函数的应用（二） 讲义（知识点 考点 练习）人教A版（2019）高一数学必修第一册

4.5函数的应用（二）

一、函数的零点

1.概念：对于一般函数y=/（x），我们把使/U）=0的实数v叫做函数y=/U）的零

点.

2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

思考函数的零点是函数与x轴的交点吗？

二、函数零点存在定理

如果函数y=/U）在区间3,上的图象是一条连续不断的曲线,且有版）蹈）＜0,

那么，函数y=/（x）在区间（a,。）内至少有一个零点，即存在c©（a,b）,使得*c）

=0）这个c也就是方程火%）=0的解.

思考1函数零点存在定理的条件有哪些？

思考2在函数零点存在定理中，若人a）：的）＜0,贝！）函数上）在（a,方）内存在零

点.则满足什么条件时人x）在（访田上有唯一零点？

三、二分法

对于在区间［a,0］上图象连续不断且血）•解）＜0的函数y=*x）,通过不断地把它

的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点

近似值的方法叫做二分法.

思考1若函数y=/（x）在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

思考2二分法的解题原理是什么？

四、用二分法求函数/U）零点近似值的步骤

1.确定零点X0的初始区间[a,b],验证血）•的）＜0.

2.求区间3，0）的中点G

3.计算人。），并进一步确定零点所在的区间

（1）若；（c）=0（此时回=。），则工就是函数的零点.

⑵若五砂火。）＜0（此时xoe（。，c））,则令6=c.

（3）若人。火?＜0（此时xo©（c,3）,则令a=c.

4.判断是否达到精确度£：若la—四＜£,则得到零点近似值a（或0）；否则重复步

骤2〜4.

以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点

落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.

五、几类已知函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J（x）=ax-\-b（a,6为常数，中0）

反比例函数模型）（为常数且理）

fix=X-+bk,50

二次函数模型fix）—ax2-\~bx-\-c（a,b,c为常数，〃加）

指数型函数模型J（x）=bax-\-c（a,b,c为常数，厚0,且存1）

对数型函数模型fix）=/?logax+c（a,b,c为常数,厚0,〃>0且存1）

募函数型模型"x)=办"+仇〃，6为常数，a^O)

六、应用函数模型解决问题的基本过程

1.审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

2.建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数

学知识建立相应的数学模型.

3.求模——求解数学模型，得出数学模型.

4.还原——将数学结论还原为实际问题.

考点一零点的求解

【例1】(2020.武威第六中学高二期末(文))若函数/(x)=ax+3的零点是2

则函数g(x)="/+bx的零点是()

A.2B.2和OC.OD.—2和O

【练1】(2020.北京高一期中)已知函数/(%)=上卓，那么方程火x)=0的解是

X

()

A.x=-B.x=1C.x=eD.尤=1或x=e

e

考点二零点区间的判断

【例2】(2020.湖南娄底.高二期末)函数/(x)=lnx+d-9的零点所在的区间为

()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【练2】(2020.浙江高一课时练习)设函数y=/与y=gj的图象的交点为

(%,％)，则/所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

考点三零点个数的判断

【例3】（1）（2020.哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））函数yTogi（—无）+%+6）

2

的零点个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

（2）（2020.山东省枣庄市第十六中学高一期中）方程加x+》=O的实数解的个数为

（）

A.1B.2C.3D.0

【练3】（2020.浙江高一课时练习）函数/（%）=2工+——2在区间（0,1）内的零点个

数是（）

A.0B.1

C.2D.3

考点四根据零点求参数

【例4】（2020.江苏省海头高级中学高一月考）方程f+2（左-l）x+342—11=0有

两个不相等的实数根，则实数左的取值范围为（）

A.（—8,—3）u（2,+oo）B.（—3,2）

C.（-2,3）D.（-00,-2）u（3,+oo）

【练4】（2020.吉林长春外国语学校高二开学考试）函数〃无）=2，-4-a的一

X

个零点在区间。,2）内，则实数。的取值范围是（）

A.（1,3）B.（1,2）C.（0,3）D.（0,2）

考点五二分法

【例5】(2020•福建高一期中)设〃%)=3,+3%-8,用二分法求方程

3、+3%-8=0在％e(l,2)内近似解的过程中得/(1.5)>0,

/(1.25)<0,则方程的根落在区间()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定

【练5】(2020.郸城县实验高中高一月考)如图是函数八》)的图象，它与x轴有4

个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该

零点所在的区间是()

