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文档简介
2024届北京高考数学一轮复习学案之《函数及其运用》
知识点总结
1.1函数的概念及其表示
一、函数的概念
1.函数的有关概念
函数的定义一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数X,按照某种
确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A—B
为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法y=f(x),xGA.f(x)表示x对应的函数值,而不是f乘x
定义域x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域
值域函数值的集合{f(x)|xGA}叫做函数的值域
2.函数的三要素
(1)一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域.
(2)因为值域是由定义域和对应关系决定的,所以两个函数的定义域和对应关系相同时,它们是
同一个函数.
3.区间的概念
(1)满足不等式aWxWb,a<x<b,aWx<b,a<xWb(a,beR,a<b)的实数x的集合可以用区间分
别表示为[a,b],(a,b),[a,b),(a,b].
(2)实数集R可以用区间表示为(-8,+00).
(3)满足不等式x2a,x>a,xwb,x<b的实数x的集合可以用区间分别表示为[a,+«)),(a,+
8),(-8,b],(-oo,b).
二、函数的表示法
1.函数的三种表示方法
表示法定义特点
解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系简单、全面,易求函数值
列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系无需计算,查表可得函数值
图象法用图象表示两个变量之间的对应关系形象、直观,便于研究函数的性质
2.分段函数:已知函数y=f(x),xEA,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的对应关
系,那么我们称这样的函数为分段函数.
(1)分段函数表示的是一个函数,在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并写出
各段自变量的取值范围,其中各段函数自变量的取值范围的交集是空集.
⑵画分段函数图象时,应分别作出每一段函数的图象.
三、求函数的定义域
1.已知函数解析式求定义域
⑴如果函数解析式是整式,那么在没有指明它的定义域的情况下,函数的定义域是实数集R.
⑵如果函数解析式含分式或0次鬲,那么函数的定义域是使分母或鬲的底数不为零的实数的集合.
⑶如果函数解析式仅含偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
⑷如果函数解析式是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实
数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).
⑸由实际背景确定的函数,其定义域不仅要使解析式有意义,还要使自变量满足实际意义.
2.求抽象函数的定义域
⑴求抽象函数的定义域,要明确以下几点:
①函数f(x)的定义域是指x的取值范围.
②函数f((p(x))的定义域是指x的取值范围,而不是(p(x)的取值范围.
③f(t),f((p(x)),f(h(x))三个函数中的t,cp(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(2)抽象函数定义域的求解方法:
①已知f(x)的定义域为A,求f((p(x))的定义域,实质是已知甲(x)的取值范围为A,求x的取值范围.
②已知f((p(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求(p(x)的取值范围,
此范围就是f(x)的定义域.
③已知f(cp(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知cp(x)中的x的取值范围为C,求出cp(x)
的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域.
四、求函数的值域
1.求函数值域的常用方法
⑴观察法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域.
⑵图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域.
⑶配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,通常把函数式通过配方转化成完全平方式与常量
和差的形式.
⑷分离常数法:此方法主要是针对有理分式形式的函数,将“有理分式”转化为“反比例函数”的
形式,便于求值域.
⑸换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±V^F王五通过换元把它们转化为我们熟悉的函数,间接
求出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围.
除此之外还有判别式法、反表示法等,解题时可根据题目特点灵活选择并应用.
五、求函数的解析式
1.当函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.
(1)一次函数解析式可设为f(x)=ax+b(a#O);
(2)反比例函数解析式可设为f(x)=;(k^O);
(3)二次函数解析式可根据条件设为①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0O),
②顶点式:f(x)=a(x-hy+k(aXO),③交点式:f(x)=a(x-xJ(x-X2)(aW0).
2.函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.
⑴代入法:已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,通常把g(x)作为一个整体替换f(x)
中的x.
(2)换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)
代入f(g(x))中,得到f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.
⑶配凑法:将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法,使之变形为关于g(x)的函数解析式,
然后以x代替g(x),即得所求函数解析式,这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等.
⑷消元法(方程组法):已知f(x)与fQ)或f(-x)的解析式,可根据已知条件用;或-x替换x,再构造出
另外一个等式,组成方程组,通过解方程组求出f(x).
⑸赋值法:根据题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而
根据找出的一般规律求出函数解析式.主要适用于抽象函数求解析式.
