2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型四 规律探索题 (含答案)

2024辽宁中考数学二轮专题训练题型四规律探索题类型一图形递推变化典例精讲例1如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于______．(用含有正整数n的式子表示)例1题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出S1，S2，S3的面积可类比出Sn的面积．①求S1的面积：根据题意可得：∠AOB＝45°，∠ABO＝90°，∴OB＝AB，∵AB＝AC＝B1C＝BB1＝______，AB∥A1B1，∴A1B1＝2AB＝________，∴A1B1＝A1C1＝B2C1＝B1B2＝________，∵AC∥ON，∴eq\f(CD,DB1)＝eq\f(AC,B1B2)＝____，∴CD＝________B1C＝________，B1D＝__________B1C＝__________．同理可得，B2D1＝________B2C1＝________．∵B1D∥B2D1，∴eq\f(DE,B2E)＝eq\f(B1D,B2D1)＝________，∴S△B1DE＝________S△B1B2D＝________，∵S△ACD＝____，∴S1＝________；②求S2，S3，…的面积：A2B2＝________，S△B2D1E1＝________S△B2B3D1＝________，∵S△A1C1D1＝________，∴S2＝________；S3＝________；③总结，类比可得：Sn＝________．例2如图，在平面直角坐标系中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn都是等腰直角三角形，点B，B1，B2，B3，…，Bn都在x轴上，点B1与原点重合，点A，C1，C2，C3，…，Cn都在直线l：y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(4,3)上，点C在y轴上，AB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥y轴，AC∥A1C1∥A2C2∥…∥AnCn∥x轴，若点A的横坐标为－1，则点Cn的纵坐标是________．例2题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出点C1，C2，C3，C4的纵坐标可类比出点Cn的纵坐标．①求点C1的坐标：∵点C1在直线y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(4,3)上，∴设点C1的坐标为(t，______)．∵△B1B2C1是等腰直角三角形，且点B1与原点O重合，∴B1B2＝B2C1，即t＝______，解得t＝2.∴点C1的纵坐标为________；②求点C2，C3，C4的坐标：设点C2的坐标为(m，______)，∵△B2B3C2是等腰直角三角形，∴m－2＝________，解得m＝________，∴点C2的纵坐标为________．同理可得，点C3的纵坐标为_________；点C4的纵坐标为________；③总结，类比可得：点Cn的纵坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1,BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为_________________________．(用含正整数n的式子表示)第1题图基本模型：____________________2.如图，在△A1C1O中，A1C1＝A1O＝2，∠A1OC1＝30°，过点A1作A1C2⊥OC1，垂足为C2，过点C2作C2A2∥C1A1交OA1于点A2，得到△A2C2C1；过点A2作A2C3⊥OC1，垂足为C3，过点C3作C3A3∥C1A1交OA1于点A3，得到△A3C3C2；过点A3作A3C4⊥OC1，垂足为C4，过点C4作C4A4∥C1A1交OA1于点A4，得到△A4C4C3；…；按照上面的作法进行下去，得到△An＋1Cn＋1Cn的面积为________．(用含正整数n的代数式表示)第2题图基本模型：__________________3.如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…；且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn＋1的周长和为________．(n≥2，且n为整数)第3题图基本模型：__________________基本模型：,,,,,)4.如图，点B1在直线l：y＝eq\f(1,2)x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点Cn的横坐标为________(结果用含正整数n的代数式表示)．第4题图基本模型：__________________5.如图，直线l1的解析式是y＝eq\f(\r(3),3)x，直线l2的解析式是y＝eq\r(3)x，点A1在l1上，A1的横坐标为eq\f(3,2)，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2；…；按照此规律继续作下去，则Sn＝__________________________(用含有正整数n的式子表示)．