE垂直y轴于点D，E，∴CD∥BE，∴∠ACD=∠ABE，∠ADC=∠AEB，∴△ACD∽△ABE，,,,,∵点C是线段AB上一点（不与点A、B重合将其代入直线y=﹣x﹣2得：y=﹣1，6东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=（1）求k和m的值；（2）求直线l的解析式；（3）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=于点P的左侧时，求点P的纵坐标n的取值范围.（k≠0）于点Q．当点Q位【分析】（1）将A(﹣31B（1，m）分别代入y可得答案；（2）利用待定系数法求出l的解析式即可；（3）分别画出函数y＝x+2和y＝的图象，利用数形结合思想可得n的范围.【解答】解1）将A(﹣31B（1，m）分别代入y＝得，）＝（2）设直线l的解析式为y＝ax+b，解得，∴直线l的解析式为：y＝x+2；（3）如图，当点P在B的上方时，点Q始终在点P的左边，此时n＞3，当点P在点A的上方，x轴的下方时，同样符合题意，此时﹣1＜n＜0，综上：n＞3或﹣1＜n＜0.7汉寿县期末）如图，在△AOB中，AO＝AB＝5，OB＝6，AC⊥OB于点C，O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，反比例函数y＝的图象的一支过A点.（1）求点A的坐标以及k的值；（2）过点B作BD⊥OB，与反比例函数y＝的图象（第一象限内）相交于点D，连接OD与AC，AB分别相交于M，N两点，求的值.【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题；（2）先求出点D的坐标，由此可求出OD的解析式，根据A，B的坐标可求出直线AB的解析式，联立可求出点N的坐标，由此可求出AN和BN的长度，进而求解.【解答】解1）∵AO＝AB＝5，OB＝6，AC⊥OB，把A（3，4）代入y可得k＝12；（2）由（1）可知A（3，4B（6，0反比例函数的解析式为y=∵BD垂直x轴，点D在反比例函数y=设直线OD的解析式为：y＝mx，∴6m＝2，解得m=,∴直线OD的解析式为：y＝x，设直线AB的解析式为：y＝k′x+b，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8.令x=﹣x+8，解得x=, ∴=.8历城区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数yx＞0）的图象与AB，BC分别交于点D，E，且顶点B的坐标为（4，2BD＝2.（1）求反比例函数yx＞0）的表达式及E点坐标；（2）连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系，并说明理由.（3）点F是反比例函数yx＞0）的图象上的一点，且使得∠AEF＝45°,求直线EF的函数关系式.【分析】（1）根据矩形OABC，得到AB与x轴平行，BC与y轴平行，得到B与D纵坐标相同，B与E横坐标相同，再由B横坐标确定出AB的长，由AB﹣BD求出AD的长，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出E坐标即可；（2）DE∥AC，DE＝AC，理由为：连接AC，DE，由（1）得到D、E分别为中点，即DE为中位线，利用中位线定理即可得证；（3）如图2所示，作出∠AEF＝45°,交反比例图象于点F，如图2所示，过A作AG⊥AE，交直线EF于点G，过G作GH⊥y轴交于点H，过E作EI⊥y轴交于点I，可得出△AGE为等腰直角三角形，即AG＝AE，利用AAS得到△AHG≌△EAI，利用全等三角形对应边相等得到HG＝AI，AH＝EI，根据题意确定出G坐标，设直线EF解析式是为y＝kx+b，把G与E坐标代入求出k与b的值，即可确定出所求.【解答】解1）∵矩形OABC，∴AB∥OC，BC∥OA，且AB＝OC，BC＝OA，∴D坐标轴为2，E横坐标为4，AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，把D（2，2）代入反比例解析式得：2=,解得：k＝4，∴反比例解析式为y=,把x＝4代入得：y＝1，即E（4，1（2）DE∥AC，DE＝AC，理由为：如图1所示，连接AC，DE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC；（3）连接AE，作射线EF，使∠AEF＝45°,交反比例图象于点F，如图2所示，过A作AG⊥AE，交直线EF于点G，过G作GH⊥y轴交于点H，过E作EI⊥y轴交于点I，∴△AGE为等腰直角三角形，∴∠IAE=∠HGA，在△AGH和△EAI中，,∴△AHG≌△EAI（AAS∴HG＝AI，AH＝EI，∴OH＝OA+AH＝2+4＝6，设直线EF解析式为y＝kx+b，,解得：，即y=﹣x+.9绵竹市模拟）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数yx＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，（1）填空：一次函数的解析式为y=﹣x+4，反比例函数的解析式为y=;（2）请直接写出不等式≤﹣x+b的解集是1≤x≤3；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值.