专题1.4二次函数的应用及综合问题精讲精练（解析版）【人教版】

二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题.（一）简单应用对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，-并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，进行简单的应用（或者直接给出二次函数的解析式，进行简单应用）．解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式.（二）建模应用利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.（三）销售问题二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题.（四）运用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，求最值时，要注意求的答案要符合实际问题．包括二次函数在没有限制条件下的最值，二次函数在给定范围条件下的最值和分段函数求最值.1．二次函数在没有限制条件下的最值：二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）.2．二次函数在给定范围条件下的最值：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，如果顶点在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，则需要计算当x=x1，x=x2，x=时，对应的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值，如果顶点不在此范围内，则只需要计算当x=x1，x=x2时的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值（或者用二次函数的增减性来解）.【考点1】二次函数的应用：销售问题【例1】（兴城市期末）某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元.销售单价x（元/千克）销售量y（千克）300270（1）求y与x的函数关系式；（2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？【分析】（1）根据表中数据用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据利润＝每件的利润×销售量﹣200列出函数解析式，由函数的性质和自变量x的取值范围求函数最值.【解答】（1）设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0根据题意得解得：，∴每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数解析式为y=﹣30x+600；（2）设每天获得的纯利润为w元，根据题意得：w=(﹣30x+600x﹣6200，=﹣30x2+780x﹣3800=﹣30（x﹣13）2+1270∵﹣30＜0，∴x＜13时w随x的增大而增大，∵销售单价不得高于12元，∴当x≤12时，∴当x＝12时，w有最大值，w最大值=﹣30×（12﹣13）2+1270＝1240，答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元.【变式1.1】（定海区期中）我市一家电计算器专卖店每只进价12元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买；（2）求该专卖店当一次销售x只时（x＞10所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少元？【分析】（1）设一次购买x只，才能以最低价购买，根据题意列出有关x的一元一次方程，解得即可；（2）根据购买的数量的不同有不同的优惠方法，故本题是一个分段函数，注意自变量的取值范围；（3）列出有关购买只数的二次函数求其最大值即可，可以采用配方法求其最值，也可以用公式求其最值.【解答】解1）设一次购买x只，才能以最低价购买，则有：0.1（x﹣10）＝20﹣16，解这个方程得x＝50；答：一次至少买50只，才能以最低价购买.（2）当10＜x≤50时，y20﹣12）x﹣0.1（x﹣10）x=﹣x2+9x；当x＞50时，y＝16x﹣12x＝4x；综上所述：y=﹣x2+9x10＜x≤50y＝4x（x＞50（3）y==﹣x2+9x；当x=﹣=45时，y最大==202.5，∴店主一次卖45只时可获得最高利润，最高利润为202.5元.【变式1.2】（黔西南州期末）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元不低于成本价）满足的一次函数关系如图所示.（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天销售获得的利淘最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意设出函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式，再根据成本为8元，利润大于0求出自变量的取值范围；（2）根据利润＝单个利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值.【解答】解1）设函数解析式为y＝kx+b，解得∴y=﹣10x+300，∵x＞8且﹣10x+300＞0，∴8＜x＜30，∴y与x的函数关系式y=﹣10x+300（8＜x＜30（2）设每天的利润为w元，根据题意，得：wx﹣8）y=（x﹣8）(﹣10x+300）=﹣10x2+380x﹣2400=﹣10（x﹣19）2+1210，∴当x＝19时，w最大，最大值为1210，∴售价定为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元.【变式1.3】（黄冈二模）某超市计划在端午节前30天销售某品牌粽，进价为每盒90元，设第x天（x为整数）的销售价格为每盒y元，销售量为m盒．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：①当1≤x≤10时，y＝200；当11≤x≤30时，y与x满足一次函数关系，且当x＝21时，y＝145；当x=24时，y＝130；②m与x的关系为m＝5x+20.（1）当11≤x≤30时，求y与x的函数关系式；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少.（3）超市要在当天销售价格的基础上涨a元/盒，结果发现第11到第15天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则a的取值范围为a＞5.【分析】（1）利用待定系数法可得一次函数关系式；（2）分1≤x≤10、11≤x≤30，分别计算利润的最大值，进而求解；（3）Wy+a﹣90）•m250﹣5x﹣90+a5x+20）=﹣25x2+（700+5a）x+3200+20a，利用对称轴即可求解.【解答】解1）设y与x的关系式是y＝kx+b，把（21，145）和（24，130）代入得，解得k=﹣5，b＝250，∴当11≤x≤30时，y与x的关系式是y=﹣5x+250；（2）当1≤x≤10时，y＝200，则W＝（200﹣90）×（5x+20）＝550x+2200，∵W随x的增大而增大，则W=(﹣5x+250﹣905x+20）=﹣25（x﹣14）2+8100，∵函数的对称轴为x＝14，∴当x＝14时，W取得最大值为8100，∵8100＞7700，故x＝14时，当天的销售利润最大，最大利润为8100元；（3）依题意得，Wy+a﹣90）•m250﹣5x﹣90+a5x+20）=﹣25x2+（700+5a）x+3200+20a，∵第11天到第15天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，∴对称轴x=﹣>14.5，得a＞5，故a的取值范围是a＞5.