六、正确理解与应用分段函数解决问题
1.正确理解分段函数
⑴分段函数是一个函数,而不是几个函数,只是根据自变量的不同范围分成了几段而已
(2)研究分段函数时,先分段考虑,再整体把握.
2.分段函数的求值策略
⑴已知自变量的值求函数值的步骤:
①确定自变量属于哪一个取值范围;
②代入该取值范围对应的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x。))的形式时,应
从内到外依次求值.
②已知函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解
析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.
1.2函数的基本性质
1.2.1单调性与最大(小)值
一、函数的单调性
1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DGI:
2.如果V%,X2GD,当看<X?时,都有f(xj<f(x)那么就称函数f(x)在区间D上单调递
增(如图①);
3.如果%X2ED,当X—时,都有f(xJ>f(X2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递
减(如图②).于y
,y善)/
L
图1飒)曲)图②的)曲)
%]%2X
0%2X0
4.特别地,当函数y=f(x)在它的定义域上单调递增(单调递减)时,我们就称它是增函数(减函数).如
果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=%x)在这一区间具有(严格的)单调性,
区间D叫做y=f(x)的单调区间.
二、函数的最大(小)值
1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:VxGI,都有f(x)W(N)M,3x0GI,
使得f(Xo)=M,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值.
三、判断或证明函数的单调性
1.判断函数单调性的方法
⑴图象法:根据函数图象的升降情况进行判断.
⑵直接法:运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比
例函数的单调性均可直接得出.
⑶性质法:①f(x),g(x)在公共区间上的单调性如下:
y=f(x)y=g(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)
增增增
增减增
减减减
减增减
②复合函数单调性的判断依据如下:
由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x)),其单调性的判断方法如下:
u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))
增增增
增减减
减增减
减减增
复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异时单调递减.注
意函数的定义域.
2.利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设%,X2是所给区间内的任意两个值,且为<X2;
(2)作差、变形:计算f(xj-f(x)并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负
的关系式;
(3)判断符号:确定f(x>f(X2)的符号;
⑷下结论:根据f(X>f(X2)的符号与增函数、减函数的定义确定单调性.
四、函数单调性的应用
1.利用函数的单调性求解最大(小)值
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则函数f(x)在x=a时取得最小(大)值
f(a),在x=b时取得最大(小)值f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减(增),在区间[b,c]上单调递增(减),则函数f(x)在x=b时取
得最小(大)值f(b).
2.利用函数的单调性解不等式
利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关于
未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
3.根据函数的单调性确定参数的取值范围
(1)利用单调性的定义:在单调区间内任取X]x2,且%<X2,由f(xJ-f(X2)<0
(或f(xJ-f(X2)>0)恒成立求参数的取值范围.
(2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根
据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组),求出参数的取值范
围.
注意:①若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.②对
于定义域上单调的分段函数求参问题,一般从两方面考虑:一方面每个分段区间上函数具有相同的
单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑分界点处函数值之间的大小关系,由此列出另外的式
子,从而解得参数的取值范围.
五、含参数的二次函数在某闭区间上的最大(小)值
1,解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,再
由a的符号确定其图象的开口方向,根据对称轴方程x=h得出顶点的位置,再根据
函数的定义域结合大致图象确定最大(小)值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有下列几种类型:
⑴区间固定,对称轴变动,求最值;
(2)对称轴固定,区间变动,求最值;
⑶最值固定,区间或对称轴变动,求参数.
求解时通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
1.2.2奇偶性
一、奇函数、偶函数的定义
1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果Vx地,都有-xGI,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函
数.
2.一般地,设函数f(X)的定义域为I,如果VXGI,都有-xGI,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇
函数.
注意:奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称.
二、奇函数、偶函数的图象特征
1.一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.
2.一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
三、判断函数的奇偶性
1.判断函数奇偶性的常见方法才
否
非奇非偶函数
⑴定义法:
奇函数
⑵图象法:
偶函数
①关于原点对称-f(X)为奇函数
/H)与
是
②关于V轴对称一f(x)为偶函数加)的非奇非
关系目/H)可㈤偶函数
2.分段函数奇偶性的判断
/-%)=#)既是奇函数
判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个绿
</(-%)蹴%)又是偶函数
间上任取自变量,再向对称区间转化,若函数在x=0
有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时,必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)
或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数图象,结合对称性判断.
