2021-2022学年湖南省邵阳市楚才某中学高二数学文测试题含解析

2021-2022学年湖南省邵阳市楚才高级中学高二数学文

测试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.“_=4”是“x=2”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

参考答案：

2.如图，正方形演⑵中，点后是3c的中点，点夕是的一个三等分点.那么

而=()

-AB+-AD

A.2342

+-AB--AD

C.32D.23

参考答案：

D

3.已知“X)是定义在R上的函数，"1)=10,且对于任意五e火都有

/(x+20)>/(x)+20,+若ga)=/(/+l-冗则g(10)=()

A.19B.20C.9D.10

参考答案:

D

4.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1

人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）

A.14B.16C.

20D.48

参考答案：

B

略

5.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试

相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）

A.0.42B.0.28C.0.18D.0.12

参考答案：

D

【分析】

根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解。

【详解】由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为Q6,0.7,则甲、乙考试未达到优秀的

概率分别为0.4,0.3,

由于两人考试相互独立，所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为：04x03=0.12

故答案选D

【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查对独立事件的理解和掌握程

度，属于基础题。

Z+1_j

6.已知复数Z满足1T-，则复数z的虚数为（）

A.TBic.1D.-1

参考答案：

C

z=i(l-O-l=i,其虚部为1。故选C。

7.命题夕：若诉R,则IH+PI”是k+N>的l充分而不必要条件;

命题明函数”加一卜2的定义域是田),则----------------------

()

工、“户或。”为假;B、“中且9”为真；

c、“2或？”为真；口、“P且r£”为真

参考答案:

C

8.E,F是等腰直角AABC斜边AB上的三等分点，则tanZECF=()

162V33

A.27B.3C.D.4

参考答案：

D

【考点】余弦定理.

【专题】计算题.

【分析】约定AB=6,AC=BC=372,先在AAEC中用余弦定理求得EC,进而在4ECF中利用

余弦定理求得cosECF,进而用同角三角函数基本关系求得答案.

【解答】解：约定AB=6,AC=BC=3A巧，

A，2+AE2-CE272

由余弦定理可知cos45°=2AoAE=2；

解得CE=CF=V10,

EC?+CF2-即24

再由余弦定理得cosNECF=2CE*CF=5,

【点评】考查三角函数的计算、解析化应用意识.

9.3—3y）9的展开式中各项的二项式系数之和为（）

A.-1B.512C.-512D.1

参考答案：

B

【分析】

（a+.展开式中所有项的二项系数和为2"

【详解】•展开式中所有项的二项系数和为211.

3一3中）。的展开式中各项的二项式系数之和为炉=512

故答案选B

【点睛】本题考查了二项系数和，属于基础题型.

10雁=、卜+*必M,R=豆+瓦石（a20）,则有（）

A.m<nB.m=nC.m>nD.不能确定

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.若直线工一y+1=0与圆（x-a）2+1/=2有公共点，则实数a的取值范围是

参考答案:

-3＜a＜1

略

12.已知才=（遣，一1叽方=（七°，1）,a,石的夹角为60。，则上

参考答案:

巫

2

【分析】

-k一*=±也

由同=2石=42+1,"-*=辰，利用向量的夹角公式，求得一一2,再由向量的数

量积的公式，可得力士＞0,即可求解.

【详解】由题意，向量近=（d,一1。）＞方=（七05，则同=&*=病石"-"=辰，

又由”了的夹角为g，所以H'l*l2

T£=士也

解得2,所以2,

又由向量病的夹角为斫则卜卜闻皿60"＞。，即底＞0=七＞0,

所以实数2.

【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的

数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

13.已知球的体积为36兀，则该球主视图的面积等于

参考答案：

9兀

-JIT3=36JT)

由球的体积公式，可得3,则干=3,所以主视图的面积为S="x3?=9宗.

14.有下列五个命题：

①“若工+了=°,则X，y互为相反数”的逆命题.

bx-a八

②若关于工的不等式数+3>0的解集为(-8,I),则关于X的不等式X+2的解

集为(-2,-1).

③在A4BC中，“/8=60°”是“/幺，/B,/C三个角成等差数列”的充要条

件.

④已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是

X2尸

—+—=I

2036.

⑤已知向量｛行，随工｝是空间的一个基底，则向量｛2+随力"2｝也是空间的

一个基底.

其中真命题的序号是▲.

参考答案：

①③⑤

略

15.设m£R,m2+m-2+(m2-I)i是纯虚数，其中i是虚数单位，贝Im=.

参考答案：

-2

【考点】复数的基本概念.

【分析】根据纯虚数的定义可得而-1=0,m2-1^0,由此解得实数m的值.

【解答】解：..•复数2=(m2+m-2)+(m-1)i为纯虚数，

/.m2+m-2=0,m'-IWO,解得m=-2,

故答案为：-2.

