高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第2课时导数与函数的单调性学案

第2课时导数与函数的单调性[考试要求]1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．考点一利用导数求函数的单调区间1．利用导数求函数的单调区间(不含参数)(1)对于可导函数y＝f(x)，不等式f′(x)>0的解集(区间)为函数y＝f(x)的单调递增区间；不等式f′(x)<0的解集(区间)为函数y＝f(x)的单调递减区间．(2)求函数单调区间的步骤①求函数的定义域；②在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；③将不等式的解集写成区间的形式．2．由函数的单调区间求参数值(1)确定函数的定义域；(2)求出导数f′(x)；(3)已知条件给出的单调区间对应不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集；(4)将不等式的解集转化为相应方程的实数根，求出参数值．[常用结论]1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．[典例1](1)若函数f(x)＝lnx+1ex，则函数(2)已知g(x)＝2x＋lnx－ax，若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a(1)(1，＋∞)[因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝1x令φ(x)＝1x－lnx－1，x∈(0，＋∞则φ′(x)＝－1x2－φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即函数f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．](2)[解]∵g(x)＝2x＋lnx－ax(x∴g′(x)＝2＋1x＋ax2∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x＋a∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2]．在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，∴a≥－3．∴实数a的取值范围是[－3，＋∞)．本例(1)求函数单调区间，先确定函数f(x)的定义域，再求出f′(x)，根据f′(x)<0求出单调递减区间；本例(2)可导函数g(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为g′(x)≥0对x∈[1，2]恒成立问题，再分参为a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2]，要注意“＝”是否取到．跟进训练1(1)若函数g(x)＝lnx＋12x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数bA．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(－∞，3) D．(－∞，3](2)函数f(x)＝x2(1)B(2)(－∞，0)和2ln2，+∞[(1)函数g(x)＝lnx＋12x2－(b－1)x的定义域为(0，＋∞)，且其导数为g′(x)＝1由g(x)存在单调递减区间知g′(x)<0在(0，＋∞)上有解，即1x＋x－(b因为函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＋1x≥2．要使1x＋x－(b－1)<0有解，只需要1x＋x的最小值小于b－1，所以2<b－1，即b>3，所以实数故选B．(2)∵f(x)＝x2∴f′(x)＝2x·2x令f′(x)<0，得x<0或x>2ln∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和2ln考点二利用导数讨论或证明函数的单调性1．函数f(x)在区间D上单调递增(减)⇔∀x∈D，f′(x)≥0(≤0)恒成立(f′(x)不恒为0)．2．f(x)的单调性对应f′(x)的正负．3．利用导数判断单调性的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．提醒：如果函数解析式中含有参数，讨论单调性时，一般要对参数分类讨论，分类的标准是难点和重点，最后按参数取值由小到大的顺序写出总结性的陈述结论．[典例2]已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x．讨论f(x)的单调性．[解]因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1，当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f所以f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，当x<－lna时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，－lna)上单调递减；当x>－lna时，f′(x)>0，则f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．如本例对于含参数的函数的单调性，求导后考虑f′(x)＝0是否有实数根；当a≤0时没有实根，函数在定义域内恒单调递减；当a>0时存在实根，根据f′(x)>0时求出单调递增区间，f′(x)<0求出单调递减区间．跟进训练2已知函数f(x)＝lnx＋12ax2＋(a＋1)x，a∈R．讨论函数f(x[解]函数f(x)＝lnx＋12ax2＋(a＋1)x的定义域为(0，＋∞所以f′(x)＝1x＋ax＋a＋1＝ax2①当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<0时，令f′(x)<0，得x>－1a令f′(x)>0，得0<x<－1a所以f(x)在-1a，综上，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在-1a，考点三函数单调性的应用1．利用导数解不等式利用导数解不等式的关键，是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后使用导数．同时根据奇偶性变换不等式为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围．2．利用导数比较大小(1)若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，根据单调性比较大小．(2)若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小．3．常用的构造函数的方法(1)利用f(x)与x构造①出现f(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xf(x)．②出现xf′(x)－f(x)形式，构造函数F(x)＝fx(2)利用f(x)与ex构造①出现f′(x)＋f(x)形式，构造函数F(x)＝exf(x)．②出现f′(x)－f(x)形式，构造函数F(x)＝fx[典例3](1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(x)＋xf′(x)>0(f′(x)是f(x)的导函数)，则不等式(x－1)f(x2－1)<f(x＋1)的解集为()A．(－∞，2) B．(1，＋∞)C．(1，2) D．