2021-2022学年第一学期高二数学期末试卷答案

南京市秦淮中学2021-2022高二(上)数学期末考试试卷答案

1、不等式的性质

i.下列结论正确的是()

A.若QV/?<0,则B.若a<bv0,则

ab

C.若。>力，则D.若a>b,则/>及

【答案】A

2、复数

2.已知复数一丝为纯虚数，则实数。=()

1-Z

A.4B.3C.2D.1

【答案】c

3、空间向量的坐标运算(向量垂直)

3.若@=(0,1,-1)/=(1,1,0),(汗+砌工£,则实数力的值是()

A.-1B.0C.1D.-2

【答案】D

4双曲线的性质

22

4.若双曲线=-与=1的一条渐近线经过点(3,T),则此双曲线的离心率为()

ah

A.EBT4D-i

C.一

343

【答案】D

5数列基本量运算

5.在公差d不为零的等差数列｛%｝中，4

=17,且。3,a]],%3成等比数列，则」=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

6基本不等式

6.已知x>0,y>0,且9x+y=l,则上+上的最小值是

1y

A.10B.12C.14D.16

【答案】D

7一元二次不等式

7.关于x的不等式or—的解集是(1,+8),则关于x的不等式(ox+b)(x-3)>0的解集是()

A.(-8,-1)U(3,+8)B.(1,3)

C.(-1,3)D.(-8,1)U(3,+8)

【答案】C

8直线与圆锥曲线的综合

22

8.已知斜率为女的直线/与椭圆C:二+）二=1交于A，3两点，线段A8的中点为M（Lm）（m>0）,

43

那么人的取值范围是（）

A.k<--B.--<女<一C.k>—D.k<—,或k>一

222222

【答案】A

9等差数列

9.设｛/｝是等差数列，S,是其前项的和，且Ss<S6，S6=S7>S8,则下列结论正确的是（）

A.d<0B.%=。C.>S5D.§6与S7均为S”的最大值

【答案】ABD

10不等式

10.下列说法不正确的是（）

A.若x,y>0,x+y=2,则2*+2>'的最大值为4

B.若x<,，则函数y=2x+—5—的最大值为一1

22x-1

C.若x,y>0,x+y+孙=3,则W的最小值为1

x2+6

D.函数y=的最小值为4

J/+2

【答案】ACD

11充分条件和必要条件

11.已知命题「：」一>1,则命题成立的一个必要不充分条件是（）

X-1

A.1<x<2B.-l<x<2C.-2<x<1D.-2<x<2

【答案】BD

12椭圆的离心率

22

12.已知椭圆二+5=1的左，右焦点是耳、F2,尸是椭圆上一点，若PK=2PFz，

a~b~

则椭圆的离心率可以是（）

【答案】BCD

13含量词的命题的否定

13.命题“Vx>1,/_2办_1<0”的否定是

14已知数列前n项和，求数列通项

14.若数列｛”“｝的前n项和S“=2"-4,则｛斯｝的通项公式是.

—2,n—\

【答案】a„=\

2n-1,rt>2

15空间图形中两条异面直线所成的角

15.如图，在直三棱柱ABC-AdG中，NAC3=90°,AA=2,4C=8C=1,则异面直线与AC

所成角的余弦值是.

16圆锥曲线的性质

2222

16.已知点耳，尸2为椭圆G：£y+==l（a>匕>0）和双曲线。2：T■—,=1（〃>0，6>0）

的公共焦点，点尸为两曲线的一个交点，且满足/尸/尸2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为/，

11

e2,则f+F=___________.

"6e2

【答案】2

17、复数

17.已知复数4=鼻+（"-3>,Z2=2+（3a+l）i（aeH,i是虚数单位）.

（1）若复数4一Z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围

（2）若虚数4是实系数一元二次方程》2-6》+〃2=0的根，求实数〃?的值.

【答案】（1）-2<a<-l：（2）13.

【解析】

3

（1）由条件得，Z]-Z2=（------2）+（才-3a-4）7

。+2

3

---2>0

因为z「Z2在复平面上对应点落在第一象限，故有JQ+2

。2一3。—4>0

解得-2VaV-1

a<-l,a>4

（2）因为虚数©是实系数一元二次方程Z-6e勿=0的根

一6

所以zi+z.=----=6,即a=-1,

。+2

把a=-1代入，则©=3-2工,=3+2工

所以/〃=©•Z]=13

18、数列

18.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,满足S3=12,且4，々，包成等比数列•

(1)求%及S,；

⑵设超=鸟上，数列也｝的前〃项和为7；,求却

n

【答案】(1)4=2〃；S„=n2+n-,(2)1,=色士等上遇

【解析】

【分析】

(1)先设等差数列｛凡｝的公差为d,根据题中条件列出方程组，求出首项和公差，结合公式即可求出结

果；

(2)先由(1)得到勿=(〃+1>4",再由错位相减法，即可求出结果.

【详解】

(1)设等差数列｛《,｝的公差为d.

因为S3=12,且q,、,％成等比数列,

S3=3%—124+d=4

所以有V[(q+d)2=q(q+3d)'解得4=公2,

所以a“=q+(〃-l)d=2"；S“="(%；"")==2+〃；

，八士，，、-r/,S„-TnH(n+l)-22n/八

(2)由(1)可得Hb“=口----=—；——-----=(n+l)-4"Al,l

nn

因为数列｛〃｝的前〃项和为T“，

23n

所以(=4+b2+b3+...+b„=2-4+3-4+4-4+...+(n+i)-4,

因此，47；=2-42+3-43+4-44+...+(n+l)-4n+,,

两式作差得-37；,=2.4+42+43+4'+...+4"-(〃+1).4”“，

整理得(二”芳士.