第5题图基本模型：________________针对训练1.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则△OAnBn的面积为________．第1题图2.如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，…，依此规律继续下去，则D2021D2022＝________．第2题图3.如图，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A、B，点O1、A1分别是BO、BA的中点，连接A1O1、AO1；O2、A2分别是BO1、BA1的中点，连接A2O2、A1O2，…，按此规律进行下去，则S△AnAn＋1On＋1的面积是________．第3题图4.如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，则△AnAn＋1An＋2的面积等于________．第4题图5.如图，n个腰长为1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3，…)有一条腰在同一直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，…，则Sn＝________．(用含n的代数式表示)第5题图6.如图，分别过x轴上点A1(1，0)，A2(2，0)，…，An(n，0)作x轴的垂线，与反比例函数y＝eq\f(6,x)(x＞0)的图象的交点分别为B1，B2，…，Bn，若△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn＋1的面积为Sn，则Sn＝________．(用含n的式子表示)第6题图7.已知直线m：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)与直线n：y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)交于点A，直线n与x轴交于点B1，过B1作B1C1⊥x轴，交直线m于点C1，作菱形AB1D1C1得点D1，过D1作B2C2⊥x轴，分别与直线n和直线m交于点B2，C2，作菱形AB2D2C2得点D2，过点D2作B3C3⊥x轴，分别与直线n和直线m交于点B3，C3，作菱形AB3D3C3得点D3，…，设△B1C1D1的面积为S1，△B2C2D2的面积为S2，△B3C3D3的面积为S3，…，依次类推，则△B2022C2022D2022的面积S2022的值是________．第7题图8.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，作BC1⊥AC，垂足为C1，作CB1⊥AB，垂足为B1，BC1与CB1交于点A1；作B1C2⊥AC，垂足为C2，作C1B2⊥AB，垂足为B2，B1C2与C1B2交于点A2；作B2C3⊥AC，垂足为C3，作C2B3⊥AB，垂足为B3，B2C3与C2B3交于点A3；…；若△A1BC的面积为1，则四边形AnBnAn＋1Cn的面积为________．第8题图9.如图，∠MON＝90°，点A1，A2，A3，….An＋1在射线OM上，点B1，B2，B3，…，Bn＋1在射线ON上，连接A1B2，A2B1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，A1B2∥A2B3∥A3B4…∥AnBn＋1，A2B1∥A3B2∥A4B3…∥An＋1Bn，A1B2与A2B1相交于点C1，A2B3与A3B2相交于点C2，A3B4与A4B3相交于点C3，…，AnBn＋1与An＋1Bn相交于点Cn，OA1＝OB1＝1，则四边形AnCnBnO的周长为________．第9题图10.如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…的顶点A，A1，A2，A3，…在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…，若AB＝2，则Sn等于________．(用含有正整数n的式子表示)第10题图11.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝－x＋2和x＝1上，且A1在x轴上，则点C2022的横坐标是________．第11题图12.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2，以此类推，则点C2022的纵坐标是________．第12题图类型二图形周期变化典例精讲例3如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例3题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图①，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动(如图②)；再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动(如图③)；…；每次旋转的角度都不大于120°，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为________．