16.写出下列命题的否定:①、有的平行四边形是菱形

②、存在质数是偶

数________________________________________________________________________________

参考答案：

所有的平行四边形不是菱形；全部质数不是偶数。

略

17.在梯形ABCD中，AB1BC,AD〃BC,BC=2AD=2AB=4,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转

一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为.

参考答案:

4QH

~3~

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】作图题；运动思想；等体积法；空间位置关系与距离.

【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可得到答案.

【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：

旋转体是底面半径为2,高为4的圆柱，挖去一个相同底面高为2的倒圆锥，

2.1240兀

n.2-4--n.2-2=—

几何体的体积为:

40几

故答案为：3.

【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的

直观图是解题的关键，是中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图,直三棱柱ABC-ABJ中,AB_LAC,D、E分别为

AAi、BiC的中点,DE_L平面BCG

(I)证明：AB=AC

(II)设二面角A-BD-C为60。,求BiC与平面BCD所成

的角的大小

参考答案：

工

解法一：(I)取BC中点F,连接EF,则EF%5'13,从而EL,DA。

连接AF,则ADEF为平行四边形，从而AF//DE,又DEJ_平面故AFJ_平面

BCCi,从而AF_LBC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。..........5分

(II)作AG±BD,垂足为G,连接CG»由三垂线定理知CG±BD,故NAGC为二面角

A-BD-C的平面角。由题设知，ZAGC=60°.

2

设AC=2,则AG=忑o又AB=2,BC=2&,故人尸=也。

2JA02+22

由/=得2AD=,解得AD=J5。

9分

故AD=AF。又AD_LAF,所以四边形ADEF为正方形。

因为BCLAF,BC±AD,AFAAD=A,故BCL平面DEF,因此平面BCD,平面DEF。

连接AE、DF,设AEDDF=H,则EH_LDF,EH_L平面BCD。

连接CH,则/ECH为4C与平面BCD所成的角。.

厂

因ADEF为正方形，AD=>/2,故EH=1,又EC=2=2,

所以NECH=30°,即BQ与平面BCD所成的角为30°............................12分

解法：:

(I)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-

xyz<>

2b_

设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则用(1,0,2c),E(2,2,

c).

2b

于是=(2,2,0),BC=(-1,b,0).由DE_L平面知DE_LBC,

TT

DEBC=o,求得b=l,所以AB=AC«..........5分

->ffTT

(n)设平面BCD的法向量.=(XJ,Z)2|J®A3C=0,HWBZ)=0.

T

又BC=(-1,i,o),

'-x+y=0

<

BD=(-1,o,c)，故l-x+cz=0

11

-T一

令x=l,贝Ijy=l,z=c,AN=(1,1,c).

又平面58。的法向量工C=(o,1,o)

由二面角工一如一C为60°知，伊''”=60°,

故—而=网网cos60。，求得

......................9分

于是AN=(1,1,物，CBi=。,一1,回

ANCBX_1

网.网-5

闻，网=60。

所以用C与平面38所成的角为30。.........12分

略

19.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知

立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径

为2〃（其中正数〃为原立方体的棱长）的抛物线C”如图，再作一个顶点与抛物线Ci顶

点。重合而对称轴垂直的抛物线C2,且与交于不同于点。的一点P,自点P向抛物线

。的对称轴作垂线，垂足为可使以0M为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线G的标准方程；

（2）为使以0M为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线C2的标准方程（只

须以一个开口方向为例）.

参考答案：

（1）以。为原点，0M为x轴正向建立平面直角坐标系，

由题意，抛物线G的通径为2”，所以标准方程为丁=3.

（2）设抛物线6：'=叼3*>0）,

又由题意，片=叱所以,=%，代入丁=加,

得：4=2侬\解得：“丽a

所以点国出哥祠代入V=my

得：加解得：m=a

所以抛物线G为：<=行

20.（本题满分14分）

a>0,函数/（X）=*一成6干+“

（I）若/（X）在区间（。，1］上是增函数，求a的取值范围;

（II）求/⑶在区间（°』上最大值。

参考答案：

八x)=l-片

由/(x)=x-qjx2+l+a

解：（I）“+1-----------2分

要使/⑶在区间（°，］］上是增函数，当且仅当表币一在（°，“上恒成

7?+T_FT

立，即a一xF/在（°』上恒成立，

+1

FHI"-min

即X----------------------------------------------------4分/k

"J吃在（05上单调递减「在（05上的最小值是0

.”的取值范围是（0'0］--------------------------------------------6分

（II）由（I）知，当0<以工0时，“X）在区间（0,1］上是增函数,

此时，“X）在区间（°』上的最大值是/（D=l+（l—&）a

8分

/⑶*/r°；解得，"Wr（同

当a>/时，令

;./（力在I'必彳）上单调递增，在匚i'J上单调递减；-----12分

z-IJ{—===）=a—，白2-]

此时，/⑴在（°川上最大值是