A.[-2.1,-1]B.[4.1,5]

C.[1.9,2.3]D.[5,6.1]

考法六函数模型

【例6】(2020.定远县育才学校谋科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增

加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础

上，每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发奖金开

始超过200万元的年份是(参考数据：lgl.l=0.041,lg2=0.301)

A.2022年B.2023年

C.2024年D.2025年

【练6】(2019•四川高一期末)某种树木栽种时高度为A米(A为常数)，记栽种

X年后的高度为f(x),经研究发现，f(x)近似地满足f(x)=^^F，(其中

；=/，a,b为常数，xeN),已知f(O)=A,栽种三年后该树木的高度为栽

种时高度的3倍.

(1)求a,b的值；

(H)求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍(参考数据：

lg2=0.3010,lg3=04771).

课后习题

1.(2020高一上•越秀期末)函数/(%)=In%+2%-3的零点所在的一个区

间是()

A.(0)1)C,(1,|)

D.(|,2)

2.(2021高一下•湛江期末)函数/(%)=2^-1+%-5的零点所在的区间为

()

A.(l,2)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

3.(2020高一上•来宾期末)函数/(%)=2X+Inx-1的零点所在的区间为

()

A.(1,|)B.(|,2)C.(0,1)

4.(2020高一上•毕节期末)若/(%)=%3+%2-2%-2的一个正数零点附

近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表:

f(1)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

/'(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程/+久2_2久_2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）

A.1.2B.1.3C.1.4

D.1.5

5.若二次函数y=/+a%+b的两个零点分别是2和3,则2a+b的值

为一

6.（2021,云南模拟）函数/（%）=2sinxcosx—V3cos2x—1在（―兀，兀）上

的零点之和为—.

7.（2021高一下•西安月考）方程x=sin%实根的个数为一.

8.（2021高二下•孝感期末）已知X。是函数/（%）=e2mx+x-2+Ex-2的

2x

零点，则e~°+ln%0的值为_.

9.（2020高一上•泉州期末）已知函数/（%）=要.

（1）若/（%）为偶函数，求a的值；

（2）若函数g（x）=/（x）-（a+1）在［一1,1］上有2个不同的零点，求a的

取值范围.

10.(2020高一上•越秀期末)已知1与2是三次函数/(%)=x3+ax+

匕(a,beR)的两个零点.

(1)求a,5的值；

(2)求不等式a/—匕久+1>o的解集.

11.(2021•沈阳模拟)已知函数/(%)=x\nx+a,a<0.

(1)证明：/(%)有且仅有一个零点；

(2)当aC(-2e2,0)时，试判断函数g(x)=^x2lnx--x2+ax是否有最

小值？若有，设最小值为力(a),求/(a)的值域；若没有，请说明理由.

12.(2020高一上•咸阳期末)已知函数/(%)=ln(3+x)+ln(3-x)的定义

域为(-3,3).

(I)证明：函数/(%)是偶函数；

(II)求函数/(%)的零点.

精讲答案

思考

答案不是.函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与X轴交点

的横坐标.

思考一

答案定理要求具备两条：①函数在区间3,加上的图象是连续不断的一条曲线;

思考二

答案满足抵力在（。，。）内连续且单调，且火。）次。）＜0.

思考一

答案二分法只适用于函数的变号零点（即函数值在零点两侧符号相反），因此函

数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如五X）=（X—1）2的零点就不能用

二分法求解.

思考二

[例1]

【答案】B

【解析】由条件知/（2）=。，〃=-2a,.,.g（x）=«x2+/?x=ax（x—2）的零点为

O和2.故选B.

【练1】

【答案】C

【解析】依题意〃可=匕坐=0,所以1—ln%=0,lnx=l,%=e.故选：C

X

【例2】

【答案】C

【解析】可以求得/O=Tv屯丁◎=皿二--：%/■(图道>取，所以函数

的零点在区间(2,3)内.故选C.