第1题图针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一条折线，构成这条线段的端点的坐标是这样的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此规律，点A71的坐标为________．第1题图2.如图，多边形A1A2A3A4A5A6、多边形A7A8A9A10A11A12、…、多边形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n－1A6n(n为正整数)均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n，顶点A6、A12、…、A6n均在x轴上，点O是所有正六边形的中心，则A2021的坐标是________．第2题图3.如图，四边形OA1B1C1是边长为1的正方形，点A1、C1分别在x轴、y轴的负半轴上，连接OB1，以OB1的长为边长向右侧作正方形OA2B2C2，点A2在y轴的负半轴上，点C2在x轴的正半轴上，连接OB2，以OB2的长为边长向上方作正方形OA3B3C3，点A3、C3分别在x轴、y轴的正半轴上，…，按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为________．第3题图4.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A30的坐标是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰Rt△OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰Rt△OA3A4，…，依此规律，得到等腰Rt△OA2021A2022，则点A2022的坐标为________．第5题图6.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．第6题图7.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△On－1BAn，则A2020的横坐标为________．第7题图参考答案类型一图形递推变化典例精讲例1eq\f(7×22n－1,9)【解题步骤】①2，4，4，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(4,3)，eq\f(2,3)，eq\f(8,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×4＝eq\f(8,9)，eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，eq\f(2,3)＋eq\f(8,9)＝eq\f(14,9)；②8，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×8＝eq\f(32,9)，eq\f(1,2)×4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，eq\f(8,3)＋eq\f(32,9)＝eq\f(56,9)，eq\f(224,9)；③eq\f(7×22n－1,9).例2eq\f(3n－1,2n－2)【解题步骤】①eq\f(1,3)t＋eq\f(4,3)，eq\f(1,3)t＋eq\f(4,3)，2；②eq\f(1,3)m＋eq\f(4,3)，eq\f(1,3)m＋eq\f(4,3)，5，3，eq\f(9,2)，eq\f(27,4)；③eq\f(3n－1,2n－2).辽宁近年中考真题精选1.eq\f(2n＋1,2n)【解析】设AB＝CD＝a，AD＝CB＝EA＝b，则DE＝2b，DF1＝CF1＝eq\f(1,2)a，CF2＝eq\f(1,4)a，CF3＝eq\f(1,8)a，∴S△EF1B＝S四边形BCDE－S△DEF1－S△CBF1＝eq\f(1,2)(2b＋b)a－eq\f(1,2)×2b×eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)ab＝eq\f(3,4)ab＝eq\f(3,4)×2＝eq\f(3,2)；S△EF2B＝S四边形BCDE－S△DEF2－S△CBF2＝eq\f(1,2)(2b＋b)a－eq\f(1,2)×2b×eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)ab＝eq\f(5,8)ab＝eq\f(5,8)×2＝eq\f(5,4)；S△EF3B＝S四边形BCDE－S△DEF3－S△CBF3＝eq\f(1,2)(2b＋b)a－eq\f(1,2)×2b×eq\f(7,8)a－eq\f(1,2)×eq\f(1,8)ab＝eq\f(9,16)ab＝eq\f(9,16)×2＝eq\f(9,8)；…；由面积变化规律可知S△EFnB＝eq\f(2n＋1,2n).基本模型：2.eq\f(\r(3),4n)【解析】∵A1O＝A1C1＝2，∠A1OC1＝30°，A1C2⊥OC1，∴A1C2＝eq\f(1,2)A1O＝1，C1C2＝C2O＝eq\r(3)，又∵A2C3⊥OC1，∴A2C3∥A1C2，∴A2C3是△A1C2O的中位线，∴A2C3＝eq\f(1,2)A1C2＝eq\f(1,2)，S△A2C2C1＝eq\f(1,2)C1C2·A2C3＝eq\f(\r(3),4)；以此类推，S△A3C3C2＝eq\f(\r(3),42)；S△A4C4C3＝eq\f(\r(3),43)；…；∴S△An＋1Cn＋1Cn＝eq\f(\r(3),4n).