故答案为：a＞5.【考点2】二次函数的应用：面积问题【例2】（西秀区期末）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0回答下面的问题：（1）用含x的式表示篱笆DE的长为22﹣2xm，x的取值范围是5≤x＜11；（2）菜园的最大面积是多少m2？求出此时x的值是多少.【分析】（1）①根据矩形的性质，由EF＝AD＝3+x，再根据EF上有一个2m的门，DE＝23﹣CD﹣EF+2得出DE，并根据0＜22﹣2x≤12，求出自变量x的取值范围；（2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据函数的性质，在自变量范围内求最值.【解答】解1）①∵AC＝3，CD＝x，∴EF＝AC+CD＝3+x，∴DE＝23﹣CD﹣EF+2＝23﹣x3+x）+2＝23﹣x﹣3﹣x+2＝22﹣2x，∵0＜22﹣2x≤12，∴5≤x＜11，故答案为：22﹣2x，5≤x＜11；（2）由题意，得：S3+x22﹣2x）=﹣2x2+16x+66=﹣2（x﹣4）2+98，∵﹣2＜0，∴当x＞4时，S随x的增大而减小，∵5≤x＜11，∴当x＝5时，S有最大值，最大值=﹣2（5﹣4）2+98＝96，答：x＝5时，菜园面积S的最大值为96m2.【变式2.1】（上虞区期末）如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m面积为y（m）.（1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；（2）如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？（3）求出所能围成的花圃的最大面积.【分析】（1）设花圃的一边AB为xm，则花圃的另一边BC为（30﹣3x）m，利用矩形的面积计算公式，即可找出y关于x的函数关系式；（2）根据花圃的面积为63m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用长度为10m，即可确定AB的长；（3）根据（1）解析式和自变量的取值范围，由函数的性质求最值.【解答】解1）设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，∴y＝x（30﹣3x）=﹣3x2+30x，∵3x＜30且30﹣3x≤10，∴≤x＜10，∴y关于x的函数表达式为y=﹣3x2+30x(≤x＜10：﹣解得：x＝3或7，∵≤x＜10，∴如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长应为7m；（3）由题意知：y=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，∵﹣3＜0，∴当x＞5时，y随x的增大而减小，∵≤x＜10，=∴当时，y有最大值．最大值为﹣3×+30×∴篱笆围成的花圃的最大面积为m2.=,【变式2.2】（拱墅区校级期末）如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙AB（AB＝18米另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余.（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由.【分析】（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，用总长减去一个2倍的长加上2即可求得与墙平行的墙长；根据面积为120平方米结合矩形的面积列出方程求解即可.（2）根据（1）中所列等式，根据二次函数的性质可得出结论.【解答】解1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是（36﹣2x+2即（38根据题意得：x（38﹣2x）＝120，整理，得2x2﹣38x+120＝0，当x1＝15时，36﹣2x＝6＜18，符合题意.当x2＝4时，36﹣2x＝28＞18，不符合题意.答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为15米，则与墙平行的边长为8米.（2）存在，理由如下：根据（1）中条件可知，S＝x（38﹣2x）=﹣2（x﹣)2+，∵﹣2＜0，∴当x≥10时，S随x的增大而减小，∴当x＝10时，S的最大值为180，此时38﹣2x＝18＝18，符合题意，∴当这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为10米，则与墙平行的边长为18米时，面积的最大值为180平方米.【变式2.3】（老河口市期末）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图其中一边靠墙（墙长24m另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm.（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值；（3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由.【分析】（1）根据“垂直于墙的长度=÷2”可得函数解析式；（2）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式；（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得.【解答】解1）根据题意知，y==﹣x+40，故y与x之间的函数关系式为；（2）根据题意得，S==,当S＝576时546，解这个方程，得x1＝21，x2＝39，（3）小明计算的不对，=理由：∵S==∴当x≤24时，S随x的增大而增大.∴当x＝24时，S最大，此时S＝576＜600.∴小明计算的不对.【考点3】二次函数的应用：抛物型问题【例3】（温岭市期末）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：时间x03045759095人数y602352400小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答：（1）求曲线ABC部分的函数解析式；（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？（3）如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？（4）疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，如果采样时间t（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30≤t≤60则开设的采样窗口数量n（个）的范围是5≤n≤10.【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入二次函数解析式中即可；（2）利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将y＝220分别代入两个函数求出x，相减即可得出答案；（3）首先利用一次函数求出一个窗口每分钟可以采样的人数，然后表示出总窗口数与时间的表达式，按照要求大于当前的人数即可；（4）利用采样窗口数量n表示出采样时间t，代入要求的时间范围内即可得出答案.