【练2】

【答案】B

【解析】因为根据题意可知，当X=1时，则三―6[2<0,而当x=2时，则

“3—>0,故选B

【例3】

【答案】(1)C(2)A

【解析】⑴令y=0,则log/-Y+X+6)=0,即_/+%+5=0,又

2

A=l+20>0,故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故

选：C

⑵方程m+》=0的实数解的个数，即为方程/依=-尤的实数解的个数，

即为函数y=lnx与函数y=-X图象的交点的个数，

在同一坐标系中作出函数y=lnx与函数y=-x的图象，如图所示：

y

只有一个交点，所以方程加x+》=0的实数解的个数为1故选：A

【练3】

【答案】B尸(另=2气112+3/,在(0,1)范围内尸(x)>0,函数为单调递增函

数.又〃。)=—1,"1)=1，/(o)/(l)<o,故“X)在区间(。,1)存在零点，

又函数为单调函数，故零点只有一个.

[例4]

【答案】B

【解析】方程炉+2(左-l)x+3左2—11=0中，令/>。，得

4(^-1)2-4(3^2-11)>0,

化简得标+左—6<0,解得-3<左<2,所以左e(-3⑵时，方程有两个不相等的实

数根；故选：B.

【练4】

【答案】C

【解析】由条件可知2(1〉(为Y”一a—--)<,即a(a—3)<0,解得

0<a<3.故选C.

【例5】

(

答案】B

【解析】：_y(x)=3"+3x-8又：/(1.5)>0,/(1.25)<0.'./(1.5)./(1.25)<0

由零点存在定理可得/㈤在区间(L25,1.5)存在零点..•3+3%-8=0方程的根落

在区间(1.25,1.5)

故选：B.

【练5】

【答案】C

【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二

分法求出零点，

C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C

【例6】

【答案】c

【解析】设从2016年后，第八年该公司全年投入的研发资金开始超过200万

兀，

由题意可得：100x(1+10%)“2200,即1.1"22,

两边取对数可得:«7.3,则〃W8,

lgl.10.041

即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C.

【练6】

【答案】(I)a=l,b=8；(11)5年.

QAQA…

【解析】(I)；f(x)=——,.-.f(0)=--=A,.-.a+b=9①，

a+bta+b

QA

又f(3)=3A,即上^=3A,;.a+t3b=3②，

a+t3b

联立①②解得a=1,b=8,

QA11

(II)由(I)得由f(x)N5A得txv^,xlgt<lg—=-1,

l+8t1010

-1-133

x>——=«4.98

Igt-|lg4lg40.6020

故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍.

练习答案

1.【答案】C

【考点】函数零点的判定定理

【解析】因为函数y=lnx>y=2x-3均为(0,+°0)上的增函数，所以,

函数/(%)为(0,+°°)上的增函数，

/(I)=-1<0,/(|)=ln|>0,即/(I)•/(|)<0,

因此，函数/(%)=Inx+2%-3的零点所在的一个区间是(1,|).

故答案为：C.

【分析】根据题意由对数函数和一次函数的单调性即可得出函数f(x)的单调性,

再由函数的值结合零点存在定理即可得出零点的区间。

2.【答案】B

【考点】函数零点的判定定理

X1-1

【解析】设任取X2,Xi<X2，则/(%1)—/(%2)=(2+%1-5)-

(2QT+犯—5)=(2巧-1-2久2-1)+(%1-％2)>o

所以/(Xi)>/(%2),/(%)=2丫-1+%-5为增函数.

所以/(1)</(2)</(3)</(4)</(5)

又因为/(2)<0,/(3)>0,

所以零点所在的区间为(2,3).

故答案为：B.

3.【答案】D

【考点】函数零点的判定定理

【解析】函数/(%)-2X+lnx-1为(0,+°°)上的增函数，

由/(I)=1>0,f(1)=V2-ln2-1<|-ln2-1=1-ln2<i-InVe=

工一工=0,

22

可得函数f(x)的零点所在的区间为G，I)o

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合增函数的定义，从而判断出函数为增函数，再利用

零点存在性定理，从而找出函数/(%)=2》+也%-1的零点所在的区间。

4.【答案】C

【考点】二分法的定义，函数零点的判定定理

【解析】解：根据二分法，结合表中数据，由于/(1.438)=0.165>0,

/(1.4065)=-0.052<0,

所以方程X3+X2-2X-2=0的一个近似根所在区间为(1.4065,1.438)