基本模型：3.eq\f(2n－1,2n－1)【解析】∵△A1C1C2是等边三角形，∴∠A1C2C1＝60°，∵C1D1⊥A1C2，∴D1C2＝eq\f(1,2)C1C2，∠D1C1C2＝30°，∵C1D1＝D1C3，∴∠D1C3C2＝∠D1C1C2＝30°，∴∠C2D1C3＝∠C2C3D1＝30°，∴C2C3＝C2D1＝eq\f(1,2)C1C2，∴C△A2C2C3＝eq\f(1,2)C△A1C1C2＝eq\f(1,2)，同理C△A3C3C4＝eq\f(1,2)C△A2C2C3＝eq\f(1,22)，∴△AnCnCn＋1的周长为eq\f(1,2n－1)，∴这些三角形的周长和为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)＝eq\f(2n－1,2n－1).基本模型：4.7×eq\f(3n－1,2n)【解析】如解图，过点B1作B1M⊥x轴于点M，过点C1作C1N⊥x轴于点N，∵点B1的坐标为(2，1)，∴点M的坐标为(2，0)，即B1M＝1，OM＝2，由△A1MB1∽△B1MO可得A1M＝eq\f(1,2)，又∵△C1NA1≌△A1MB1，∴A1N＝1，C1N＝eq\f(1,2)，∴点C1的横坐标为eq\f(7,2)；同理可得，点C2的横坐标为eq\f(7,2)×eq\f(3,2)；点C3的横坐标为eq\f(7,2)×(eq\f(3,2))2；…；∴点Cn的横坐标为7×eq\f(3n－1,2n).第4题解图基本模型：5.(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))2n－2【解析】∵直线l1∶y＝eq\f(\r(3),3)x，∴∠A1Ox＝30°，∵直线l2∶y＝eq\r(3)x，∴∠B1Ox＝60°，∴∠A1OB1＝30°.∵A1B1⊥l1，∴∠OB1A1＝60°，∵四边形A1B1B2C1是菱形，∴A1C1∥B1B2，∴∠B1A1C1＝∠A1B1O＝60°，∵A1B1＝A1C1，∴△A1B1C1是等边三角形，∴S1＝2(S扇形A1B1C1－S△A1B1C1).∵点A1的横坐标为eq\f(3,2)，∴点A1的纵坐标为eq\f(\r(3),2)，OA1＝eq\r(3).如解图，过点A1作A1D⊥x轴于点D，则△A1OB1∽△DOA1，∴eq\f(A1B1,DA1)＝eq\f(A1O,DO)，即eq\f(A1B1,\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),\f(3,2))，∴A1B1＝1，∴S1＝2×(eq\f(π,6)－eq\f(\r(3),4))＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2).在△A2A1C1中，A1C1＝A1B1＝1，∠C1A1A2＝30°，∴A2C1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)，∴A2B2＝A2C1＋B2C1＝eq\f(3,2)，∴S2＝2[(eq\f(π,6)×(eq\f(3,2))2－eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(eq\f(3,2))2]＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))2，同理S3＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))4，S4＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))6，∴Sn＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))2(n－1)＝(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))×(eq\f(3,2))2n－2.第5题解图基本模型：针对训练1.3·2n【解析】∵A，A1，A2…An都在平行于x轴的直线上，点的纵坐标都相等，∴An的纵坐标是3，这些点的横坐标有一定的规律An＝2n；B，B1，B2，…，Bn都在x轴上，Bn的纵坐标是0，这些点的横坐标也有一定的规律Bn＝2n＋1，点An的坐标是(2n，3)，Bn的坐标是(2n＋1，0)，∴△OAnBn的面积＝eq\f(1,2)×3×OBn＝3·2n.2.22020·eq\r(7)【解析】由题意得D1D2＝eq\r(22＋（\r(3)）2)＝eq\r(7)＝20·eq\r(7)，D2D3＝eq\r(42＋（2\r(3)）2)＝2eq\r(7)＝21·eq\r(7)，D3D4＝eq\r(82＋（4\r(3)）2)＝4eq\r(7)＝22·eq\r(7)，…，∴DnDn＋1＝2n－1·eq\r(7).∴D2021D2022＝22020·eq\r(7).3.eq\f(1,22n＋3)【解析】把x＝0代入y＝－x＋1得，y＝1，∴OB＝1，把y＝0代入y＝－x＋1得，x＝1，∴OA＝1，∴OA＝OB，∵点O1、A1分别是BO、BA的中点，∴OO1＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)，O1A1是△OAB的中位线，∴O1A1∥OA，O1A1＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(1,2)，如解图，连接OA1，O1A2，∵O1A1∥OA，∴S△AO1A1＝S△OO1A1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,23)，同理，O2A2＝eq\f(1,2)O1A1＝eq\f(1,4)，O2O1＝eq\f(1,2)BO1eq\f(1,4)，S△A1O2A2＝S△O1O2A2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,25)，…，∴S△AnAn＋1On＋1＝eq\f(1,22n＋3).