【分析】（1）将B（3，1）代入y=﹣x+b得b＝4，即得一次函数的解析式为y=﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函数的解析式为y=;（2）求出A（1，3由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；（3）由点P是线段AB上一点，可设设P（nn+4且1≤n≤3，可得S＝OD•PD=n﹣2）2+2，即得当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是.【解答】解1）将B（3，1）代入y=﹣x+b得：1=﹣3+b，解得b＝4，∴一次函数的解析式为y=﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得：∴反比例函数的解析式为y=;（2）将A（m，3）代入y=﹣x+4得：3=﹣m+4，解得m＝1，由图可得，专≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；（3）∵点P是线段AB上一点，设P（nn+4∴S＝OD•PD＝•n(﹣n+4）=n2﹣4n）=n﹣2）2+2，∵﹣＜0，且1≤n≤3，∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是.10吴江区期中）如图，直线y＝2x+6与反比例函数yx＞0）的图象交于点A（1，m与x轴交于点B，与y轴交于点D.（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式2x+6﹣>0的解集；（3）在反比例函数图象的第一象限上有一动点M，当S△BDM＞S△BOD时，直接写出点M纵坐标的取值范围.【分析】（1）先将点A（1，m）代入y＝2x+6，求出m的值，得到点A的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围即可；（3）过点O作AB的平行线，交反比例函数的图象于点N，则S△BDN＝S△BOD，由直线AB的解析式可得出直线ON的解析式，联立直线ON和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，结合函数图象及S△BDM＞S△BOD，可知M在N的右边，进而求出点M纵坐标的取值范围；同理求出M在N的左边时，点M纵坐标的取值范围.【解答】解1）∵直线y＝2x+6过点A（1，m∴点A的坐标为（1，8∵点A（1，8）在反比例函数yx＞0）的图象上，∴反比例函数的解析式为y=;（2）在A点右边，即x＞1时，直线在双曲线上方，所以不等式2x+6﹣>0的解集是x＞1；（3）如图，过点O作AB的平行线，交反比例函数的图象于点N，则S△BDN＝S△BOD.∵直线AB的解析式为y＝2x+6，∴直线ON的解析式为y＝2x.由（x＞0解得，∴点N的坐标为（2，4∵S△BDM＞S△BOD，∴S△BDM＞S△BDN，∴M在N的右边，∴0＜点M纵坐标＜4；同理M在N的左边，直线ON的解析式为y＝2x+12.联立y＝2x+12与y=,故点M纵坐标的取值范围是0＜点M纵坐标＜4或点M纵坐标＞6+2.11浦江县期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．若（1）如图1，求反比例函数y＝的表达式.（2）如图2，把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′，设A'B'的中点为M.①求点M的坐标（用含a的代数式表示②当反比例函数y=值.--4，故点A的坐标是（3，4将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；B'C'＝，故（2）①M是AB的中点，MNⅡA,C,，则MN＝A'C'＝AC＝2，B'N＝C'B'C'＝，故②将点M的坐标代入反比例函数表达式，即可求解.【解答】解1）过点A作AC丄OB于点C，:--4，:点A的坐标是（3，4:，故反比例函数的表达式为；」M是A'B'的中点，MNⅡA,C,，∴MN＝A'C'＝AC＝2，B'N＝C'N＝B'C'=,故点M的坐标为；②由题设解得：.12茶陵县模拟）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线yk≠0）交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m点B的坐标为（n2tan∠BOC=.