所以符合条件的解为L4

故答案为：C

【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理：零点存在的区间逐步缩小，

区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项。

5.【答案】-4

【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，函数的零点与方程根的关

系

【解析】因为二次函数y^x2+ax+b的两个零点分别是2和3,

所以一元二次方程x2+ax+b=0的两个根分别是2和3,

由一元二次方程根与系数关系得：，解得｛2=7,，

3x2=6b=6

因此，2Q+b=2X(—5)+6=—4。

故答案为：-4。

【分析】利用函数的零点与方程的根的等价关系，因为二次函数y=x2+

ax+b的两个零点分别是2和3,所以一元二次方程/+a%+b=0的两个

6.【答案】—g

【考点】二倍角的余弦公式，函数的零点

【解析】/(%)=2sinxcosx—V3cos2x-1=2sin(2x——1,

令/(x)=0得，sin(2x-|)=|,

因为XG(―7T,"),所以2%-g€(―g,军)

C711171T7兀T兀T5"

2%一］=一=或一胃或A或Z，

7T

解得为1+%2+%3+%4=—孑.

故答案为：-W

【分析】根据题意由二倍角的余弦公式整理得出函数的解析式，结合正弦函数

的性质以及图象由零点的定义计算出答案。

7.【答案】1

【考点】正弦函数的图象，根的存在性及根的个数判断

【解析】方程%=sinx实根的个数可以转化为函数y=%,y=sin》图象的交

点的个数，在同一直角坐标系内，两函数的图象如下图所示：

通过图象可知只有一个交点,

故答案为：1

【分析】根据题意作出直线y=x与正弦函数的图象，由数形结合法即可得出答

案。

8.【答案】2

【考点】函数的零点

21nz+%0-2

【解析】根据题意可得e°+lnx0-2=0,

所以％o2靖0-2ln%0—2=0,

整理可得=*殛，

%0

可得当%0='T。此时成立，

2x2

又lnx0=2—x0e°~,

2x2

代入可得e~°+lnx0=%o+2-%o•—=2,

XQ

故答案为：2

【分析】根据题意，令f(x)=0,变形可得n2靖。-2+in%。_2=0,整理可

得％0短。-2=上生殛，代入可得e2-&+ln&=%。+2-％02，据此计

XQ

算可得答案.

9.【答案】(1)解：由题意，函数/(%)为偶函数，则/(—%)=/(%)，即

4~x+a_4x+a

2-x-2X•

整理得(a-1)(4丫-1)=0,所以a=1

(2)解:因为函数g(x)=/(%)-(a+1),

令g(x)=。，可得-(a+1)=0,整理得4Z-(a+1)2X+a-0,

即(2X-a)(2x-1)=0,

由函数g(X)在［一L1］上有2个不同的零点，

所以>。)，且，。。，

=0,%2=log2a(0—14log2a41log2a

解得-<a<1或l<a《2,

所以a的取值范围为［j,l)U(l,2］

【考点】函数奇偶性的性质，函数的零点与方程根的关系

【解析】(1)根据题意由偶函数的定义整理原式即可计算出a的值。

⑵首先由已知条件令9(%)=0整理即可得出方程4*-(a+1)2光+a=0,

结合题意由函数g(%)在［-1,1］上有2个不同的零点，由对数函数的单调性

即可求出a的取值范围。

1。.【答案】(1)解：因为1与2是三次函数/(%)-x3+ax+b(a,bCR)

的两个零点

所以根据函数的零点的定义得：｛黑解得：a=

/(2)=o+2a+b=()

-7fb=6

(2)解：由(1)得ax2—bx+1=—7x2—6x+1=(—7%+1)(%+1)>

0,

根据二次函数的性质得不等式的解集为：｛久I-1<%》

所以不等式的ax2-bx+l>0解集为

【考点】一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程，函数的零

点与方程根的关系

【解析】⑴由已知条件结合方程根的情况以及零点的定义，代入整理得到关

于a与b的方程组，计算出a与b的值即可。

(2)由⑴的结论即可得出一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求解出不

等式的解集，从而即可求出不等式a/一匕久+120的解集。

11.【答案】(1)证明：：a<0,

...%G(0,1)时，显然有/(%)=xlnx+a<0,函数/(%)无零点；

又*•'f(%)-1+Inx,

，久C[1,+3)时，/'(%)=1+Inx>0，/(%)单调递增

又/(I)=a<0,

e~a>1,/(e-a)=—ae~a+a=a(l—e-a)>0,即/(l)/(e-a)<0,

a

故存在唯一的x0G(l,e-),使/(%)=0,

综上可知，函数f(x)