【解答】解1）设曲线ABC部分的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A（0，60B（30，160C（90，240）代入，∴曲线ABC部分的函数解析式为：y=﹣x2+4x+60；（2）设CD的解析式为：y＝kx+b，解得：k=﹣12，b＝1320，∴CD的解析式为：y=﹣12x+1320，将y＝220代入y=﹣x2+4x+60中，解得：x＝60或x＝120（舍去将y＝220代入y=﹣12x+1320中，解得：x=,∴满负荷状态的时间为分；（3）设至少需要新增m个窗口，1个窗口1分钟采样的人数为：240÷20÷6＝2，4：15分时的排队人数为：将x＝75代入y=﹣x2+4x+60中，解得：y＝235，3：45分至4：15分之间采样的人数为：2×30×6＝360，235+360＝595，∴4点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕，∴2×（m+6）×30≥595，解得：m≥,∴至少需新增4个采样窗口；∴t==,∴5≤n≤10，故答案为：5≤n≤10.【变式3.1】（景德镇期末）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.（1）当甲车减速至10m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以9m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【分析】（1）根据图象分别求出一次函数和二次函数解析式，令v＝10求出t，代入求出s即可；（2）分析得出当v＝9m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可.【解答】解1）由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，∵一次函数经过（0，158，7则，解得：∴一次函数表达式为v=﹣t+15，∵二次函数经过（2，284，52则，解得：，∴二次函数表达式为s=﹣t2+15t，令t＝5，则s=﹣+70＝57.5，∴当甲车减速至10m/s时，它行驶的路程是57.5m；当0<υ＜10时，两车之间的距离逐渐变大，当10＜0＜16时，两车之间的距离逐渐变小，当v＝10m/s时，两车之间距离最小，将v＝10代入v=﹣t+16中，得t＝6，将t＝6代入s=﹣t2+16t中，得s＝78，此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2（m6秒时两车相距最近，最近距离是2米.【变式3.2】（顺平县期末）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800当30＜x≤40时，累计人数保持不变.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）①当0≤x≤30时由顶点坐标为（10，1800可设y＝a（x﹣30）2+1800，再将（0，0）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；②当30＜x≤40时，根据等候的人数不变得出函数解析式；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w＝y﹣40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得答案；（3）设从一开始就应该增加m个监测点，根据在10分钟内让全部学生完成体温检测得到关于m的不等式解不等式即可.【解答】解1）①当0≤x≤30时，∴设y＝a（x﹣30）2+1800，将（0，0）代入，得：900a+1800＝0，解得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣30）2+1800=﹣2x2+120x（0≤x≤30②当30＜x≤40时，y＝1800（30＜x≤40∴y与x之间的函数表达式为y=;（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x，①0≤x≤30时，w=﹣2x2+120x﹣40x=﹣2x2+80x=﹣2（x﹣20）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＝20时，w的最大值是800；②当30＜x≤40时，w＝1800﹣40x，∵﹣4＜0，∴200≤w＜600，∴排队人数最多是600人，要全部学生都完成体温检测：解得：x＝45，∴要全部学生都完成体温检测需要45分钟，（3）设从一开始就应该增加m个监测点，由题意得：10×20（m+2）≥1800，解得：m≥7，∴从一开始就应该增加7个监测点.【变式3.3】（泗县期末）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动.（1）求山坡坡顶的高度；（2）当运动员运动到离A处的水平距离为2米时，离水平线的高度为7米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围（3）在（2）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？【分析】（1）根据题意变形可求出山坡坡顶的高度；（2）根据题意把A（0，4点（2，7）代入抛物线，求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；（3）运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得，解出x即可.【解答】解1）根据题意近似表示滑雪场地上的一座小山坡，∴坡顶坐标为（5，6∴山坡坡顶的高度为6m；（2）根据题意运动员滑出后沿一段抛物线C2：y=﹣+bx+c运动，把点A（0，4点（2，7）代入抛物线，解得：，∴抛物线C2的函数解析式；（3）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，解得：x1--2T（不合题意，舍去x22T，故当运动员运动水平线的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米.【考点4】二次函数压轴题：动点问题【例4】（金乡县三模）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3抛物线交x轴于另一点C（6，0）.（1）求抛物线的解析式.（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H.①当∠DPH=∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；（2）①由点A，点B，点C，点D坐标可求AD＝CD，BD∥OC，可证四边形PDQC是平行四边形，可得PD＝CQ，即3t＝4﹣2t，解之即可；②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解.