高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形培优专题8三角形中的最值问题学案

三角形中的最值问题[培优技法]在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[培优案例][例1](2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sin(1)若C＝2π3，求(2)求a2[解](1)因为cosA1+sinA＝sin2B1+cos2B＝2sincosB2cos2B＝sinBcosB，即sin而0＜B＜π3，所以B＝π(2)由(1)知，sinB＝－cosC＞0，所以π2＜C＜π，0＜B＜π而sinB＝－cosC＝sinC-π所以C＝π2＋B，即有A＝π2－2所以a2+＝cos＝2＝4cos2B＋2cos≥28－5＝42－5，当且仅当cos2B＝22时取等号，所以a2+求本例第(2)问需要建立角A，B，C的内在联系，采用消元思想求解即统一变量，解题关键点是sinB＝－cosC＝sinC-π2[例2]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+C2＝bsinA(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2＝sinBsinA因为sinA≠0，所以sinA+C2＝sinB由A＋B＋C＝180°，可得sinA+C2＝cosB故cosB2＝2sinB2cos因为cosB2≠0，故sinB2＝12(2)由题设及(1)知S△ABC＝34a由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°-C由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°．结合A＋C＝120°，得30°＜C<90°，故12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜因此，△ABC面积的取值范围是38本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能采用基本不等式法求解，应转化为三角函数后，利用函数求最值，要注意角度范围的求解．培优训练(八)三角形中的最值问题1．(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－3a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．[解](1)由题意及正弦定理，得2sinBsinA＝3sinA，因为sinA≠0，0＜B＜π2故sinB＝32，B＝π(2)由A＋B＋C＝π，得C＝2π3－由△ABC是锐角三角形，得A∈π6由cosC＝cos2π3-A＝－12cosA＋cosA＋cosB＋cosC＝32sinA＋12cosA＝sinA+π6＋12故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是3+12．(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[解](1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②由①②得cosA＝－12因为0＜A＜π，所以A＝2π(2)法一(基本不等式法)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos即AC+AB2－AC·AB因为AC·AB所以9＝AC+AB2－AC·AB≥AC+AB2解得AC＋AB≤23(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋23，所以△ABC周长的最大值为3＋23．法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB．故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB+π又0＜B＜π3所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23阶段提能(八)解三角形1．(人教A版必修第二册P47例8)在△ABC中，已知B＝30°，b＝2，c＝2，解这个三角形．[解]由正弦定理，得sinC＝csinBb＝2因为c>b，B＝30°，所以30°<C<180°，于是C＝45°，或C＝135°．(1)当C＝45°时，A＝105°．此时a＝bsinA＝2＝2＝2＝3＋1．(2)当C＝135°时，A＝15°．此时a＝bsinA＝2＝2＝2＝3－1．2．(人教B版必修第四册P10例4)如图所示平面四边形ABCD中，已知B＋D＝180°，AB＝2，BC＝42，CD＝4，AD＝25，求四边形ABCD的面积．[解]连接AC，如图所示．在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcosB，AC2＝AD2＋CD2－2AD×CDcosD．又因为B＋D＝180°，所以cosD＝cos(180°－B)＝－cosB，因此22＋(42)2－2×2×42cosB＝(25)2＋42＋2×25×4cosB．解得cosB＝0，因此cosD＝0，则B＝D＝90°．从而可知四边形的面积为12×2×42＋12×4×25＝4(3．(人教A版必修第二册P53习题6.4第8题)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．[解]由题意，∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，∴∠CBD＝π－α－β，∴在△BCD中，由正弦定理得，BCsin∠CDB＝∴BCsinβ＝ssin解得BC＝s·∵在点C测得塔顶A的仰角为θ，∴∠ACB＝θ，∴AB＝BCtanθ＝s·∴塔高AB为s·4．(人教A版必修第二册P54习题6.4第22题)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0．(1)求A；(2)若a＝2，则△ABC的面积为3，求b，c．[解](1)由题设及正弦定理得，sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB＋sinC，即sinAcosC＋3sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，所以sinAcosC＋3sinAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinC．整理得3sinA－cosA＝1，即sin(A－30°)＝12所以A－30°＝30°或A－30°＝150°(舍去)，即A＝60°．(2)由A＝60°，S＝12bcsinA＝3，得bc由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，又bc＝4，a＝2，所以b＋c＝4，所以b＝c＝2．5．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC＝()A．1 B．2C．5 D．3D[法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D．法二：由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得sinC＝5719，从而cosC＝41919(C是锐角)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝32×又ACsinB＝BCsinA6．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，则∠C＝()A．π6 B．C．2π3 B[因为(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，则a2＋b2－c2＝ab，故cosC＝a2+b2-又0<C<π，所以C＝π37．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．22[由题意得S△ABC＝12acsinB＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×12＝8，则b8．(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________；cos∠MAC＝________．21323913[法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos∠B＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝A法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D(图略)，则BD＝4，AD＝2，CD＝43．所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝213．在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2+AM2-M9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB．(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．[解]法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sinA-π4＝sin展开并整理得2(sinA－cosA)＝22(cosA＋sinA得sinA＝3cosA，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sinA＝310(2)由正弦定理BCsinA＝得BC＝ABsinC·sinA＝522由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，得52＝AC2＋(35)2－2AC·35cosπ4整理得AC2－310AC＋20＝0，解得AC＝10或AC＝210．由(1)得，tanA＝3＞3，所以π3＜A＜π又A＋B＝3π4，所以B＞即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝210．设AB边上的高为h，则12×AB×h＝12×AC×BCsin即5h＝210×35×22解得h＝6，所以AB边上的高为6．法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3tanπ4又sinA＞0，所以sinA＝310(2)由(1)知sinA＝31010，tan所以A为锐角，所以cosA＝1010所以sinB＝sin3π4-A＝22(cosA＋sinA)＝22由正弦定理ACsinB＝得AC＝AB·sinBsinC故AB边上的高为AC·sinA＝210×31010．(2021·北京卷)已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝2π(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC＝33[解](1)由正弦定理bsinB＝csinC，得sinC＝2sinBcosB＝sin2B，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π．故B＝(2)由(1)知，c＝3b，故不能选①．选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故周长为(4＋23)x＝4＋23，解得x＝1．从而BC＝AC＝2，AB＝23，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理的推论得，cosB＝AB2+BD2解得AD＝7．选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故S△ABC＝12·(2x)·(2解得x＝32，即BC＝AC＝3，AB＝3，设BC中点为D，则在△ABDcosB＝AB2+BD2解得AD＝21211．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1．(1)若∠ADC＝π3，求tanB(2)若b2＋c2＝8，求b，c．[解](1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2×12×AD×DCsin∠ADC＝2×12×1×DC×32解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4．因为∠ADC＝π3，所以∠ADB＝2在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝7．在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·D