第3题解图4.2n－1【解析】设△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝eq\f(1,2)，∵∠OAA1＝90°，∴OAeq\o\al(2,1)＝12＋12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝1，同理可求：S3＝2，S4＝4，…，∴Sn＝2n－2，∴△AnAn＋1An＋2的面积Sn＋1＝2n－1.5.eq\f(n,2n＋2)【解析】如解图，连接B1B2，B2B3，B3B4，∵n个腰长为1的等腰三角形有一条腰在同一直线上，∴B1B2＝B2B3＝B3B4＝1，∴△A1B1B2的面积＝eq\f(1,2)，∵B1B2∥AA4，∴eq\f(B1B2,AA1)＝1，eq\f(B2B3,AA2)＝eq\f(1,2)，eq\f(B3B4,AA3)＝eq\f(1,3)，∴S1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,4)，∵S2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,1＋2)＝eq\f(1,3)，S3＝eq\f(1,2)×eq\f(3,3＋1)＝eq\f(3,8)，∴Sn＝eq\f(1,2)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n,2n＋2).第5题解图6.eq\f(3,n)【解析】如解图，分别连接OB1，OB2，…，OBn，∵点A1(1，0)，A2(2，0)，…，An(n，0)，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…，∵B1，B2，…，Bn在反比例函数y＝eq\f(6,x)(x＞0)的图象上，∴S△AnOBn＝eq\f(1,2)×6＝3，∴S1＝S△A1OB1＝3，S2＝eq\f(1,2)S△A2OB2＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(1,3)S△A3OB3＝eq\f(3,3)，…，Sn＝eq\f(1,n)S△AnOBn＝eq\f(3,n).第6题解图7.24041【解析】由eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)得x＝0，则A(0，eq\f(1,2))，令y＝0，由y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)＝0得x＝1，则B1(1，0)，C1(1，1)，∴B1C1＝1，如解图，连接AD1，D1D2，D2D3，由菱形的对称性可得AD1＝2，∴S菱形AB1D1C1＝eq\f(1,2)AD1·B1C1＝eq\f(1,2)×2×1＝1，∴S1＝eq\f(1,2)S菱形AB1D1C1＝eq\f(1,2)，把x＝2分别代入y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)与y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)得y＝eq\f(3,2)和y＝－eq\f(1,2)，∴B2(2，－eq\f(1,2))，C2(2，eq\f(3,2))，∴B2C2＝2，由菱形的对称性得AD2＝4，∴S2＝eq\f(1,2)S菱形AB2D2C2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×4×2＝2，把x＝4分别代入y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)与y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)得y＝eq\f(5,2)和y＝－eq\f(3,2)，∴B3(4，－eq\f(3,2))，C3(4，eq\f(5,2))，∴B3C3＝4，由菱形的对称性得AD3＝8，∴S3＝eq\f(1,2)S菱形AB3D3C3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×8×4＝8，同理可得S4＝32，S5＝128，…，由上可知Sn＝22n－3，∴S2022＝24041.