四、函数奇偶性的应用
函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,又是在已知函数奇偶性
时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
1.由函数的奇偶性求参数:若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数
法求参数;若定义域中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点值之和为。求参数.
2.由函数的奇偶性求函数值:由函数的奇偶性求函数值时,若所给的函数具有奇偶性,则直接利用
f(-x)=-f(X)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函
数或偶函数,然后利用其奇偶性求值.
3.由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
⑴在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.
⑵把-x对称转化到已知区间上,代入已知区间的解析式得f(-x).
(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
五、函数奇偶性与单调性的综合应用
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
2.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.
(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M;
⑵若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.
3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小,关键是利用奇偶性把自变量转化到函数
的同一个单调区间内,然后利用单调性比较.
注意:由f(xj>f(x,或f(xj<f(x)根据函数的单调性列出不等式(组)时,要注意函数定义域对参数的
影响.
1.3幕函数
一、骞函数的概念
1.一般地,函数y=x。叫做鬲函数,其中x是自变量,a是常数.
二、五个帚函数的性质
231
鬲函数y=xy=xy二xy=x2y=x"
图象
rJL二
\0^X0X
定义域RRR[0,+8)(-00,0)U(0,+8)
值域R[0.+8)R[0,+8)(-00,0)U(0,+8)
单调性增函数在[0,+8)上单调递增函数增函数在(0,+8)上单调递
增,在(-8,0]上单减,在(-8,0)上单
调递减调递减
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
共同点图象都经过点(1,1)
三、募函数的图象
解决鬲函数图象问题应把握的两个原则
1.在第一象限内,根据鬲函数的图象确定哥指数a的范围,依据图象高低判断鬲指
数的大小,相关结论如下:
⑴当a>0时,鬲函数的图象过原点,并且在区间[0,+8)上单调递增.在第一象限,当o(>l时,鬲
函数的图象下凸;
当a=l时,鬲函数的图象为直线y=x在第一象限的部分;
当0<a<l时,鬲函数的图象上凸.
当a<0时,鬲函数在区间(0,+8)上单调递减,且函数在原点处无意义.
当a=0时,y=x°=l(x#O)的图象为不包括点(0,1)且平行于x轴的直线.
(2)在第一象限内,鬲函数的图象如图所示,作直线x=a(a>l),它同各鬲
函数图象相
交,按交点从下到上的顺序,鬲指数依次增大.
2.利用定义域及奇偶性确定鬲函数在其他象限的图象.若鬲函数在(-8,
0)上无意义,则其在(-8,0)上的图象不存在;若鬲函数在(-8,0)上有
意义,当函数为偶函数(a为偶数)时,函数图象一定出现在第二象限,当
函数为奇函数(a为奇数)时,函数图象一定出现在第三象限.
(1)对于鬲函数yuxTaGR),当o(=l时,y=x的图象是直线;当a=0时,y=x°=l
(xKO)的图象是直线(不包括点(0,1)).其他一般情况的图象如表格所示:
a=-a<00<a<la>l
p
P,q都是奇数yk7
JJI0x
0x0x
P为奇数,
q为偶数z
Jk0X0X
P为偶数,/
q为奇数
1IX
XX
四、运用鬲函数的性质解决相关问题
1.鬲函数的性质与参数a可以互相确定
鬲函数y=x"中只有一个参数o(,鬲函数的所有性质都与a的取值有关,故可由a
确定鬲函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.反过来,也可由鬲函数的性质去限制a的取值:
利用鬲函数的单调性求出a的取值范围;由奇偶性结合所给条件确定a的值.
1.4函数的应用(一)
一、已知函数类型解决函数应用问题
1.已知函数类型的应用问题,常用待定系数法求出函数解析式,再用函数知识解决问题
2.几类常见的函数模型
函数模型函数解析式
一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a产0)
二次函数模型f(x)=ax,bx+c(a,b,c为常数,aWO)
反比例函数模型f(x)=:k(kWO)
鬲函数型模型f(x)=ax"+b(a,b,a为常数,aXO)
二、未知函数类型解决函数应用问题
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(1)审题;(2)建模;(3)
求模;⑷还原.
三、建立函数模型解决实际应用问题
在实际应用问题中,若涉及的两个变量之间的关系符合已知函数模型,如一次函数、二次函数、
反比例函数、鬲函数等,则可根据以下步骤解决:
⑴根据题意设出函数解析式,并利用待定系数法求解函数解析式;
②根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题.
