2021年中考数学 三轮冲刺：全等三角形（含答案）

2021中考数学三轮冲刺专题：全等三角形

一、选择题

1.下列各图中a,b,c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC

全等的是

A.甲和乙D.只有

丙

2.如图，已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC之△AEO的是

)

A.4B=4EB.ZBAD=ZEACC.ZBAC=ZEADD.BC=ED

3.如图，ABLCD,KAB=CD.E,厂是A。上两点，CE±AD,BF±AD.^CE=a,

BF=b,EF=c,则AO的长为()

A.a+cD.a+b-c

4.如图所示，在△ABC和△A50中，ZC=Z£>=90°,要利用“HL”判定RtAA3c

会Rt^ABO成立，还需要添加的条件是（）

A.ZBAC=ZBADB.BC=BD或AC=ADC.ZABC=ZABD

D.AC=BD

5.如图，BE±AC,CF±AB,垂足分别是£,F.若BE=CF,则图中全等三角形

有()

A.1对B.2对

6.如图，在直角坐标系中，是RtAOAB的角平分线，点。的坐标是(0,-3),

那么点。到AB的距离是

A.3B.-3D.-2

7.如图所示，已知△ABC四△AOE,的延长线交OE于点凡ZB=ZD=25°,

ZACB=ZAED=105°,ZDAC=10°,则尸8的度数为（）

A.40°B.50°C.55°D.60°

8.现已知线段a,b(a<b),ZMON=90°,求作Rt^AB。，使得NO=90。，OA=a,

小惠和小雷的作法分别如下：

小惠:①以点。为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为

圆心、线段匕的长为半径画弧，交射线OM于点B,连接AB,ZXAB。即为所求.

小雷:①以点。为圆心、线段。的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点。为

圆心、线段人的长为半径画弧，交射线OM于点B,连接AB,△ABO即为所求.

则下列说法中正确的是()

A.小惠的作法正确，小雷的作法错误

B.小雷的作法正确，小惠的作法错误

C.两人的作法都正确

D.两人的作法都错误

二、填空题

9.如图，在△ABC中，AD1BC,CE1AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于

点H,请你添加一个适当条件：_______，使AAEH丝ZSCEB.

10.如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,连接BD.请添加一个适当的条件:

，使得△ABD丝4CDB.（只需写出一个）

11.如图，已知在△ABC和△OEF中，NB=NE,BF=CE,点B,F,C,E在同

一条直线上，若使△ABC之△OEF,则还需添加的一个条件是（只填一

个即可）.

12.如图，四边形A8CO的对角线AC,8。相交于点0,有下列

结论:①②CB=CD;③△A3C且△AOC;④0A=OC.其中所有正确结论的序

号是.

13.如图，点。在△ABC的内部，且到三边的距离相等.若/8OC=130。，则NA

A

14.如图，在△ABC中，ZACB=120°,BC=4,。为A3的中点，DCLBC,则^ABC

的面积是.

15.如图，△ABC的两条外角平分线BP,CP相交于点P,PELAC交AC的延长

线于点£若△A3C的周长为11,PE=2,S&BPC=2,则S»BC=.

16.如图，ZC=90°,AC=10,BC=5,AX1AC,点P和点Q是线段AC与射

线AX上的两个动点，且AB=PQ,当AP=时，△ABC与AAP。全等.

三、解答题

17.（2019•泸州）如图，AB//CD,AO和相交于点。，OA=OD.求证:

18.如图，O是线段AB的中点，OD〃BC且OD=BC.

⑴求证：△AOD^AOBC；

(2)若NADO=35。，求NDOC的度数.

19.(2019•黄石)如图，在△ABC中，NBAC=90。，E为边8。上的点，且=

。为线段BE的中点，过点E作过点A作AF〃BC,且AE、EF相交

于点F.

(1)求证：NC=NBAD；

(2)求证：AC=EF.