（1）求该反比例函数和一次函数的解析式.（2）点E为坐标轴上一点，以AE为直径的圆恰好经过点B，直接写出点E的坐标.（3）点P（s，ts＞2）在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于F，G，求+的值.【分析】（1）先利用tan∠BOC=分别求出A和B两点的坐标，再利用待定系数法求两个函数的解析（2）如图2，因为以AE为直径的圆恰好经过点B，所以∠ABE＝90°,过B作AB的垂线，与坐标的两个交点就是符合条件的E点，构建直角三角形，利用三角形相似或等腰直角三角形的定义列等式可得结（3）如图3，作辅助线，根据P（s，t表示M(==,代入所求式可得结果.==),利用等角的三角函数列式可【解答】解1）如图1，过B作BD⊥x轴于D，∵点B的坐标为（n2在Rt△OBD中，tan∠BOC=,）＝∴该反比例函数的解析式为：y=,把A（2，5）和B(﹣52）代入得解得：，∴一次函数的解析式为：y＝x+3；（2）如图2，过B作BE1⊥AB，交x轴于E1，交y轴于E2，即符合条件的点E有两个，构建直角△ABQ和直角△BE2K，∴△ABQ是等腰直角三角形，∴△BKE2也是等腰直角三角形，设E2（0，y∴BK＝KE2，∴5=﹣y﹣2，综上所述，点E的坐标为（07）或(﹣7，0（3）如图3，过N作NR∥PM，过M作MR∥PN，交于R，则四边形MRNP是矩形，∵P（s，t且PM∥x轴，PN∥y轴，∴MtN（s∵MR∥OG，∴∠OGF=∠RMN，∴tan∠OGF＝tan∠RMN，==∵点P（s，ts＞2）在直线AB上运动，∴+＝+==1.13湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC.（1）求直线OA的解析式；（2）求反比例函数y＝的解析式；（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积.【分析】（1）由点A（a，2）在反比例函数y=的图像上，得a＝2，即A（2，2设直线OA解析式为y＝mx，即得m＝1，故直线OA解析式为y＝x；（2）由AC＝2BC得B(﹣1，2把B(﹣1，2）代入反比例函数y=,即得解析式为y=;（3）设D（t而A（2，2故AD中点E+1即有＝0，解得t=﹣2，可得D(﹣2，1E（0从而可得S△DOES△AOE即得△OAD面积S＝3.【解答】解1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图像上，设直线OA解析式为y＝mx，∴直线OA解析式为y＝x；（2）由（1）知：A（2，2∵AB∥x轴，且交y轴于点C，把B(﹣1，2）代入y＝得：2=,∴k=﹣2，∴反比例函数y＝的解析式为y=;（3）设D（t而A（2，2 ∴AD中点E+1而E在y轴上，∴=0，解得t=﹣2，∴S△DOE＝OE•|xD|=××2=,S△AOE＝OE•|xA|=××2=,∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3.14高邮市期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A、B关于直线y＝x对称，则称点A、B为一对“反（1）写出点P(﹣3，0）的“反射点”Q的坐标为（03（2）善于思考的小明同学发现：如图1，若点M（m1，n1N（m2，n2）为一对“反射点”，分别过点M，N作坐标轴的垂线ME、NF，垂足分别为E、F，易证△MEO≌△NFO，则ME＝NF，OE＝OF．即：m1＝n2，n1＝m2，反之亦成立．请根据小明的结论解决下列问题：①若直线y=﹣x+4与反比例函数y＝相交于点M、N．证明：M、N为一对“反射点”；②如图2，已知平行四边形ABCD，AD∥x轴，点A坐标为（3，2AD＝3，在直线y＝x上找一点F，使得△FAD周长最短，求点F的坐标.【分析】（1）根据y＝x是一三象限的角平分线，构造正方形OPMN求解.（2）①联立直线和反比例函数，求出交点坐标，验证是否满足反射点定义.②利用将军饮马模型，将A点关于直线y＝x对称，得到A'，求出直线A'D与y＝x的交点P.【解答】解1）作PM⊥x轴交直线于M，作MQ⊥y轴，如图，,∵直线y＝x是一三象限的角平分线，∴∠POM=∠QOM＝45°,∴PO＝PM＝OQ＝MQ，∴四边形OPMQ为正方形，∵OM为对角线，∴点P与点Q关于直线OM对称，∴点Q是点P的反射点，Q点坐标（03（2）①直线y=﹣x+4与反比例函数y＝联立得，将②代入①化简整理：x2﹣4x+3＝0，将x1，x2分别代入反比例函数得，y1＝3，y2＝1，∴直线与反比例函数的交点坐标为M（1，3N（3，1）或N（1，3M（3，1∵xM＝yN，yM＝xN，满足小明同学发现“反射点”结论，∴M、N为一对“反射点”.