在诸多函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.在根据实际问题得到二次函数的解析式,可以
利用配方法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值,从而解决利润最大、用料最省等实际问题.
四、利用分段函数解决实际应用问题
1.在一些实际问题中,函数值与自变量的对应关系随着自变量取值的不同而不同,
如:分段计费、分段税率等问题,解决此类问题常需构造分段函数模型,利用分段
函数解决问题.
2.应用分段函数时的三个注意点:
⑴分段函数的“段”一定要分得合理,对自变量的分类要不重不漏;
(2)分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集;
⑶分段函数的值域的求法:先逐段求函数值的范围,再求各段范围的并集得到函数的值域.
3.利用分段函数解决实际问题时,先在自变量的每段取值范围中解决相应的问题,再综合各段的结
论,得到问题的最终解.
2.1指数
一、根式
1.n次方根
⑴定义:一般地,如果xn二a,那么x叫做a的n次方根,其中n>l,且nGN;
(2)表示:
n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围
n为奇数R
n为偶数±Va[0,+8)
注意:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作强=0.
2.根式
⑴定义:式子强叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
⑵性质(其中n>l,且n£N*):①(%)n=a.
aa>0
{一a,aV0.
二、分数指数孱
1.正数的正分数指数鬲:a范好(a>0,m,nGN;n>l).
m11
2,正数的负分数指数鬲:a-K=w=F(a>0,m,nEN',n>l).
anva
规定:0的正分数指数鬲等于0,0的负分数指数鬲没有意义.
三、实数指数孱
1.一般地,无理数指数鬲a“(a>0,a为无理数)是一个确定的实数.这样指数鬲a”(a>0)中指数x的
取值范围就从整数逐步拓展到了实数.实数指数鬲是一个确定的实数.
四、实数指数属的运算性质
1.aras=arts(a>0,r,sGR);2.(ar)s=ars(a>0,r,sGR);
3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r£R).4.拓展:$=ars(a>0,r,sGR).
五、根式与分数指数募的化简、求值
1.运用根式的性质解题时的注意点
⑴分清根式是奇次根式还是偶次根式:
n>l,且n为奇数时,(“)"=E=a,a为任意实数;
n>l,且n为偶数,a,0时,(%)“才有意义,且函六a;
n>l,且n为偶数,a为任意实数时,世均有意义,且*1T二|a|.
⑵注意变式、整体代换,以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的运用,
必要时要进行分类讨论.
2.根式与分数指数鬲化简、求值的技巧
⑴将根式化为鬲的形式,小数指数鬲化为分数指数鬲,负指数鬲化为正指数鬲的倒数.
(2)底数是小数的,要先化成分数;底数是带分数的,要先化成假分数,然后要尽可能用鬲的形式表
示,便于利用指数鬲的运算性质.
注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
六、指数幕的条件求值问题
解决指数鬲的条件求值问题的一般方法——整体代换法
1.将已知条件或所求代数式进行恰当变形,从而通过“整体代换法”求出代数式
的值.整体代换法是数学变形与计算常用的方法,分析观察条件与所求代数式的
结构特点,灵活运用恒等式是关键.
2.常用的变形公式如下:
1111
(I)a±2a2b2+b=(a2±bz)2;
1_1.1_1
(2)(az+b2)(a2-b2)=a-b;
331111
(3)a2+b2=(a2+b2)(a-a2b2+b);
331111.
(4)a2-b2=(a2-b2)(a+a2b2+b).
2.2指数函数
一、指数函数的概念
1.一般地,函数y=a'(a>0,且a卉1)叫做指数函数,其中指数x是自变量定义域是R.