【解答】解1）在直线y=﹣2x+4中，∴点B坐标（0，4令y＝0时，得2x+4＝0，解得：x＝2，∴点A（2，0∵抛物线经过点A（2，0C（6，0E（5，3∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2x﹣6将E（5，3）代入，得：3＝a×（5﹣2）×（5﹣6解得：a=﹣1，∴抛物线解析式为：y=x﹣2x﹣6）=﹣x2+8x﹣12；:顶点D（4，4“点B坐标（0，4:BDⅡOC，BD＝4，“y＝-x2+8x-12与x轴交于点A，点C，:点C（6，0点A（2，0:AC＝4，“点D（4，4点C（6，0点A（2，0:AD＝CD＝2√5，:上DAC＝上DCA，“BDⅡAC，:上DPH＝上PQA，且上DPH＝上DAC，:上PQA＝上DAC，“DA＝DC，:上DAC＝上DCA，:上PQA＝上DCA，:PQⅡDC，且BDⅡAC，:四边形PDCQ是平行四边形，:PD＝QC，:t=;②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时t＝1-.如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1，“BDⅡOC，:上DBA＝上OAB，∵点B坐标（0，4A（2，0点D（4，4∴∠ABD=∠ADB，∴tan∠OABtan∠DBA=,∴PN＝2BP＝4t，∴MH＝PN＝4t，∴DH2t，∴AH＝AD﹣DH＝2√5﹣2√5t，∵BD∥OC，∴=,若点N在AD上，即1＜t≤,∵PN＝MH，∴点H、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1﹣.【变式4.1】（沈北新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）先求出CQ与PH的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，先求出CM的解析式，联立方程组可求解.【解答】解1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交y轴于点C，∴点C（0，6将点A，点B坐标代入解析式，可得解得：，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2﹣2x+6；（2）如图，过点P作PH⊥CO于H，∵PH⊥OC，∴PH＝CH，∵点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，∴PH＝CH＝t，CQ＝6﹣t，∴S△PCQ=×CQ×PH=(﹣t2+6t）=﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，S△CPQ的最大值为，∴OH＝6﹣3，（3）如图，当点M在AC的下方时，设CM与x轴的交点为H，“上ACM＝15。，上ACO＝45。，:上OCH＝30。，:tan上OCH==,:OH＝2，:直线CM的解析式为：y＝x+6，联立方程组可得：，解得舍去）或，当点M'在AC的上方时，设CM'与x轴的交点为G，“上ACM'＝15。，上ACO＝45。，:上OCG＝60。，:tan上OCG=,:OG＝6，:直线CM'的解析式为：y＝x+6，联立方程组可得：，解得舍去）或，综上所述：点M的坐标为(﹣4﹣24）或(﹣4﹣【变式4.2】（长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”.（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值.（2）已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c.②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值.（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2.①求y关于t的函数关系式；②求y的最小值.【分析】（1）根据两边的长度之和等于第三边长度的两倍，分情况求m值即可；（2）①根据两边的长度之和等于第三边长度的两倍，及勾股定理列出三边关系，联立方程组求出比值②根据三边比值和△ABC周长的数值与面积的数值相等，求出三边长度即可；（3）①分点P在AB上和在BC上两种情况，根据勾股定理求出PQ2即可；②利用①的函数关系式求最值即可.【解答】解1）∵“调和三角形”某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，解得m＝6，解得m＝9，解得m＝3（不合题意舍去综上，m的值为6或9；（2）①∵Rt△ABC是“调和三角形”，且a＜b＜c，整理得（5a﹣3ca+c0，∵a，b，c为三角形三边，∴0＜a＜b＜c，②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，∴a+b+c=,即a+a+a＝a×a，解得a＝6或a＝0（舍去过P作PD⊥AC于D，则有AP＝2t，CQ＝t，∴△APD∽△ABC，∵PQ2＝PD2+DQ2，∴PQ2t）2+（8﹣t）2＝t2﹣t+64；此时，PC＝6+10﹣2t＝16﹣2t，∴PQ2＝PD2+DQ216﹣2t）2+t2＝5t2﹣64t+256，综上，y关于t的函数关系式：;②由y关于t的函数关系式可知当P在AB上时有最小值，∴当t＝，y有最小值为.【变式4.3】（邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0B（0，6CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t.（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值.【分析】（1）将C（8，0B（0，6）代入计算即可；（2）作DE⊥x轴于点E，证明△BOC∽△CED，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；（3）分为点M在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为△BON∽△CDM和△BON∽△MDC两种情况讨论；当点M在BC上时，分为△BON∽△MCD和△BON∽△DCM两种情况讨论；（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得QN+DN的最小值；连接BQ减去BA'可得A'Q的最小值，综上可得A'Q+QN+DN的最小值.【解答】解1）将C（8，0B（0，6）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，∵∠BOC=∠BCD=∠DEC，∴△BOC∽△CED.∴（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，当△BON∽△CDM，则，即不成立，舍去；当△BON∽△MDC，则，即，解得若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t.当△BON∽△MCD，则，即，当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t.解得t1舍去t2=.当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16当△BON∽△DCM，则，即∴ON＝30﹣6t；当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，解得t＝7（舍去解得.综上所示：当时，△BON∽△MDC；t=（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，由得对称轴为x＝5，故A'Q+QN+DN的最小值为√丽5.【考点s】二次函数压轴题：面积问题【例5】（钦北区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积；（3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.,)、B（4，6）代入抛物线y＝ax2+bx+6中列方程组解出即可；（2）利用配方法计算抛物线顶点C的坐标，计算PC的长，根据三角形面积公式可得结论；（3）设P（m，m＝2表示点C的坐标，计算PC的长，同理根据（2）中△BCE的面积公式可得结论.