②由题意知，A点的“反射点”A′（2，3如图，∵AD∥x轴，AD＝3，点A坐标为（3，2当点F位于点F1时，周长最小，设直线A'D的解析式为y＝ax+b，将A'（2，3）、D（6，2）代入得，解得，直线A'D的解析式为y=∵点F1在直线y＝x上，∴点F1横纵坐标相等，当x＝y时，代入直线A'D，解得x＝y=,15开封二模）如图，一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B(﹣6，0与y轴交于C点，与反比例函数yx＞0）的图象交于点A．连接OA，且△AOC的面积为6.（1）求一次函数和反比例函数的解析式.（2）结合图象直接写出当x＞0时，mx+6＜的解集；（3）设点E是反比例函数yx＞0）的图象上一点，点F是直线AB上一点，若以点O，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求出点F的坐标.【分析】解1）由一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B(﹣6，0得﹣6m+6＝0，解出m＝1，得一次函数解析式为y＝x+6；当x＝0时，y＝6，由△AOC的面积为6．得，求出xA＝2，写出点A坐标（2，8即可求解；（2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2；（3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO，设点E坐标为（m则点F的坐标为（m，当﹣m﹣6=﹣6时，解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去此时点F坐标为（2﹣6，2②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分，设点E坐标为（m点F的坐可求解.【解答】解1）∵一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B(﹣6，0∴一次函数解析式为y＝x+6；∵△AOC的面积为6.∴点A坐标（2，8∵反比例函数yx＞0）的图象经过点A，∴反比例函数的解析式为：y=;（2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2；（3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO，设点E坐标为（m则点F的坐标为（m，m+6∴EF＝|﹣m﹣6|，解得m＝4或﹣4(﹣4舍去）此时点F坐标为（4，10当﹣m﹣6=﹣6时，解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去此时点F坐标为（2﹣6，2②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分，设点E坐标为（m点F的坐标为（n，n+6由中点坐标公式得，解得m＝4，n=﹣4，此时点F坐标为(﹣4，2综上．点F坐标为（4，10）或（2﹣6，2）或(﹣4，2）.16南沙区一模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，对角线AC、BD交于点E，且BC=5，菱形ABCD的面积为24.（1）求点A的坐标；（2）求AC+BD的值；（3）若反比例函数y＝经过点E，且与边AD交于点F，过点F作FG垂直x轴于点G，请求出△BFG的面积.【分析】（1）由菱形ABCD的面积为24，得BC•AO＝24，求出AO即可求解；（2）由菱形ABCD的面积为24，得AC•BD＝24①,由勾股定理知BE2+CE2＝25，结合菱形对角线互相平分，可得AC2+BD2＝100②,结合①②式就可求出AC+BD的值；（3）由直角△ABO中AB和AO的值求出BO的长，即可求出点C的坐标，由AC坐标根据中点坐标公式写出点E坐标，就可以求出反比例函数关系式，再分别求出B、F、G的坐标，可求出△BFG的面积.【解答】解1）由菱形ABCD的面积为24，∴AO=,∴点A的坐标（0（2）由菱形ABCD的面积为24，∴AC•BD＝24即AC•BD＝48①,∵直角△BEC中，BE2+CE2＝25，又∵菱形ABCD中，AC＝2AE，BD＝2BE，∴AC2+BD2＝100②,∴（AC+BD）2＝AC2+BD2+2AC•BD＝100+96＝196，=（3）在直角△ABO中，BO==∴CO＝BC﹣BO==,=,∵反比例函数y＝经过点E，∴k﹣1=,∴反比例函数关系式y==,当y=时，x===∴△BFG的面积==17铁西区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC的边OA在x轴负半轴上，OC在y轴正半轴上，AB∥y轴，OA＝a，AB＝BC＝b，且a，b满足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0.