(－1，2)(2)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式f'(1)C(2)(－3，－1)∪(0，1)[(1)令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又x＋1>0，则(x－1)f(x2－1)<f(x＋1)等价于(x2－1)f(x2－1)<(x＋1)f(x＋1)，即g(x2－1)<g(x＋1)，所以x2-1>0，(2)依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x)在区间(－3，－1)，(1，3)上单调递减，f′(x)<0；f(x)在区间(－1，0)，(0，1)上单调递增，f′(x)>0．所以f'xx故答案为：(－3，－1)∪(0，1)．]如本例(1)构造辅助函数g(x)＝xf(x)，然后利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．跟进训练3(1)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)＞0，其中f′(x)为f(x)的导函数，设a＝f(0)，b＝2f(ln2)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是()A．c＞b＞a B．a＞b＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a(2)若a＝1e，b＝ln22，c＝ln33，则aA．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．a>b>c(1)A(2)A[(1)令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0，所以函数g(x)在定义域R上单调递增，从而g(0)＜g(ln2)＜g(1)，得f(0)＜2f(ln2)＜ef(1)，即a＜b＜c．故选A．(2)a＝lnee，b＝ln2设f(x)＝lnxx(则f′(x)＝1-ln当0<x<e时，则f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>e时，则f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(e)>f(3)>f(4)，即a>c>b．故选A．]课后习题(十五)导数与函数的单调性1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()ABCDC[由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．]2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减 B．先减后增C．单调递增 D．单调递减D[因为f′(x)＝－sinx－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上单调递减，故选D．]3．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT3改编)已知函数f(x)＝(x-2)ex，(－∞，1)(或填(－∞，1])[当x<0时，f(x)＝－x－2，则f(x)在(－∞，0)上单调递减．当x≥0时，f(x)＝(x－2)ex，则f'(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x4．(人教A版选择性必修第二册P87例3改编)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是________．3[令f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3．]5．已知函数f(x)＝x2＋2cosx．若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是()ABCDA[设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．故选A．]6．(2024·江苏扬州中学月考)已知函数f(x)＝ax－sinx(a∈R)，则“a＝1”是“f(x)在区间π2，+∞A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件B[当a＝1时，f(x)＝x－sinx，f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)在R上单调递增，故充分性成立；当f(x)在π2∴f′(x)＝a－cosx≥0，即a≥cos所以“a＝1”是“f(x)在区间π2，+∞上单调递增故选B．]7．(2024·重庆名校联考)若曲线f(x)＝(ax－1)ex-2在点(2，f(2))处的切线过点(3，3)，则函数f(x)的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)A[由题意，得f(2)＝(2a－1)e0＝2a－1，f′(x)＝aex-2＋(ax－1)ex-2＝(ax＋a－1)ex-2，∴f′(2)＝3a－1，∴3-2a-13-2＝3a－1，得∴f(x)＝(x－1)ex-2，f′(x)＝xex-2．∵x＞0时，f′(x)＞0，∴f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．故选A．]8．已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．b<a<cD[因为f(x)为奇函数且在R上是减函数，所以f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，f(x)<0．因为g(x)＝xf(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，故g(x)为偶函数．当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)<0，f′(x)<0，所以g′(x)<0．即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，因为3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，所以g(3)<g(log25.1)<g(20.8)，即b<a<c．故选D．]9．(多选)(2024·浙江温州模拟)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则g(x)＝exA．在区间(0，1)上单调递增B．在区间(1，4)上单调递减C．在区间1，D．在区间43AC[当x＝0或x＝2时，f(x)＝0，则函数g(x)＝exfx的定义域为(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)，排除选项B，D；g′(x)＝exfx-f'xf2x，由图易得当x∈(0，1)时，f(x)>f′(x)，即g′(x)＝exfx-f'即g′(x)＝ex所以函数g(x)＝exfx10．(2024·广东东莞模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意x∈R都有f′(x)>2，f(2)＝0，则不等式f(x)－2x＋4>0的解集为()A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，2)A[令g(x)＝f(x)－2x＋4，则g′(x)＝f′(x)－2>0，所以g(x)在R上单调递增，又g(2)＝f(2)－2×2＋4＝0，则不等式f(x)－2x＋4>0等价于g(x)>g(2)，所以x>2，故选A．]11．(多选)(2023·辽宁锦州统考二模)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，当x≥0时