第7题解图8.eq\f(3n,22n－1)【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵BC1⊥AC，∴∠CBA1＝15°，同理可得∠BCB1＝15°，∴∠CA1C1＝30°，A1B＝A1C，∴CC1＝eq\f(1,2)A1C，∵△A1BC的面积为1，∴eq\f(1,2)A1B·CC1＝1，即eq\f(1,2)A1C·eq\f(1,2)A1C＝1，∴A1C＝2，∴A1C1＝eq\f(\r(3),2)A1C＝eq\r(3)，∵A1C1⊥AC，B1A2⊥AC，∴A1C1∥B1A2，同理，A1B1∥A2C1，∴四边形A1B1A2C1是平行四边形，∵∠B1BC＝∠C1CB，∠BB1C＝∠CC1B＝90°，BC＝CB，∴△BB1C≌△CC1B(AAS)，∴BC1＝CB1，∵A1B＝A1C，∴A1B1＝A1C1，∴四边形A1B1A2C1是菱形，∴A1C1＝A2C1，∵CB1∥C1B2，∴∠A2C1A1＝∠CA1C1＝30°，如解图，过点A1作A1M⊥A2C1于M，∴A1M＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)eq\r(3)，∴菱形A1B1A2C1的面积＝A2C1·A1M＝eq\f(3,2)＝eq\f(31,22×1－1)；同理可得，菱形A2B2A3C2的面积＝eq\f(9,8)＝eq\f(32,22×2－1)；菱形A3B3A4C3的面积＝eq\f(27,32)＝eq\f(33,22×3－1)；…；由上可知四边形AnBnAn＋1Cn的面积＝eq\f(3n,22n－1).第8题解图9.2(eq\r(3))n【解析】∵OA1＝OB1＝1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，∴OA2＝eq\f(1,tan∠OA2B1)＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)，∴A1A2＝OA2－OA1＝eq\r(3)－1，∵∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，∴∠B2A1O＝60°，∵∠B2A1O＝∠B1A2O＋∠A1C1A2，∴∠A1C1A2＝30°，∴∠B1A2O＝∠A1C1A2＝30°，∴A1A2＝A1C1＝eq\r(3)－1，同理OB2＝eq\r(3)，B1B2＝B1C1＝eq\r(3)－1，∴四边形A1C1B1O的周长为1＋1＋eq\r(3)－1＋eq\r(3)－1＝2eq\r(3)，∵A1B2∥A2B3，A2B1∥A3B2，∴∠OA1B2＝∠OA2B3，∠OB1A2＝∠OB2A3，∴四边形OA1C1B1∽四边形OA2C2B2，且相似比为eq\f(OA2,OA1)＝eq\r(3)，同理四边形OA2C2B2∽四边形OA3C3B3，且相似比为eq\r(3)；以此类推，四边形OAn－1Cn－1Bn－1∽四边形OAnCnBn，且相似比为eq\r(3)；∴四边形OA1C1B1∽四边形OAnCnBn，且相似比为(eq\r(3))n－1，∴eq\f(四边形OA1C1B1的周长,四边形OAnCnBn的周长)＝eq\f(1,（\r(3)）n－1)，∴四边形AnCnBnO的周长为2eq\r(3)×(eq\r(3))n－1＝2(eq\r(3))n.10.eq\f(1,9)×4n＋2【解析】设△ADC的面积为S，由题意得，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，∴△ACD∽△B2B1D，∴eq\f(S△ADC,S△B1B2D)＝(eq\f(AC,B1B2))2＝eq\f(1,4)，∴S△B1B2D＝4S，∵eq\f(CD,DB1)＝eq\f(AC,B1B2)＝eq\f(1,2)，CB1＝2，∴DB1＝eq\f(4,3)，同理D1B2＝eq\f(8,3)，设△B1DE的边B1D上的高为h1，△B2D1E的边B2D1上的高为h2，∵B1D∥B2D1，∴△B1DE∽△D1B2E，∴eq\f(h1,h2)＝eq\f(B1D,B2D1)＝eq\f(\f(4,3),\f(8,3))＝eq\f(1,2)，又∵h1＋h2＝4，∴h1＝eq\f(4,3)，S1＝eq\f(1,2)(B1B2)2－eq\f(1,2)B1D·h1＝eq\f(1,9)×43，同理可得S2＝eq\f(1,9)×44，…，Sn＝eq\f(1,9)×4n＋2.11.22021＋1【解析】如解图，令y＝0，则y＝－x＋2＝0，得x＝2，∴点A1的坐标为(2，0)．令x＝0，则y＝－x＋2＝2，∴M(0，2)，∴OM＝OA1＝2，∴∠MA1O＝45°，∴∠A1PN＝45°，∵四边形A1B1C1A2为正方形，∴∠MA1B1＝90°，∴∠NA1B1＝45°，∴∠A1B1N＝45°，∴A1N＝B1N＝2－1＝1，∴A1P＝A1B1＝A1A2＝A2C1＝B1C1＝eq\r(2)，B1(1，－1)，如解图，连接A2B1，A1C1，则∠A1B1A2＝∠C1A1B1＝45°，∴∠A2B1N＝∠C1A1N＝90°，∴点C1的横坐标与A1的横坐标相等为2，A2与B1的纵坐标相等为－1，当y＝－1时，y＝－x＋2＝－1，得x＝3，∴点A2的坐标为(3，－1)．∵四边形A2B2C2A3为正方形，∴∠PA2B2＝90°，∵∠A1PN＝45°，∵A2B2＝A2P＝2eq\r(2)，∴PB2＝eq\r(2)A2B2＝4，∴B2(1，－3)，如解图，连接A3B2，A2C2，则A3B2∥x轴，A2C2∥y轴，∴点C2的横坐标与A2的横坐标相等为3，A3与B2的纵坐标相等为－3，当y＝－3时，y＝－x＋2＝－3，得x＝5，∴点A3的坐标为(5，－3)．∴点C3的横坐标为5.同理可得，C4的横坐标为9，C5的横坐标为17，…，由上可得规律，Cn的横坐标为2n－1＋1(n≥2)，∴点C2022的纵坐标为22021＋1.