【解答】解1）把A(解得：,)、B（4，6）代入抛物线y＝ax2+bx+6中得：,∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6；（2）如图1，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，）＝当y＝0时，x+2＝0，∴x=﹣2，∴△BCE的面积=△PCE的面积+△PBC的面积=PC•ED+PC•（xB﹣xD）=PC•（xB﹣xE）=×6×（4+2）=18；（3）存在，设点P的坐标为（m，m+2则C（m，2m2﹣8m+6∴PC＝m+22m2﹣8m+6）=﹣2m2+9m﹣4，∴△BCE的面积＝PC•（xB﹣xE）=×(﹣2m2+9m﹣4）×（4+2）=﹣6（m﹣)2+；∵﹣6＜0，∴当m＝时，△BCE的面积最大，这个最大值是.【变式5.1】（茌平区一模）如图，已知二次函数的图象交x轴于点B(﹣8，0C（2，0交y轴点A.（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合过点P作PD∥AC，交AB于点D，试猜想△PAD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标.（3）连接OD，在（2）的条件下，求出的值.【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P（m，0）(﹣8＜m＜2则PB＝m+8，PC＝2﹣m，利用三角形面积公式可得S△PAB＝2m+16，由PD∥AC，可得，进而得出即S△PAD=m+3）2+5，利用二次函数的性质即可得出答案；（3）当P(﹣3，0）时，P为BC边的中点，进而推出D为AB边的中点，得出，即可求得答案.【解答】解1）∵点B(﹣8，0C（2，0）在二次函数的图象上，解得：，∴二次函数的表达式是y＝x2+x﹣4.（2）猜想：△PAD的面积有最大值.设P（m，0）(﹣8＜m＜2则PB＝m+8，）＝在y＝x2+x﹣4中，令x＝0，得y=﹣4，＝（∵PD∥AC，∴==,＝S△PAB=×（2m+16）=﹣（m+3）2+5，∴当m=﹣3时，△PAD的面积存在最大值，此时P(﹣3，0）.（3）当P(﹣3，0）时，P为BC边的中点，∴D为AB边的中点，在Rt△AOB中【变式5.2】（官渡区二模）抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直（1）如图1，若点C坐标为（0，2则b=（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP面积最大时，点P坐标和四边形ABCP的最大面积；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作MN∥CD分别交抛物线于点M，N，当MN＝3CD时，求c的值.【分析】（1）由点C坐标为（0，2）得c＝2，根据对称轴为直线x=﹣可得b的值；（2）设点P（x根据S四边形ABCP＝S△APC+S△ABC，列出四边形面积关于m的二次函数即可得出点P的坐标和四边形ABCP面积的最大值；（3）求出，C（0，c求出直线CD的解析式为进而求出直线MN的解析式为，联立y=﹣x2﹣x+2，得，分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，证明△MHN∽△DGC，根据相似三角形的性质即可求解.【解答】解1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴正半轴于点C，点C坐标为（0，2对称轴为直线x=﹣.：﹣∴y=﹣x2﹣x+2，令y=﹣x2﹣x+2＝0，整理得（x﹣1x+40解得x＝1或x=﹣4， ∴lAC：y＝x+2，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，设点P（xx＜0则点Q（x，x+2PQ=x+2）=,∴S△APC＝S△APQ+S△PCQ＝PQ×（xC﹣xA）=﹣x2﹣4x（x＜0∴S四边形ABCP＝S△APC+S△ABC=﹣x2﹣4x+5=x+2）2+9，∵﹣1＜0，函数图象开口向下，又x＜0，∴当x=﹣2时，S四边形ABCP最大＝9，∴当点P(﹣2，3）时，四边形ABCP的最大面积，最大面积为9；∴直线CD的解析式为：，“MNⅡCD，:直线MN的解析式为：，由题意，联立得解得：由题意:，分别过C，N作x轴的平行线，过D，M作y轴的平行线交于点G，H，:上G＝上H，上DCG＝上MOA＝上MNH，:△MHN一△DGC，:，“MN＝3CD，:，:，:，:.【变式5.3】（开福区校级二模）如图，抛物线yx+1x-a其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示（2）如图①,若a＝2，点D在抛物线的对称轴上，DB＝DC，求△BCD与△ACO的周长之比；（3）如图②,若a＝3，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.【分析】（1）在yx+1x﹣a）中，令x＝0得y=﹣a，令y＝0得x=﹣1或x＝a，得A（a，0B（2）当a＝2时，抛物线为yx+1x﹣2设Dm根据DB＝DC，有(﹣1﹣)2+（0﹣m）2=(﹣0）2+（m+2）2，解得D(,﹣),可证△BCD是等腰直角三角形，△BCD∽△ACO，即知△BCD与△ACO的周长之比==;S△PQN＝S△BPM，可得QR＝1，分两种情况：①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4nR点的坐标为（n，n2﹣4nN点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，即得n＝时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为(,﹣);②点Q在直线P坐标为（n+1，n2﹣4同理可得n＝时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为(,﹣).【解答】解1）在yx+1x﹣a）中，令x＝0得y=﹣a，令y＝0得x=﹣1或x＝a，（2）当a＝2时，抛物线为yx+1x﹣2结合（1）知A（2，0B(﹣1，0C（02∴抛物线对称轴为直线x==,设Dm0﹣m）2=(﹣0）2+（m+2）2，而BC2=(﹣1﹣0）2+（0+2）2＝5，∴DB2+DC2＝BC2，∴△BCD是等腰直角三角形，由（1）知∠OCA＝45°,∴△ACO是等腰直角三角形，∴∠DBC=∠DCB＝45°=∠OCA=∠OAC，∴△BCD∽△ACO，∴△BCD与△ACO的周长之比===（3）a＝3时，存在点Q，使得△PQN与△BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小，理由如下：过Q作QR⊥PN，垂足为R，设点P坐标为（n，0则PB＝n+1，PA＝PM＝3﹣n，PN=﹣n2+2n+3.∵S△PQN＝S△BPM，∴（n+13﹣n）=(﹣n2+2n+3）•QR，①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4nR点的坐标为（n，n2﹣4nN点的坐标∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，【考点6】二次函数压轴题：三角形存在性问题【例6】（邢台模拟）如图，直线AB和抛物线的交点是A（03B（5，9已知抛物线的顶点D的横坐标是2.（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值.