（1）求点B，C的坐标；（2）点D为边OA上一点，点E为边OC上一点，将△DOE沿直线DE翻折，使点O落在AB上的点F处，且双曲线y=﹣的一个分支过点F，则线段OD的长为2.5；（3）在（2）的条件下，点G为x轴上一点，点H是坐标平面内任意一点，当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，请直接写出点H的坐标.【分析】（1）由a，b满足（a﹣4）2+（b作BG⊥y轴于点G，在Rt△BCG中，BC＝5，GB＝4，得CG＝3，即可求解；（2）点O落在AB上的点F处，得点F的横坐标为﹣4，由双曲线y=﹣的一个分支过点F，得点F坐标为(﹣4，2设OD＝DF＝x，则AD＝4﹣x，在Rt△AFD中4﹣x）2+22＝x2，得x＝2.5，得OD=2.5；（3）当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，①DF为对角线，如图2，矩形FGDH中，FG＝HD=2，HD⊥x轴，得点H坐标为(﹣2.5，2②GD为对角线，设点G坐标为（m，0由矩形FGHD，得FG2+FD2＝GD2，得(﹣4﹣m）2+22+2.52=(﹣2.5﹣【解答】解1）∵a，b满足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0，过点B作BG⊥y轴于点G，∴点C坐标为（0，8（2）∵点O落在AB上的点F处，∴点F的横坐标为﹣4，∵双曲线y=﹣的一个分支过点F，设OD＝DF＝x，则AD＝4﹣x，在Rt△AFD中4﹣x）2+22＝x2，故答案为：2.5；（3）当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，①DF为对角线，如图2，矩形FGDH中，FG＝HD＝2，HD⊥x轴，∴点H坐标为(﹣2.5，2②GD为对角线，设点G坐标为（m，0由矩形FGHD，得FG2+FD2＝GD2，∴m=﹣,将点G向右平移1.5个单位，向下平移2个单位得到点H，18郾城区期末）如图，一次函数y1=﹣x+4与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于A，B两点.（1）求点A，点B的坐标：（2）点P是直线AB上一点，设点P的横坐标为m．填空：①当y1＜y2时，m的取值范围是0＜m＜1或m＞3；②点P在线段AB上，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP．若△POD的面积最小时，则m的值为1【分析】（1）将y1=﹣x+4代入y2=中可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A，B的坐标；（2）①观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，可得出当y1＜y2时，m的取值范围是0＜m<②由点P的横坐标可得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△POD关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解1）将y1=﹣x+4代入y2＝得x+4=,整理得：x2﹣4x+3＝0，经检验，x1＝1，x2＝3是原方程的解，且符合题意.∴点A的坐标为（1，3（2）①观察两函数图象的上下位置关系，可知：当0＜m＜1或m＞3时，一次函数y1=﹣x+4的图象在反比例函数y2=的图象的下方，∴当y1＜y2时，m的取值范围是0＜m＜1或m＞3.故答案为：0＜m＜1或m＞3.②∵点P在线段AB上，∵PD⊥x轴于点D，∴PD=﹣m+4，OD＝m，∴S△POD＝PD•OD=(﹣m+4）•m=﹣m2+2m=﹣（m﹣2）2+2.∵﹣＜0，∴当1≤m≤2时，S△POD随m的增大而增大；当2≤m≤3时，S△POD随m的增大而减小.当m＝1时，S△POD=﹣当m＝3时，S△POD=﹣∵=,（1﹣2）2+2=（3﹣2）2+2=;故答案为：1或3.19西湖区校级期中）对于求面积为4，周长为m的矩形中m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究：设矩形相邻两边长分别为x，y，由矩形的面积为4，得y由周长为m，得y=﹣x+．主要研究这两个图象的位置关系.（1）画出函数图象：函数yx＞0）的图象如图所示，而函数y=﹣x+的图象可由直线y=﹣x平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y=﹣x.（2）平移直线y=﹣x，观察函数图象：①当直线平移到与函数y=（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，写出周长m的值；②在直线平移过程中，请写出交点个数的其它情况及对应的周长m的取值范围.