第11题解图12.eq\f(22023－3,6)eq\r(3)【解析】∵直线l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)与x轴交于点B，∴B(－1，0)，∴OB＝1，∵A(－2，0)，∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等边三角形，∴A1(－eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，把y＝eq\f(\r(3),2)代入y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)，求得x＝eq\f(1,2)，∴B1(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，∴A1B1＝2，设C1到x轴的距离为h1，C1到A1B1的距离为h1′，∴h1＋h1′＝yA1＝eq\f(1,2)eq\r(3)，∵A1B1//AB，∴△A1B1C1∽△BAC1，∴eq\f(h1,h1′)＝eq\f(BA,A1B1)＝eq\f(1,2)，∴h1＝eq\f(1,3)(h1＋h1′)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)eq\r(3)＝eq\f(1,6)eq\r(3)，∴C1的纵坐标为eq\f(1,6)eq\r(3)；∵A1B1＝2，∴A2(－eq\f(1,2)，eq\f(3\r(3),2))，将y＝eq\f(3\r(3),2)代入y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)中，得eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(3\r(3),2)，求得x＝eq\f(7,2)，∴B2(eq\f(7,2)，eq\f(3\r(3),2))，∴A2B2＝4，设C2到A1B1的距离为h2，C2到A2B2的距离为h2′，∴h2＋h2′＝eq\f(1,2)A1B1·eq\r(3)＝eq\r(3)，∵A1B1//A2B2，∴△A1B1C2∽△B2A2C2，∴eq\f(h2,h2′)＝eq\f(A1B1,A2B2)＝eq\f(1,2)，∴h2＝eq\f(1,3)(h2＋h2′)＝eq\f(1,3)×eq\r(3)＝eq\f(1,3)eq\r(3)，∴C2的纵坐标为yA1＋h2＝eq\f(1,2)eq\r(3)＋eq\f(1,3)eq\r(3)＝eq\f(5,6)eq\r(3)；同理可得，C3的纵坐标为eq\f(13,6)eq\r(3)；C4的纵坐标为eq\f(29,6)eq\r(3)；…，∴Cn的纵坐标为eq\f(2n＋1－3,6)eq\r(3).∴点C2022的纵坐标是eq\f(22023－3,6)eq\r(3).第12题解图类型二图形周期变化典例精讲例3(0，448eq\r(3))【解题步骤】①3；②3，672,672；③eq\r(3)，eq\f(2\r(3),3)，eq\f(4\r(3),3)，2eq\r(3)，(0，448eq\r(3))辽宁近年中考真题精选1.560π【解析】第一次操作：A点运动路径长为l1＝eq\f(120×π×1,180)＝eq\f(2,3)π，第二次操作：A点运动路径长为l2＝eq\f(30×π×1,180)＝eq\f(1,6)π，第三次操作：A点运动路径长为l3＝0，第四次操作：A点运动路径长为l4＝eq\f(30×π×1,180)＝eq\f(1,6)π，第五次操作：A点运动路径长为l5＝eq\f(120×π×1,180)＝eq\f(2,3)π，第六次操作：A点运动路径长为l6＝0，第七次操作：A点运动路径长为l7＝eq\f(120,180)×π×1＝eq\f(2,3)π，…，以此类推，不难发现每三次操作，A点的运动路径总长相同，即为l＝eq\f(2,3)π＋eq\f(1,6)π＋0＝eq\f(5,6)π，又∵2016÷3＝672刚好整除，∴A点的运动总路径长为l总＝672×eq\f(5,6)π＝560π.针对训练1.(36，36)【解析】观察这些端点的坐标，有以下规律：当n为奇数时，第n个点的坐标为(eq\f(n＋1,2)，eq\f(n＋1,2))；当n为偶数时，第n个点的坐标为(eq\f(1,2)n，eq\f(1,2)n＋1)．由此可知，点A71的坐标为(36，36)．2.(337，－337eq\r(3))【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，∵2021÷6＝336……5，∴点A2021是第337个正六边形的顶点，且在第四象限，如解图连接OA5，A5，A11，并延长至A2021，∵点O是所有正六边形的中心，易得△OA5A6、△OA11A12…，都是等边三角形，∴OA5＝2、OA11＝4、…，OA2021＝337×2＝674，作A2021P⊥x轴于点P，∵∠A2021OP＝60°，∴A2021P＝OA2021·sin60°＝337eq\r(3)，OP＝OA2021·cos60°＝337，∴点A2021的坐标是(337，－337eq\r(3))．第2题解图3.(－21010，－21010)【解析】由题意得，点B1，B2，B3，B4分别在第三象限，第四象限，第一象限，第二象限的角平分线上，且点B5与点B1在一条直线上，∴周期为4.∵2021÷4＝505……1，∴点B2021在第三象限的角平分线上．∵四边形OA1B1C1是边长为1的正方形，∴OA1＝1，∴OB1＝eq\r(2).∵正方形OA2B2C2的边长等于OB1，∴OA2＝eq\r(2)，∴OB2＝eq\r(2)OA2＝2＝(eq\r(2))2.∵正方形OA3B3C3的边长等于OB2，∴OA3＝2，∴OB3＝eq\r(2)OA3＝2eq\r(2)＝(eq\r(2))3.同理可得，OB2021＝(eq\r(2))2021，∴点B2021的横坐标为－(eq\r(2))