【分析】（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x=﹣=2，抛物线过是A（03则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分AB＝AC、AB＝BC、AC＝BC，三种情况求解即可；（3）由S△PAB＝•PH•xB，即可求解.【解答】解1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x=﹣=2…①,抛物线过是A（03则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②,联立①、②解得：ab=﹣,c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y=﹣,即顶点D的坐标为（2，﹣);（2）A（03B（5，9则AB＝13，①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0则m）2+(﹣3）2＝132，解得：m=±4，即点C坐标为4，0）或(﹣4，0②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0则5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，则点C坐标为0故：存在，点C的坐标为4，0）或(﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设：AB所在的直线过点A（03则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k=,故函数的表达式为：y＝x﹣3，设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3则点H坐标为（m，m﹣3•PH•xB=(﹣m2+12m当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为答：△PAB的面积最大值为.【变式6.1】（方正县期末）抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知△ABC的面积为3.（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ∥AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当d＝4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若△AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标.【分析】（1）y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，则点B、C的坐标分别为1，0）、（3，0点A（0，3a△ABC的面积＝AB×OA＝3a＝3，即可求解；（2）PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y=﹣x+b，设点P（m，m2﹣4m+3m＞2将点P的坐标代入上式，即可求解；（3）d＝4时，点P（4，3设点G（n，n2﹣4n+3直线PD的函数表达式为：y＝2x﹣5…①,直线AG的函数表达式为：yn﹣4）x+3…②,联立①②并解得：x=AN【解答】解1）y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，△ABC的面积＝AB×OA＝3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）点A（0，3点C（3，0D（21则PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y=﹣x+b，设点P（m，m2﹣4m+3m＞2将点P的坐标代入上式并解得：b＝m2﹣3m+3，则d＝AQ＝|m2﹣3m|（m＞2（3）当d＝4时，|m2﹣3m|＝4，解得：m＝4或﹣1（舍去﹣1故点P（4，3设点G（n，n2﹣4n+3点D（21则点N（01）同理可得：直线PD的函数表达式为：y＝2x﹣5…①,直线AG的函数表达式为：yn﹣4）x+3…②,联立①②并解得：x故点M(,﹣5解得：n＝或4，【变式6.2】（蓬江区校级一模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（4，0C(﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q.（1）求抛物线的解析式；（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使△PAQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；（2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点P的横坐标即可；（3）需要对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，运用勾股定理列出方程，运用方程求得点P的坐标.【解答】解1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（4，0C(﹣1，0）两点，解得.∴抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4；（2）设P（x，y对于抛物线y=﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4，∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5.∴=+5.∴﹣x2+3x+4＝6.（3）存在，点P的坐标是（3，4）或(理由：若∠AQP＝90°时，即AB⊥CP.由A（4，0B（0，4）知，OA＝OB，∴∠OAB=∠OBA＝45°.∴设直线PC解析式为：y＝x+t.故直线PC的解析式为y＝x+1.联立，解得（舍去）或.若∠APQ＝90°时，△APC是直角三角形，设P（m，n则n=﹣m2+3m+4.则由AP2+CP2＝AC2，即（m+1）2+n2+（m﹣4）2+n24+1）2.整理，得m2﹣3m﹣4+n2＝0.解得m1=﹣1，m2＝4.当n＝1时m2+3m+4＝1，即m2﹣3m﹣3＝0，解得m1m2舍去）.此时点P的坐标分别是(﹣1，0舍去4，0舍去1）.若∠QAP＝90°时，该种情况不存在.综上所述，符合条件的点P的坐标是（3，4）或（，1）.【变式6.3】（大同模拟）综合与探究如图，已知直线和抛物线相交于点A(﹣1，1）和点，与x轴相交于点C.（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；（2）已知点D的坐标为（01判断△ACD的形状，并说明理由；（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ACP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）用待定系数法求出解析式，然后求出C点坐标即可；（2）根据SAS证△AED≌△DFC，得出AD＝CD，再根据角的关系得出∠ADC＝90°,即可得出△ADC的形状；的值确定P点的坐标即可.