（3）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长m的取值范围直接写出结论）【分析】（1）y=﹣x的图象是一条经过原点的直线；（2）①利用待定系数法求解；②欲判断直线平移过程中的交点个数，考虑联立y=﹣x+和y=并整理，判断一元二次方程x2﹣x+4=0的实数根的个数；（3）构建不等式求解即可.【解答】解1）图形如图所示：（2）①当直线平移到与函数yx＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，将（2，2）代入y=﹣x+，解得m＝8，故答案为：8；②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况.联立y=﹣x+和y＝并整理，得x2﹣x+4＝0，有0个交点，即Δ=b2﹣4ac=(﹣)2﹣4×1×4=有两个交点，即Δ=b2﹣4ac=(﹣)2﹣4×1×4=﹣16＞0，解得m<﹣8（舍去）或m＞8.综上所述，当有0个交点时，0＜m＜8，当有2个交点时，m＞8.（3）由（2）可知，矩形的周长2x+2y＝m≥8，所以若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥8.故答案为：m≥8.20金牛区校级月考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+3（a≠0）的图象与x轴交于点B(﹣6，0与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，C两点，点P（1，0）是x轴上一定点，已知点A的纵坐标（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在直线AC上找点Q当△PAQ的面积为7时，求点Q的坐标.（3）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在双曲线上是否存在一点E，过E作x轴的垂线，垂足为F，使以E、F、O为顶点的三角形与△APD相似？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.【分析】（1）将点B坐标代入直线AC的解析式中求出a，进而得出一次函数解析式，进而求出点A坐标，最后将点点A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出反比例函数解析式；（2）设点Q（m，m+3利用△PAQ的面积为7，建立方程求解，即可得出答案；（3）先得出∠ADP＝90°,AD＝4，DP＝1，设点E（n得进而得出△ADP∽△EFO或△ADP∽△OFE，得出比例式建立方程求解，即可求出答案.【解答】解1）∵点B(﹣6，0）在直线y＝ax+3上，:a=,:一次函数的解析式为y＝x+3；“点A在直线y＝x+3上，且点A的纵坐标为4，:x+3＝4，:x＝2，:A（2，4“点A在双曲线y＝上，:k＝2×4＝8，:反比例函数的解析式为y=;（2）由（1）知，直线AC的解析式为y＝x+3，设点Q（m，m+3如图1，:BP＝7，“△PAQ的面积为7，:BP•|xA-xP|＝|m+3-4|＝7，（3）“AD丄x轴，A（2，4P（1，0:上ADP＝90。，AD＝4，DP＝1，设点E（n如图2，“EF丄x轴于F，:上EFO＝90。，EFOF＝|n|，“以E、F、O为顶点的三角形与△APD相似，∴△ADP∽△EFO或△ADP∽△OFE，①当△ADP∽△EFO时∴n=±,②当△ADP∽△OFE时∴n=±4，，），﹣即满足条件的点E4）或(﹣,﹣4）或（4，21济南月考）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）.（1）求反比例函数y1x＞0）的解析式和E点坐标；（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）若点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据点D为AB的中点，可得点D的坐标，从而得出反比例函数y1x＞0）的解析式，当x＝2代入可得点E的坐标；（2）作点E关于y轴的对称点E'，连接E'D交y轴于P，此时△PDE的周长最小，设E'E交y轴于F，利用△E'FP∽△DAP，可得PF的长，从而得出点P的坐标；（3）分点N在x轴或y轴上两种情形，分别利用中点坐标公式解决问题.【解答】解1）∵点D是AB的中点，∵反比例函数y1x＞0）的图象经过点D，∴y=,（2）作点E关于y轴的对称点E'，连接E'D交y轴于P，此时△PDE的周长最小，设E'E交y轴于F，∵E'F∥AD， ∴PF==,（3）当N在x轴上时，设N（n，0M（x当DE为对角线时，由中点坐标公式得，4+2=,解得x=,当DN为对角线时，由中点坐标公式得，4+0＝+2，解得x＝2，∴M（2，2舍去当DM为对角线时，由中点坐标公式得，4+＝2+0，解得x=﹣2，∴M(﹣22舍去当N在y轴上时，设N（0，nM（x当DE为对角线时，由中点坐标公式得，1+2＝0+x，当DN为对角线时，由中点坐标公式得，1+0＝x+2，∴x=﹣1，当DM为对角线时，由中点坐标公式得，1+x＝0+2，∴M（1，4舍去综上：M或（3.22光明区月考）点A（3，4B（4，3）在反比例函数y＝图象上.