二、指数函数的图象和性质
y=a*(a>0,且aXI)
指数函数
0<a<la>l
y=ax
yy尸a*
图象
(0,1)'y=1
(0,1)、
0X
0X
定义域R
值域(0,+8)
过定点过定点。1),即x=0时,y=l
单调性在R上是减函数在R上是增函数
性
质函数值当x>0时,0<y<l;当x>0时,y>l;
的变化当x<0时,y>l当x<0时,0<y<l
对称性y=a'与y=G)'的图象关于V轴对称
三、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题
1.与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法
⑴函数y=a阚的定义域与f(x)的定义域相同;
(2)求函数y=a的的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数丫=2、的单调性确定函数y=a烟的值域;
⑶求函数y=f(a")的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即a*的取值范围,由此
构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,即y=f(a*)的定义域;
⑷求函数y=f(a*)的值域,需先利用函数u=a'的单调性确定其值域,即u的取值范围,再确定函数
y=f(u)的值域,即y=f(a*)的值域.(以上a均满足a>0,且a产1)
四、与指数函数有关的函数的单调性问题
1.形如y=a叫a>0,且a#l)的函数的单调性的判断方法:当a>l时,函数u=f(x)的单调递增(减)区
间即为函数y=a网的单调递增(减)区间,•当0<a<l时,函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=a㈣
的单调递增(减)区间.
2.形如y=f(a')(a>0,且a#l)的函数的单调性的判断方法:通过内层函数u=a'的值域
确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的单调区间,再根据复合函数“同增异
减”的规律确定复合函数的单调性.
五、指数帚的大小比较
1.比较指数鬲大小的方法
(1)底数形同,指数不同:利用指数函数的单调性来判断
(2)底数不同,指数相同:利用鬲函数的单调性来判断
(3)底数不同,指数不同:通过中间量来比较
六、指数方程与不等式的解法
1.指数方程的解法
(1)对于a@)=b(a>0,且a产1)型的指数方程,通常将方程两边化为同底数鬲的形式,用指数相等进行
求解
⑵解复杂的指数方程时,常用换元法转化为解一元二次方程.用换元法时要特别
注意“元”的范围,用一元二次方程求解时,要注意对二次方程根的取舍.
2.简单指数不等式的解法
(1)形如af®>a。⑻的不等式,可借助y=a*(a>0,且a#l)的单调性求解;
⑵形如a'®>b的不等式,可将b化成以a为底数的嘉的形式,再借助y=a*(a>0,且aXl)的单调性
求解;
⑶形如ax>b'的不等式,可借助函数y=a'与y=bx(a,b>0,且a,b声1)的图象求解.
2.3对数
一、对数的概念
1.对数的概念:一般地,如果a=N(a>0,且aXl),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logN,
其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.常用对数与自然对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数,并把log1°N记为lgN;
(2)以e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数,并把logeN记为InN.
3.对数与指数的关系
当a>0,a关1时,a=N=x=logN这是指数式与对数式互化的依据.相关结论如下:
(1)负数和0没有对数;⑵log」=0,啕声=%>0,且aKl);
-A噌I、K
N
(2)(3)",=N,logaa=N(a>0,且aXI,N>0).
二、对数的运算性质
1.如果a>0,且akl,M>0,N>0,那么
M
n
(l)loga(MN)=logaM+logaN;(2)log-=logaM-logaN;(3)logaM=nlogaM(neR).
三、对数换底公式
1.对数换底公式:logab=;^(a>0,且aXl;b>0;c>0,且cXl).
iogca
2.相关结论:logb=-^—,lognbm=-logb(a>0,且aXl;b>0,且bWl;n0O).
alogbaana
四、对数的运算
1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的关系
2.对于复杂的算式,可先化简再计算.化简的常用方法:①“拆”,将积(商)的对数拆成两对数之
和(差);②“收”,将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
3.在利用换底公式进行化简、求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底
数进行换底,一般可以选择以10为对数式的底数进行换底.
4.利用换底公式化简与求值的思路:
⑴用对数的运算性质进行部分运算一换成同一底数.
②统一换为常用对数(或自然对数、指定底的对数)一化简、求值
五、对数运算性质的综合应用
1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义和运算性质,尤其要注意
条件和待求式之间的关系.
2.解决对数应用问题时,首先要理解题意,弄清关键词及字母的含义,然后恰当设
未知数,建立数学模型,最后转化为对数问题求解.
2.4对数函数
一、对数函数的概念
1.一般地,函数y=logaX(a>0,且aXl)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是
(0,+8).
二、对数函数的图象与性质
y=logax(a>0,且aXl)
对数函数
0<a<la>l
*
X=\y尸log/
《,
图象0)
0X0(1,0)工
尸她产
x=\
定义域(0,+8)
值域R
过定点过定点(1,0),即x=l时,y=0
单调性在(0,+8)上是减函数在(0,+8)上是增函数
性
质函数值当x>l时,y<0;当x>l时,y>0;
的变化当0<x<l时,y>0当0<x<l时,y<0
y=logx与y=logix的图象关于x轴对称
对称性aa
三、反函数
1.一般地,指数函数y=a'(a>0,且aKl)与对数函数y^ogMa〉。,且aXl)互为反函
数.它们的定义域与值域正好互换.