20.如图，在菱形A5CO中，AB=5,sinZABD=^~,点P是射线8C上一点,

连接AP交菱形对角线BD于点E,连接EC.

⑴求证：4ABE冬ACBE；

(2)如图①，当点尸在线段上时，且3P=2,求的面积；

(3)如图②，当点尸在线段的延长线上时，若CELEP,求线段8P的长.

BPCBCP

图①图②

21.如图，A,8两点分别在射线OM,ON上，点C在NMON的内部且C4=CB,

CDLOM,CELON,垂足分别为。，E,且

(1)求证：0C平分NMON；

(2)如果AO=10,80=4,求。。的长.

22.已知，如图，ZSACB和AECD都是等腰直角三角形，NACB=NECD=90。,

D为AB边上一点.

⑴求证：△ACE^ABCD；

(2)求证：2CD2=AD2+DB2.

23.AABC和是两个全等的等腰直角三角形，NBAC=NEDF=9U°,△

OEF的顶点£与△ABC的斜边的中点重合.将△£)£：厂绕点E旋转，旋转过

程中，线段OE与线段相交于点P,线段EE与射线CA相交于点。

(1)如图①，当点。在线段AC上，且AP=A。时，求证：

△BPE24CQE；

⑵如图②，当点Q在线段C4的延长线上时，

①求证：ABPEsACEQ；

②当3P=2,CQ=9时，求3C的长.

图①图②

24.已知正方形ABC。中，点E在BC上，连接AE,过点8作BFL4E于点G,

交CD于点F.

(1)如图①，连接AF,若AB=4,BE=\,求证：ABCF咨LABE；

(2)如图②，连接8。，交AE于点、N,连接AC,分别交80、BF于点0、M,连

接GO,求证：G。平分NAGF；

(3)如图③，在第(2)间的条件下，连接CG,若CG_LGO,AG=nCG,求〃的值.

图①

2021中考数学三轮冲刺专题：全等三角形■■答案

一、选择题

1.【答案】B［解析］依据SAS全等判定可得乙三角形与△ABC全等;依据AAS全

等判定可得丙三角形与△ABC全等，不能判定甲三角形与△ABC全等.故选B.

2.【答案】A［解析］•.•AB=AE,AC=AD,.•.当N8AO=NEAC或

时，依据SAS即可得到^ABC四△AED;

当BC=ED时，依据SSS即可得到^ABC^AAED;

当时，不能判定△ABCg/VIED

3.【答案】D［解析「.四台，。。，CE±AD,BF±AD,

：.ZCED=ZAFB=90°,/A=NC,

XVAB=CD,:.XCED/4AFB,

：.AF=CE=a,DE=BF=h,DF=DE-EF=b-c,

：.AD=AF+DF=a+b-c,故选D.

4.【答案】B［解析］要添加的条件为BC=BD或AC=AD理曲若添加的条件为

BC=BD,

工、一(BC=BD,

在Rt^ABC和RtZAXABO中t，|

{AB=AB,

.：RtZ\A3%RtZ\ABO(HL);

若添加的条件为AC=AD,

(AC=AD,

在RtAABC和Rt/XABD中u，\

UB=AB,

:.RtA/lBC^RtA^BD(HL).

5.【答案】C［解析］①•；BE_LAC,CF1AB,

，ZCFB=ZBEC=90°.

CF=BE,

在RtABCF和RtACBE中，1

［BC=CB,

ARtABCF/RSCBE(HL).

(DVBEIAC,CF_LAB,.,.NAFC=NAEB=90°.在△ABE和△ACF中,

jZAEB=ZAFC,

5ZA=ZA,AAABE^AACF(AAS).

IBE=CF,

③设BE与CF相交于点O.

VBE±AC,CF±AB,

.••ZOFB=ZOEC=90°.

VAABE^AACF,，AB=AC,AE=AF.

，BF=CE.

rZOFB=ZOEC,

在ABOF和ACOE中，5ZBOF=ZCOE,

IBF=CE,

ABOF^ACOE(AAS).