（1）在平面直角坐标系中，画出反比例函数y＝的图象；（2）连接OA，OB，AB，反比例函数y＝图象上是否存在一点M（M不与B重合使得S△ABM＝S△AOB？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.（3）已知点P在反比例函数y=图象上，点Q在x轴上，点A，B，P，Q是平行四边形的四个顶点，直接写出点P的坐标.【分析】（1）根据反比例函数解析式和反比函数图象的中心对称性质作出反比例函数y＝的图象；（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，得出点M为直线y=﹣x+14与y＝的交点，解方程即（3）设Q（m，0P（t分AB或AQ或AP为对角线，分别利用中点坐标公式可得t的值，进而解决问题.【解答】解1）如右图所示；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，解得，:直线AB的解析式为y＝-x+7，“S△ABM＝S△AOB，:点M为直线y＝-x+14与y＝的交点，:-x+14=,解得x＝7±√页，:M（7-√页，7+√页）或（7+√页，7（3）设Q（m，0P（t当AB为对角线时，由中点坐标公式得，4+3=,:t=,:P(),当AQ为对角线时，由中点坐标公式得，:t＝12，:P（12，1当AP为对角线时，由中点坐标公式得，)或（12，1）或(﹣121）时，点A，B，P，Q是平行四边形的四个顶点.23南岸区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝ax（a≠0）的图象与反比例函数y=（34﹣a≠0）的图象有一个交点A的横坐标为4.（1）求y＝ax与y＝的函数表达式；（2）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；（3）过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点P在线段AB上，且AP＝OP，点Q为x轴上一点．当△OPA与△OPQ的面积相等时，求点Q的坐标.【分析】（1）把x＝4代入y＝ax与y=得，可得4a=（2）首先求出直线与双曲线的交点坐标，再根据图象可得答案；（3）设点P（4，t）则BP＝t，OP＝8﹣t，在Rt△OBP中，利用勾股定理可得t的值，设点Q（m，0则OQ＝|m|，再根据面积相等可得m的方程，从而得出答案.【解答】解1）把x＝4代入y＝ax与y＝得，4a=,∴正比例函数的表达式为y＝2x，反比例函数的表达式为y=,（2）由正比例函数的表达式为y＝2x，反比例函数的表达式为y=两函数图象相交时可得2x=,解得x＝4或﹣4，经检验x＝4或﹣4是该方程的解，将x＝4代入y＝2x中，得y＝8，将x=﹣4代入y＝2x中，得y=﹣8，即两个交点的坐标分别为（4，8(﹣48当直线在双曲线上方时，x的取值范围为：﹣4＜x＜0或x＞4；设点P（4，t）则BP＝t，OP＝8﹣t，在Rt△OBP中，由勾股定理得8﹣t）2＝t2+42，解得m=,24高青县期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB＝3，DC=2.（1）求反比例函数的表达式.（2）连接BD，OB，OD，求△ODB的面积.（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）先求出B点坐标，再求出D点坐标，即可求函数的解析；（2）利用割补法可得S△OBD＝S梯形ACDB﹣S△BAO﹣S△OCD；（3）设Q（tt分三种情况讨论：①当∠PAQ＝90°时，AP＝AQ，Q点与O点重合，此时P(﹣2，2②当∠APQ＝90°时，AP＝PQ，t+2=﹣t，此时P(﹣2③当∠PQA＝90°时，PQ=AQ，t+2=﹣t，此时P(﹣2.【解答】解1）∵AB＝3，∴B点坐标轴为3，∵O是线段AC的中点，∴y=;（2）S△OBD＝S梯形ACDB﹣S△BAO﹣S△OCD=×（3+2）×4﹣×2×3﹣×2×2=10﹣3﹣2=5；（3）存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形，理由如下：设直线OB的解析式为y＝kx，∴k=﹣,∴y=﹣x，设Q（tt①当∠PAQ＝90°时，AP＝AQ，②当∠APQ＝90°时，AP＝PQ，∴t+2=﹣t， ③当∠PQA＝90°时，PQ＝AQ，∴t+2=﹣t，25吴兴区期末）矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，mAB＝4.（1）如图1，若BE＝3AE.