2.拓展:
⑴互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
当a>l时,函数y=a'在R上是增函数,函数y=log/在。+8)上是增函数;
当0<a<l时,函数y=a"在R上是减函数,函数y=log,x在(0,+8)上是减函数.
(2)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.
四、不同函数增长的差异
y=a*(a>l)y=log,x(a>l)y=kx(k>0)
在(0,+8)上的单调性单调递增单调递增单调递增
图象随X的增大逐渐变“陡”随X的增大逐渐变“缓”直线上升
增长速度y=a'(a>l)的增长速度远远快于y=kx(k>0)的增长速度,y=kx(k>0)的增长
速度快于y=logaX(a>l)的增长速度
结果存在一个%,当x>x()时,有a">kx>logaX
五、对数函数的图象及其应用
1.对数型函数图象过定点问题:求函数y=m+log,f(x)(a>0,且a关1,f(x)>0)的图象所过定点时,
只需令f(x)=l,求出x,即得定点为(x,m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y=l与所给图象相交,比较交点的横坐标即得各个底数的大小关系.
3.函数图象的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或
向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
⑵含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
六、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题
1.对数型函数的定义域
⑴求对数型函数的定义域,要注意真数大于0,即在y=logaf(x)(a>0,且aXI)中应首
先保证f(x)>0;
⑵若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1.
2.求对数型函数值域的常用方法
⑴直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义域、性质的观察,
结合解析式,直接得出函数的值域.
(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logaX)『+nf(logaX)+c(mWO,a>0,且af
1))时,可以用配方法求函数的值域.
⑶单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.
⑷换元法:求形如y=logaf(x)(a>0,且a卉1,f(x)>0)的函数的值域的步骤:
①换元,令u=f(x),利用函数的图象和性质求出u的范围;
②利用的单调性、图象求出v的取值范围.
y=logau
七、与对数函数有关的函数的单调性
1.求与对数函数有关的函数的单调性的要点
⑴单调区间是定义域的子集.
(2)若a>l,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0<@<1,则丫=1叫f(x)的单调性与y=f(x)
的单调性相反.
八、比较对数值的大小
1.比较对数值大小常用的四种方法
⑴同底数的利用对数函数的单调性进行比较.
⑵同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.
⑶底数和真数都不同的,找中间量比较.
⑷若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
九、解对数不等式
1.对数不等式的常见类型及解题方法
形如的不等式,借助函数的单调性求解,如果的取值不确定,需分
(1)logaf(x)>logaby=logaxaa>l
与0<a<l两种情况进行讨论;
形如的不等式,应将化成以为底数的对数式的形式(即b再借助函数
(2)logaf(x)>bbab=logaa),
的单调性求解;
y=logax
⑶形如log“祠>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图象求解.
十、几种常见的函数模型的选择
1.常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是增长速度不变,可称为“直线上升”.
(2)指数函数模型y=a[a>l)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长
速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
⑶对数函数模型y=logMa>l)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增
长速度平缓,可称为“对数增长”.
2.不同的函数模型能刻画现实生活中不同的变化规律
⑴线性函数模型适合描述增长速度不变的变化规律;
(2)指数函数模型适合描述增长速度急剧的变化规律;
⑶对数函数、鬲函数模型适合描述增长速度平缓的变化规律.
因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
2.5函数的应用(二)
一、函数的零点
1.函数的零点的概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=O的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.方程、函数、函数图象之间的关系:方程氏x)=0有实数解=函数y=f(x)有零点=函数y=f(x)的图
象与x轴有公共点.
二、函数零点存在定理
1.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)
在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c£(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的解.
三、用二分法求函数y=f(x)零点的近似值
1.二分法:对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所
在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤
给定精确度叫用二分法求函数y=f(x)零点x°的近似值的一般步骤如下:
⑴确定零点凡的初始区间[a,b],验证f⑻f(b)<0.
⑵求区间(a,b)的中点c.