【解答】解1）∵点A(﹣1，1）和点在抛物线上，,解得，∴抛物线的函数表达式为；把y＝0代入中，得，解得x＝2，（2）结论：△ACD是等腰直角三角形，理由：如下图，过点A和点C分别作x轴的垂线AE，CF，与过点D的x轴的平行线相交于点E，F，∴AE⊥DE，CF⊥DF，∴∠AED=∠DFC＝90°,∴AE＝DF，DE＝CF，在△AED和△DFC中，∴△AED≌△DFC（SAS∴AD＝CD，∠EAD=∠FDC，∴∠ADE+∠FDC=∠ADE+∠EAD＝90°,）＝∴△ACD是等腰直角三角形；（3）存在，设点P的坐标为，,分三种情况：①当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝PA2，解得m1=﹣4，m2＝1，∵点P在第四象限，∴m=﹣4不符合题意，∴AC＝PC，即此时△ACP为等腰直角三角形，②当∠CAP＝90°时，AC2+PA2＝PC2，解得m1=﹣1，m2=﹣2，当m=﹣2时∴AC＝PA，即此时△ACP为等腰直角三角形，③当∠APC＝90°时，且AP＝CP，有AC2＝PA2+PC2，由（2）可知，P为（2）中的点D或点D关于AC的对称点，这两点都不在抛物线上，综上所述，存在点P（13）或(﹣22使得△ACP为等腰直角三角形.【考点7】二次函数压轴题：相似问题【例7】（兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0B(﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.【分析】（1）运用待定系数法将A（4，0B(﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，解方程组即可求得答案；（2）根据题意，当S1＝S2+5，即S△ABD＝S△ABC+5，设D（x，y表示出△ABD和△ABC的面积，列方程求解即可；（3）分情况讨论，列出三角形相似的三种情况，画出相应图形，设M（m，4则N（mm2+3m+4运用相似三角形性质，建立方程求解即可.【解答】解1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0B(﹣1，0）两点，解得：，∴y=﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，即S△ABD＝S△ABC+5，设D（x，y∴﹣x2+3x+4＝6，（3）设M（m，4则N（mm2+3m+4①如图2，△BOC∽△NMC，则=,∴=,解得：m＝0（舍去m=,经检验，m＝是原方程的解，∴M4②如图3，△BOC∽△CMN，则=∴=,,解得：m＝0（舍去m=﹣1，经检验，m=﹣1是原方程的解，③如图4，△BOC∽△NMC，则=,解得：m＝0（舍去m=,经检验，m＝是原方程的解，∴M4④如图5，△BOC∽△CMN，则=,∴=,解得：m＝0（舍去m＝7，经检验，m＝7是原方程的解，综上所述，点M的坐标为(【变式7.1】（长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，表示PH的长，根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED=∠BMD＝90°或∠DCE=∠DMB＝90°,进而分两种情况讨论即可得出结论.【解答】解1）把点B（6，0）和点C（03）代入得：解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n，由点B（6，0）和C（03）得：解得：，∴直线BC的解析式为，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵点P的坐标为（mPH∥y轴，∴点H的坐标为（mxB﹣xC＝6﹣0＝6，∵S△PBC＝PH×6=(﹣)×6=﹣=（3）如图2，∵∠CDE=∠BDM，△CDE与△BDM相似，∴∠CED=∠BMD＝90°或∠DCE=∠DMB＝90°,设M（x，0①当∠CED=∠BDM＝90°,∴CE∥AB，∵点E在抛物线上，∴x2﹣x﹣3=﹣3.②当∠DCE=∠DMB＝90°由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3，∴OM＝x，BM＝6﹣x，DM＝3﹣x，由（2）同理得ED=﹣+3x，∵DM∥OC，∴CD=,∴BD＝BC﹣CD＝315﹣x，∵△ECD∽△BMD，=,∴=x（3﹣x）2，x（6﹣x1﹣x0，综上所述：点M的坐标为（5，0）或（1，0）.【变式7.2】（禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0B（1，0C（02）三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC，直接写出点D的坐标.【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）设P（tt2+t﹣2则M（t，01＜t＜4，分两种情况讨论：①当∠PAM=∠OAC时，tan∠OAC＝tan∠MAP，可求P（2，1②当∠PAM=∠OCA时，tan∠OAC＝tan∠APM，此时P点坐标不存在；（3）求出直线AC的解析式为y＝x﹣2，再求出过点B作直线AC的平行线y＝x﹣【解答】解1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（4，0B（1，0C（02）代入y＝ax2+bx+c，,解得，∴y=﹣x2+x﹣2；（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：设P（tt2+t﹣2则M（t，01＜t＜4，∴PM=﹣t2+t﹣2，∴tan∠MAP=,∴tan∠OAC=,①当∠PAM=∠OAC时，=,②当∠PAM=∠OCA时，=2，解得t＝4（舍）或t＝5（舍∴此时P不存在；综上所述：P点坐标为（2，1（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴直线AC的解析式为y＝x﹣2，过点B作直线AC的平行线y＝x+m，∴+m＝0，联立方程组，解得（舍）或，【变式7.3】（攸县期末）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.【分析】（1）①函数的对称轴为：x=﹣=②设抛物线与x轴左侧的交点为R(﹣1，0则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解；③四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即(﹣2x2+2x+4(﹣2x+4解得：x=去故点P1而PN==≠MN，即可求解；或（舍（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况，分别求解即可.【解答】解1）①函数的对称轴为：x=﹣=当x＝时，y=﹣2x+4＝3，故点N3②设抛物线与x轴左侧的交点为R(﹣1，0则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线RB的表达式为：y＝4x+4，故点Q(③不存在，理由：设点P（x2x+4则点D（x2x2+2x+4MN=四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即(﹣2x2+2x+4）﹣(﹣2x+4）＝，解得：x=故点P1而PN==≠MN，或（舍去故不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为1，2此时点A、B的坐标分别为2，0）、（0，4①当∠DBP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则∠BAO=∠BDP=α,tan∠BAO2＝tanα,则sinα=PA=√5，PB＝AB﹣PA＝2√5﹣=,则PD故点D（1②当∠BDP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则BD∥x轴，则点B、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（1，4综上，点D的坐标为1，4）或（1将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c并解得：y=﹣2x2+2x+4或y=﹣x2+3x+4.