①求反比例函数的表达式；②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度.（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值.【分析】（1）①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去△OCF和△BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值.【解答】解1）①∵BE＝3AE，AB＝4，∴反比例函数表达式为y=;∴CF＝2，由勾股定理得，（4﹣x）2+22＝x2，解得x=,∴OG=;（2）∵点E、F在反比例函数的图象上，∴CF＝2m，∴四边形OAEF的面积为8×4﹣=﹣m2+4m+16=m﹣2）2+20，∵0＜m＜4，∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20.26汇川区模拟）如图，直线y=﹣x+7交反比例函数的图象于点A（1，m）和点B.（1）求：m、k的值；（2）若直线AC⊥AB，交反比例函数另一支图象于点C，求C的坐标.（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点D，使∠BDC＝90°,若存在，求出点D坐标，不存在，说明理由.【分析】（1）将A（1，m）代入y=﹣x+7得m＝6，再将A（1，6）代入反比例函数解析式，可得答案；（2）首先联立方程，求出点B的坐标，过点A作MN∥BC，过点C作CM⊥MN于M，过点B作BN⊥MN于N，利用△ABN∽△CAM，得，设C（m代入解方程即可；（3）利用直角三角形斜边上中线的性质可得OD＝OB，从而得出点D的坐标.【解答】解1）将A（1，m）代入y=﹣x+7得，将A（1，6）代入得，（2）当﹣x+7＝时，过点A作MN∥BC，过点C作CM⊥MN于M，过点B作BN⊥MN于N，∵AC⊥AB，°∴∠MAC=∠ABN，°∵∠M=∠N，∴△ABN∽△CAM，设C（m∴m=﹣6，∴点B与C关于原点对称，∴OD==,，﹣27工业园区校级期末）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体.【概念辨析】（1）若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？不存在（填“存在”【深入探究】小鸣和小棋分别有以下思路：【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10．xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l2：y＝与一次函数l1：y=﹣x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体.（2）那么长为3．宽为2的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因.（3）如果长为3，宽为2的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围：k≥.【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（3+2）﹣x，即5k﹣x，根据新定义“完全N倍体”可得：x2﹣5kx+6k＝0，再运用根的判别式即可求得答案.【解答】解1）不存在.因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在.【深入探究】长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形，∵ABCD长为3，宽为2，∴矩形ABCD的周长为10，面积为6，【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10．xy＝12，联立，整理得x2﹣10x+12＝0，解得：x1＝5+，x2＝5﹣,∴新矩形的长为5+，宽为5﹣时，周长为20，面积为12，∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形.【小棋函数流】如图，设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10．xy＝12，即y=﹣x+10，y=利用反比例函数l2：y=与一次函数l1：y=﹣x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体.故答案为：不存在，（2）长为3，宽为2的矩形C的周长为10，面积为6，【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意联立得，整理得：2x2﹣5x+6＝0，∵Δ=(﹣5）2﹣4×2×6=﹣23＜0，∴此方程没有实数根，即长为3．