19、一元二次不等式

19.已知不等式f+〃比>4X+〃?-4

(1)VxeR,,不等式恒成立，求机的范围；

(2)Vx>l,不等式恒成立，求机的范围；

【答案】(1)we(0,4)；(2)加G(0,+8).

【解析】

【分析】

(1)不等式转化为二次不等式，利用判别式小于0,即可判断不等式恒成立，求机范围；

(2)通过对一切％>1的实数不等式恒成立，判断对称轴的位置，以及/(D的值，即可求加范围.

【详解】

（1）不等式+必;>4x+/77-4，转化为：不等式f+/7ZX-4X—加+4>0，

所以△=（，〃-4）2—4（4—加）<0,

解得：we（0,4）.

（2）不等式f+7nx>4X+〃?-4，转化为不等式f+〃比一4%-加+4>0

令f（x）=x2+/wc-4x-m+4,对一切x>1的实数不等式恒成立，

4-m]

转化为：2

/（D..0

4-777]

所以，2“।或（加一4）2+4（"-4）<0,解得：m>0.

1..0

所以加G（0,+0O）.

20、立体几何（模仿全国高考一证一求角）

20.四棱锥P—ABCD中，24,面ABC。,底面A8CD为菱形，且有AB=1，AP=血，/区4。=12（）。,

E为PC中点.

（1）证明：4。，面8£。；

（2）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）二面角E-A8-C的平面角的余弦值为*

11

【解析】

【分析】

（1）因为菱形的对角线互相垂直，所以再由的中位线，得到EO//PA,结合A4J_面

ABCD,所以EO_L面A8CD,从而ACLEO.最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到4。_1面

BED；

（2）以A为原点，A。、AP所在直线分别为丁轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得到A、B、C、

E各点的坐标，从而得到向量而、AC，衣的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出

平面A破和平面ABC的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值.最后根据题

意，二面角E-AB-C是锐二面角，得到二面角平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝

对值.

【详解】

解：（1）设。为底面A3CD的中心，连接EO,

•.•底面438为菱形，.1AC，8。

QAR4C中，E、。分别是尸C、Q4的中点

:.EO//PA

又♦.24_1面488,

：.EO上面ABCD

ACu面ABCO,..AC_LEO

又QB。、E。是平面BED内的两条相交直线

..AC_L面3即

(2)以A为原点，A。、AP所在直线分别为了轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得

4/八八八\1c、「邓1八、1近、

4。,0,0),B(———,0),C(——,0),E(——,—,—-)

2222442

—Ji1―JiIJ?—.x/31

=-)MC=(--,—,0)

2244222

u

设勺=(%,%:])是平面A5E一个法向量

曲

史

7

所以取』=i,y=JL入=-号,

因为尸4，平面ABC,所以向量内即为平面ABC的一个法向量,设百=或=(0,0,应)

cos<n,n>=鳖

]214ii&i

根据题意可知：二面角E-43-C是锐二面角，其余弦值等于卜。$8，巧〉|=答

二面角E-AB-C的平面角的余弦值为叵.

11

21、直线和抛物线

21.在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：尸2Px(p>0)的焦点为F,过F垂直于x轴的直线与C相交

于A、B两点，△AOB的面积为2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过尸(--1,0)的直线与C相交于M,N两点，且两=2而，求直线/的方程.

【答案】(1)/=4x(2)了=手(》+1)或3，=一手(、+1).

【解析】

【分析】

(1)先得出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，求出交点4、8的坐标，可求出|A8|,

然后利用三角形的面积公式可求出p的值，即可求出抛物线的方程；

(2)设直线/的方程为x=my-1,设点》)、N5,丫2),将直线/的方程与抛物线C的方程联立,

并列出韦达定理，由两=2而得出》=2»,并将此关系式代入韦达定理，可求出〃?的值，即可得出直

线/的方程.

【详解】

(1)易知直线AB的方程为％=当，将该直线方程代入抛物线C的方程得：/=2p.^=p2,

[y»P)、yPj»S.\AB\—2p,

AAOB的面积为S«AOB=g•孑•2p==2,解得p=2.

因此，抛物线C的方程为炉=4x；

x=my-1

(2)设直线MN的方程为〈，-，设点M(为，％)、N(M,”)，y2-4my+4=0

y=4x

△=16"9-16>0,解得机V-l或m>1.

PM=(xt+l,y),丽=(%+l,%)，'-'PM=2PN<.,•VI=2J2,

c2c,4/”、232m2,但30

%%=2)：=2x(7)-=—^―=4,得根=±^—，

因此，直线/的方程为x=±还>一1，即y=2叵(x+1)或"一^^尤+1).

4-3

22、圆锥曲线的综合

22.已知点"是圆"：(x+2jlf+y2=36上的一动点，点工(2/,0),点P在线段上，且满足

(PM+PF\)-MF^=0.

(1)求点。的轨迹。的方程；

(2)设曲线c与％轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为点A,B,斜率为g的动直线/交曲线c

于。、E两点,其中点£)在第一象限，求四边形AD6E面积的最大值.

2

【答案】(1)—+/=1；(2)3vL

9

【解析】

【分析】

(1)由向量的数量积的运算，可得=化简得仍用+|也|=6>|他|=4鱼，利用椭圆的定

义，即可求得动点的轨迹方程.

(2)设直线/的方程为y=gx+，〃，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，求得

%+%2，%俨2和。同，在利用点到直线的距离公式，求得点A到直线OE的距离4和点B到直线QE的

距离为4