⑶计算Re),并进一步确定零点所在的区间:
①若f(c)=O(此时Xo=c),则C就是函数的零点;
②若f(a)f⑹<0(此时X°£(a,c)),则令b=c;
③若f⑹f(b)<0(此时xf(c,b)),则令a=c.
⑷判断是否达到精确度£:若|a-b|<£,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2-4.
四、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题
1.设X。X2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,令f(x)=ax?+bx+c
(a>0),则%,X2的分布情况如下表:
根的分布图象等价条件
A>0.
Xj<x<kr(k)>o.
2:ykX
b-
-----<<
#b
二五A>0.
k<Xj<x*f(k)>0,
2N%]:「r
0k二4%
、2a
f(m)>0.
m<Xj<k<x<n/1
2kV,f(k)<0,
0xl',/X2Xf(n)>0
yANO.
f(k,)>0.
Xi,xe(k,k)
212o:%」--f(k,)>0.
专hx
k.<---<k,
占於,2a
\
A=0.
只有一根在(冗,\
\*
k。内
{0
k
'戈f(k)f(kJ<0
五、函数零点个数的判断及应用
1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法
⑴转化为解相应的方程,根据方程的解进行判断.
⑵画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
⑶利用函数零点存在定理进行判断,若函数f(x)在区间ab]上的图象是一条连续不断的曲线,且在
区间(a,b)上单调,满足f(a>f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点.
⑷转化成两个函数图象的交点个数问题.
2.已知函数f(x)的零点个数求参数范围,通常要对已知条件进行变形,变形的方向:
⑴化为常见的基本初等函数;
⑵尽量使参数与变量分离,实在不能分离,也要使含参数的函数解析式尽可能简单.
六、用二分法求方程的近似解
1.二分法求方程近似解的适用条件
⑴在初始区间内函数图象是连续不断的;
⑵函数在初始区间的两个端点的函数值异号,即是变号零点.
2.利用二分法求方程近似解的步骤
⑴构造函数,选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
⑵用列表法清晰地表达函数零点所在的区间,依次进行计算.
⑶求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
⑷区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.
典型例题训练
2
1.(2023•北京昌平•统考二模)已知函数/(x)为奇函数,且当x>0时,/(x)=x2-(,则〃-1)=()
A.1B.-1C.2D.-2
2.(2023秋・北京朝阳•高三统考期末)已知全集。=卜卜>。},集合4={x[l<x<2},则()
A.(-oo,l]u[2,+oo)B.(0,l]U[2,+oo)C.(-oo,l)u(2,+co)D.(0,l)U(2,+<x>)
3.(2023•北京西城•统考一模)下列函数中,在区间(0,+8)上为增函数的是()
A.y=-|x|B.y=x2-2xC.y=sinxD.y=x--
5.(2023•北京平谷•统考一模)下列函数中,是偶函数且在(0,+8)上单调递减的是()
A./(x)=x2x|B./W=±C.D./(x)=1lnx1
6.(2023秋・北京昌平•高三统考期末)下列函数中,是奇函数且在定义域内是减函数的是()
A.—B.y=7C.”布D.产唾户
X2
7.(2023・北京顺义•高三统考期末)函数〃x)=e'-e-'的大致图象是()
8.(2023•北京顺义•统考一模)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+©)上单调递增的是()
A.y=cosxB.V=ewC.y=lgxD.y=-
X
9.(2023•北京房山・统考二模)高为H、满缸水量为P的鱼缸的轴截面如图所示,现底部有一个小洞,满缸
水从洞中流出,若鱼缸水深为〃时水的体积为v,则函数丫=/(力)的大致图像是
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
11.(2023秋•北京海淀•高三统考期末)已知函数在下列区间中,包含/(x)零点的区间是
X
()
12.(2023•北京海淀•统考二模)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()
2
A.y=lgxB.y=—C.y=2|x|D.y=tanx
x
13.(2023•北京石景山•统考一模)下列函数中,是奇函数且在定义域内单调递减的是()
A./(x)=sinxB./(x)=2lv|
C./(x)=x3D./(x)=-1(e-x-ej
14.(2023秋•北京丰台•高三统考期末)下列函数是偶函数,且在区间(0』)上单调递增的是()
A.y=l-x2B.y=tanx
C.y=xcosxD.y=ex+e~x
15.(2023•北京丰台•统考一模)己知/(x)是定义在R上的奇函数,当x〉0时,/
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