6.【答案】A［解析］如图，过点D作DELAB于点E.

丁点。的坐标是(0,-3),

•：OD=3.

'.'AD是△Q4B的角平分线,

.：ED=OD=3,

即点。到AB的距离是3.

7.【答案】D［解析］因为△ABCgZXAOE,ZB=ZD=25°,ZACB=ZAED=\05°,

所以NCAB=NE4D=

180o-105°-25o=50°.所以NDAB=ZCAB+ZDAC=60°.由图易得NDFB=Z

0AB=60°.

8.【答案】A［解析］A3是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷

作的是一条直角边长是尻故小惠的作法正确，小雷的作法错误.

二、填空题

9.【答案】AH=C5（符合要求即可）【解析】VAD±BC,CE±AB,垂足分别

为点D、E,.,.ZBEC=ZAEC=90°,在放aAEH中，ZEAH=90°-ZAHE,

在•△HDC中，ZECB=90°-ZDHC,VZAHE=ZDHC,ZEAH=ZECB,

,根据A4s添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE.可证△AEH^A

CEB.故答案为：AH=CB或EH=EB或AE=CE均可.

10.【答案】答案不唯一，如AB=CD［解析］由已知AB〃CD可以得到一对角

相等，还有BD=DB,根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，

或添加另一个角相等均可.

11.【答案】或NA=NO或NACB=NDFE或AC〃。/［解析］已知条件已

经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全

等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS,或者间接添加可以证明这些结

论的条件即可.

12.【答案】①②③［解析］由△A3。/△A。。，得NAO8=NAOO=90。,

ZBAC=ZDAC.

又因为AC=AC,所以△ABCgzMOC,则CB=CD所以①②③正确.

13.【答案】80［解析］•.•点0到^ABC三边的距离相等，...B0平分NABC,

CO平分NACB.

，ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-2(ZOBC+/OCB)=180。-ZqgOo-

NBOCEO。.

14.【答案】8百［解析］•••OCJL8C,

:.NBCD=90。.

,：ZACB=120°,

：.ZACD=30°.

延长CD到H使DH=CD,

H

•.•。为A3的中点,

:.AD=BD.

DH=CD,

Z.ADH=乙BDC,

{AD=BD,

：.△AO“空△BOC(SAS),

：.AH=BC=4,NH=NBCD=90。.

,/ZACH=30°,

：.CH=yf3AH=4yf3,，CO=2百，

△ABC的面积=2SABCD=2xix4x2\i,，3=8v/3.

15.【答案】7［解析］过点P作PEL8C于点EPGJ_A8于点G,连接AR：'△

ABC的两条外角平分线BP,CP相交于点P,；.PF=PG=PE=2.：&BPC=2,；.

-BC-2=2,解得BC=2.rAABC的周长为11,

2

ZAC+AB=11-2=9.

.^SA4BC=5AACP+SAABP-SABPC=-AC-PE+-T4B-/>G-SABPC=-X9X2-2=7.

222

16.【答案】5或10［解析］TAX_LAC,AZPAQ=90°.AZC=ZPAQ=90°.

分两种情况：①当AP=BC=5时，

AB=QP,

在RtAABC和RtAQPA中，］

［BC=PA,

ARtAABC^RtAQPA(HL)；

②当AP=CA=10时，

AB=PQ,

在RtAABC和RtAPQA中，，

［AC=PA,

Z.RtAABC^RtAPQA(HL).

综上所述，当AP=5或10时，ZkABC与AAPQ全等.

三、解答题

17.【答案】

•:AB//CD,/.ZA=ZD,NB=NC,

NA=N0

在^AOB和△OOC中，,NB=NC,

OA=OD

：.AAOB也△£>OC，

:.OB=OC.

18.【答案】

解：(1)证明：YO是线段AB的中点，

/.AO=OB.

•.•OD〃BC,/.ZAOD=ZOBC.

fAO=OB,

在^AOD与^OBC中，5ZAOD=ZOBC,

[OD=BC,

.,.△AOD^AOBC(SAS).

