高三数学一轮复习第二章函数第3课时函数的奇偶性、周期性与对称性学案

第3课时函数的奇偶性、周期性与对称性[考试要求]1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性．2．会依据函数的性质进行简单的应用．3．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．4．会利用对称公式解决问题．考点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称提醒：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑函数定义域．[典例1](1)下列函数中，是偶函数的是()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝1 D．f(x)＝x(2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln2x-12A．－1 B．0C．12 (3)(2024·广州阶段练习)函数f(x)＝x1ABCD(1)C(2)B(3)C[(1)对于A，函数f(x)＝x3的定义域为R，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，f(x)不是偶函数，A不正确；对于B，函数f(x)＝|x－1|的定义域为R，f(－x)＝|－x－1|＝|x＋1|≠f(x)，f(x)不是偶函数，B不正确；对于C，函数f(x)＝1的定义域为R，f(－x)＝1＝f(x)，f(x)是偶函数，C正确；对于D，函数f(x)＝xx2+f(－x)＝-x-x2+1＝－f(x)，故选C．(2)由2x-12x+1＞0，得x＞1由f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，得(－x＋a)ln-2x-1-2x+1又(－x＋a)ln2x+12x-1＝(－x所以(x－a)ln2x-12x+1＝(x所以x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0．故选B．(3)f(x)＝x1-x2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)又f(－x)＝-x1-x2＝－f(x)，则f(x)为奇函数，排除选项A；而f12＝121-122＝23本例(1)判断函数的奇偶性，首先考虑函数f(x)的定义域是否关于原点对称，其次再根据f(－x)与f(x)关系来判断；本例(2)借助偶函数f(x)＝f(－x)来解决；本例(3)中，在考虑函数的定义域、值域和奇偶性等函数的性质的前提下，还应考虑函数的特殊值，利用排除法选出正确选项．跟进训练1(1)(2023·广州二模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝12x B．y＝|x|－C．y＝|x|－1 D．y＝x－1(2)(2020·天津卷)函数y＝4xABCD(3)(2020·江苏卷)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x23，则(1)C(2)A(3)－4[(1)对A：易知y＝12x是偶函数，且在(0，＋对B：易知y＝|x|－x2是偶函数，当x>0时，y＝x－x2，其在0，12单调递增，在对C：易知y＝|x|－1是偶函数，当x>0时，y＝x－1单调递增，故正确；对D：易知y＝x－1x故选C．(2)法一：令f(x)＝4xx2+1，显然f(－x)＝－f(x)，f法二：令f(x)＝4xx2+1(3)f(8)＝823＝4，因为f(所以f(－8)＝－f(8)＝－4，故答案为－4．]考点二函数的周期性1．周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)f(x＋a)＝－1fx(f(x)≠0)，则函数的周期为2[典例2](1)若函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(x)可以是()A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝|x－2|C．f(x)＝sinπ2x D．f(x(2)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f12＝14，则f112(1)D(2)14[(1)因为f(x＋2)＝f(x所以函数的周期为2．A：因为f(1)＝0，f(3)＝4，所以f(1)≠f(3)，因此函数的周期不可能为2，本选项不符合题意；B：因为f(2)＝0，f(4)＝2，所以f(2)≠f(4)，因此函数的周期不可能为2，本选项不符合题意；C：该函数的最小正周期T＝2ππ2D：该函数的最小正周期T＝ππ(2)因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又f(x)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(2－x)，所以f(x)是周期为2的函数，则f112＝f112-6＝f-12故答案为14本例(1)解决的关键是抓住f(x＋2)＝f(x)这个条件，一一验证即可；本例(2)根据f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)；再结合f(x)＝f(2－x)得出f(x)是周期为2的函数．跟进训练2已知f(x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(－7)＝()A．－1 B．0C．1 D．2C[∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，得a＝1，∴当x∈0，1时，f(x)＝log2(x＋1)，∀x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(－7)＝f(－7＋8)＝f(1)＝1．故选C．]考点三函数的对称性[常用结论](1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a+b2对(3)f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点a+b2(4)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．[典例3](1)(2024·邢台阶段练习)已知f(2－x)＝f(x＋2)，且f(x)在(0，2)上单调递减，则f(1)，f52，f7A．f52<f(1)<fB．f(1)<f52<fC．f72<f(1)<fD．f72<f52<(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＝－f(1＋x)，则下列说法正确的是()A．f32＝－fB．函数f(x)的一个周期为2C．f(2023)＝0D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称(1)A(2)C[(1)因为f(2－x)＝f(x＋2)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f52＝f32，f72＝因为f(x)在(0，2)上单调递减，所以f32＝f52<f(1)<f12＝故选A．(2)因为f(1－x)＝－f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，因此选项D不正确；又因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，由f(1－x)＝－f(1＋x)⇒f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以选项B不正确；因为函数f(x)是周期为4的偶函数，所以f32＝f-52＝在f(1－x)＝－f(1＋x)中，令x＝0，得f(1)＝0，因为函数f(x)的周期为4，所以f(2023)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，因此选项C正确，故选C．](1)函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)(a>0)，若f(x)为奇函数，则其周期为T＝4a．若f(x)为偶函数，则其周期为T＝2a．