【考点8】二次函数压轴题：线段最值定值问题【例8】（兴宁区校级模拟）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（2，0点C坐标为（0，2（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图3，过点M（1，3）作直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，利用待定系数法即可求解；（2）设点P（mm2+m+2求得直线BC的解析式，过点P作直线PQ∥y轴，交BC于点Q，则点Q（mm+2可得线段PQ的长度，利用△PBC关于m的关系式，利用配方法可得当△PBC的面积最大时的m的值，则点P的坐标可求；（3）依据题意画出图形，求出直线MC的解析式，进而得出∠DMC＝45°;设点N的坐标为（1，n则MN＝|3﹣n|，利用点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离列出关于n的方程，解方程即可求得点N的坐标.【解答】解1）将B（2，0C（0，2）两点坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：,解得：∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x+2.（2）设直线BC的解析式为y＝kx+e，则：,解得：∴直线BC的解析式为y=﹣x+2.过点P作直线PQ∥y轴，交BC于点Q，如下图，∵点B坐标为（2，0点C坐标为（0，2设点P（mm2+m+2则点Q（mm+2∴PQ=(﹣m2+m+2）﹣(﹣m+2）=﹣m2+2m.∵S△PBC＝S△PCQ+S△PQB＝PQ×OB，∴=﹣m2+2m=﹣（m﹣1）2+1.当m＝1时，y=﹣1+1+2＝2，∴当△PBC的面积最大时，点P的坐标（1，2（3）直线MD上存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离.设点N的坐标为（1，n则ND＝|n|，MN＝|3﹣n|.过点N作NF⊥MC于点F，连接NA，如下图，设直线MC的解析式为：y＝ax+d，∴直线MC的解析式为：y＝x+2.设直线MC交x轴于点E，则E(﹣2，0∵MD⊥x轴于点D，∵NF⊥MC，∴NF＝MN＝|3﹣n|.∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NF＝NA.解得：n=﹣3+或n=﹣3﹣.∴N（13+）或（13﹣).∴在直线MD上存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，N的坐标为（13+）【变式8.1】（青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2B（2，0C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点.（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°,连接MD，MC，求2MD+MC的最小值.【分析】（1）将A（0，2B（2，0C（4，0）三点代入y＝ax2+bx+c中，即可求解；（2）先求出直线AC的解析式，经过点B与直线AC平行的直线为y=﹣x+2，直线y=﹣x+1关于直线AC对称的直线解析式为y=﹣x+3，联立方程组，即可求P点坐标；（3）以O为圆心，OA为半径做圆，取OB的中点E，连接OM，ME，可判断M点在圆O上，由=,EOM=∠MOC，可证明△EOM∽△MOC，则=可求2MD+MC的最小值为.,所以2MD+MC＝2（MD+ME）≥2ED，【解答】解1）将A（0，2B（2，0C（4，0）三点代入y＝ax2+bx+c中，,解得，:y＝x2-x+2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，:，解得，:y＝-x+2，过点B与直线AC平行的直线解析式为y＝-x+1，直线y＝-x+1关于直线AC对称的直线解析式为y＝-x+3，联立方程组，:P点坐标为（2+2，2-）或（2-2，2+（3）以O为圆心，OA为半径做圆，取OB的中点E，连接OM，ME，“上AMB＝45。，上BOA＝90。，:上BOA＝2上AMB，:M点在圆O上，:OM＝2，“E（0，1:OE＝1，:=,=,=,:=,“EOM＝上MOC，∴△EOM∽△MOC，∴=,∴EM＝MC，∴2MD+MC＝2（MD+MC）＝2（MD+ME）≥2ED，∵ED=,∴2MD+MC的最小值为.【变式8.2】（河南三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC.（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m.①请用含m的代数式表示线段DF的长；②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标.【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx﹣4，可知c=﹣4，故O确定点A、B、C的坐标，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）①先求出直线BC的解析式，再设点D为（m，m2﹣m﹣4可得F（m，m﹣4即可得出线段DF的长；②证明△AOC∽△FGD，根据相似三角形的性质可得DF＝3，再根据①得出的式求出m的值，即可求解.【解答】解1）在抛物线y＝ax2+bx﹣4中，令x＝0，则y=﹣4，∴点C的坐标为（04则把点A、B代入解析式，得：,解得：，∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）①设直线BC的解析式为y＝mx+n，则把点B、C代入，得，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x﹣4；设点D为（m，m2﹣m﹣4可得F（m，m﹣4∴DF＝m﹣4-（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m；:AC2＝22+42＝20，BC2＝82+42＝80，AB28+2）2＝100，:AC2+BC2＝AB2，:△ABC是直角三角形，上ACB＝上ACO+上OCF＝90。，“DGⅡAC，:上DGC＝上ACB＝90。，:上DGF＝上AOC＝90。，:上DFG+上FDG＝90。，“DE丄x轴，:DEⅡy轴，:上OCF＝上DFG，“上ACO+上OCF＝90。，上DFG+上FDG＝90。，:上ACO＝上FDG，:△AOC一△FGD，:，“AC2＝22+42＝20，:AC＝2√5，“DG＝AC，:DG=,:，∵DF=﹣m2+2m，【变式8.3】（和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为(﹣2，4且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B.（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合过点D作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长.【分析】（