(2):△AOD丝△OBC,

.,.ZADO=ZOCB=35°,

VODZ/BC,,•.ZDOC=ZOCB=35°.

19.【答案】

(1)如图，

•••AB=AE,二AABE是等腰三角形，

又丁。为BE的中点，/.AD±BE,

在RtAABC和Rt^xDBA中，

:B8为公共角，ZBAC=ZBDA=90°,

:.ZC=ZBAD.

(2)VAF//BC,二/FAF=ZAEB,

VAB=AE,：.ZABE=ZAEB,

:.ZEAF=ZABC,

又•:ZBAC=ZAEF=Z90°,

AC=EF.

20.【答案】

(1)证明：•.•四边形ABC。是菱形，

；.AB=BC,NABE=/CBE.

在ZiABE和△CBE中，AB=BC,ZABE=ZCBE,BE=BE,

：.AABE^ACBE(SAS)；

(2)解：如解图①，连接AC交8。于点O,分别过点A、E作BC的垂线，垂足

分别为点H、F,

解图①

•••四边形A8CO是菱形，

：.ACLBD,

\"AB=5,sinZABD=^~,

：.AO=OC=y[5,

：.BO=OD=2y[5,

：.AC=2yf5,BD=4\[5,

,.•5C-BD=BC-AH,

即3X2小X4小=5AH,

：.AH=4,

'：AD//BC,

：.XAEDs^PEB,

•AE_AD

'"'PE=~BP,

.AE+PEAD+BP

-PE=-BP-'

：.AP=^PE,

：./\EFP^/\AHP,

•EF_PE

,,丽=而’

〜PEPE

'EF=AP•AH=q—

-^PE

iiQ12

:&PEC=qPC•£^=2^(5—2)Xy=—；

(3)解：如解图②，连接AC交3。于点O,

解图②

V^ABE^ACBE,CELPE,

：.ZAEB=ZCEB=45°,

：.AO=OE=y[5,

:.DE=OD-OE=2小一下=4,BE=3y[5.

\'AD//BP,

：.XADEsAPBE,

•AD_DE

,•丽=砺’

.5_V5

「BP—3P

：.BP=15.

21.【答案】

解：(1)证明：VCD±OM,CELON,

.".ZCDA=ZCEB=90°,

CA=CB,

在RtAACD与RtABCE中，，

[AD=BE,

ARtAACD丝RSBCE(HL).

/.CD=CE.

又YCDLOM,CE±ON,，0C平分/MON.

CD=CE,

(2)在RtAODC与RtAOEC中，1

.,.RSODC^RtAOEC.

，OD=OE.

设BE=x.

VB0=4,.\0E=0D=4+x.

AD=BE=x,

••.AO=OD+AD=4+2x=10.

/.x=3.OD=4+3=7.

22.【答案】

«万证明：（口•••△ACB和aECD都是等腰直角三角形，

，CD=CE,AC=BC,ZECD=ZACB=90°,

/.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即NACE=NBCD,（1分）

在4ACE与ABCD中，

EC=DC

NACE=NBCD,（3分）

AC=BC

△ACE❷△BCD（SAS）.（4分）

（2）VAACE^ABCD,

；.AE=BD,ZEAC=ZB=45°,（6分）

，ZEAD=ZEAC+ZCAD=90°,

在7?rAEAD中，ED2=AD2+AE2,

.\ED2=AD2+BD2,（8分）

又ED2=EC2+CD2=2CD2,

.,•2CD2=AD2+DB2.（10分）

23.【答案】

（1）证明：••・△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZB=ZC=45°,

又YAP=AQ,

：.BP=CQ,

•••E是8C的中点，

：.BE=EC.

.•.在△BPE与△CQE中，

BP=CQ

•NB=NC,

BE=CE

.•.△BPE9△CQE（SAS）；

⑵①证明：V