(2)函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和x＝b(a<b)都对称，则函数f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数；(3)函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于两点A(a，y0)、B(b，y0)(a<b)都对称，则函数f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数；(4)函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于A(a，y0)和直线x＝b(a<b)都对称，则函数f(x)是以4(b－a)为周期的周期函数．如在本例(2)中，应用上述技巧(4)可快速确定函数周期．跟进训练3(1)已知二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(a)<f(0)<f(1)，则实数a的取值范围是()A．(0，2) B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(2，＋∞)(2)(多选)(2024·南平阶段练习)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则()A．f(x)关于y轴对称B．f(x)有一条对称轴x＝1C．f(x)是周期函数D．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝2(1)C(2)BCD[(1)由已知，二次函数f(x)对称轴为x＝2，所以有f(0)＝f(4)．又f(0)<f(1)，所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．当a<2时，由f(a)<f(0)，以及f(x)在(－∞，2)上单调递增，可得a<0；当a≥2时，由f(a)<f(0)＝f(4)，可得f(a)<f(4)，又f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以a>4．所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选C．(2)∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1)＝2≠0，可知函数f(x)不可能同时为偶函数，故A错误；∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)有一条对称轴x＝1，故B正确；由f(1－x)＝f(1＋x)将x换成x＋1得到f(－x)＝f(2＋x)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的周期为4，故C正确；∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0．∵f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故D正确．故选BCD．]课后习题(七)函数的奇偶性、周期性与对称性1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)给定四个函数，其中是奇函数的有()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x|x|C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝xABD[A：f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)且定义域为R，所以f(x)是奇函数；B：f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)且定义域为R，所以f(x)是奇函数；C：f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数；D：f(－x)＝-x2+1-x＝－x2+1x＝－f(x)且定义域为(－∞，0)故选ABD．]2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x，则f(2023)＝()A．－2 B．－98C．2 D．98C[因为f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一个周期，f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝f(1)＝21＝2，故选C．]3．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．(－2，0)∪(2，5][由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．]4．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f(x)＝x4－2x，则函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为________．f(x)＝－x4－2x[因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，设x<0，有－x>0，则f(－x)＝(－x)4－2(－x)＝x4＋2x，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝-x4－2则f(x)＝－x4－2x．故答案为f(x)＝－x4－2x．]5．(2024·江西上饶高三校考阶段练习)函数f(x)＝x2log42+xABCDD[因为2+x2-x>0，即(x＋2)·(x所以函数f(x)＝x2log42+x2-x的定义域为(－2，2)，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)2log42-x2+x＝－f(当x∈(0，2)时，2+x2-x>1，即log因此f(x)>0，故排除A．故选D．]6．(2024·禹州市高级中学校考阶段练习)已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f12＝0，则不等式f(log4xA．{x|x>2}B．xC．xD．xC[依题意，不等式f(log4x)>0⇔f(|log4x|)>f12又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|log4x|>12即log4x<－12或log4x>1解得0<x<12或x故选C．]7．已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则f(3－2x)>f(1)的解集是()A．(－1，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，2) D．(1，2)D[由偶函数的对称性知：f(x)在(－∞，0]上单调递增，则在(0，＋∞)上单调递减，所以|3－2x|<1，故－1<3－2x<1，可得1<x<2，所以不等式解集为(1，2)．故选D．]8．(2024·江西宜春高三校考)定义在R上的不恒为零的偶函数f(x)满足xf(x＋2)＝(x＋2)f(x)，且f(2)＝4．则f2kA．30 B．60C．90 D．120D[由题意可知，fx+2x+2＝则f22＝f44＝f6所以f(2)＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝2(2＋4＋6＋8＋10)＝60，因为函数f(x)为偶函数，所以f(－2)＋f(－4)＋f(－6)＋f(－8)＋f(－10)＝60，则f2k故选D．]9．(2024·四川绵阳统考模拟预测)设函数f(x)在定义域R上满足f(－x)＋f(x)＝0，若f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(－1)＝0，则不等式f(ex)<0的解集为()A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－1，0) D．1A[∵f(－x)＋f(x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，故函数f(x)在定义域R上是奇函数，若f(x)在(－∞，0)上单调递减，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵ex>0，且f(1)＝－f(－1)＝0，若f(ex)<0，则ex>1，解得x>0