函数及其运用学案-北京市高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《函数及其运用》

知识点总结

1.1函数的概念及其表示

一、函数的概念

1.函数的有关概念

函数的定义一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数X,按照某种

确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A—B

为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法y=f(x),xGA.f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘x

定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

值域函数值的集合｛f(x)|xGA｝叫做函数的值域

2.函数的三要素

(1)一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.

(2)因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是

同一个函数.

3.区间的概念

(1)满足不等式aWxWb,a<x<b,aWx<b,a<xWb(a,beR,a<b)的实数x的集合可以用区间分

别表示为[a,b],(a,b),[a,b),(a,b].

(2)实数集R可以用区间表示为(-8,+00).

(3)满足不等式x2a,x>a,xwb,x<b的实数x的集合可以用区间分别表示为[a,+«)),(a,+

8),(-8,b],(-oo,b).

二、函数的表示法

1.函数的三种表示方法

表示法定义特点

解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系简单、全面，易求函数值

列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系无需计算，查表可得函数值

图象法用图象表示两个变量之间的对应关系形象、直观，便于研究函数的性质

2.分段函数：已知函数y=f(x),xEA,如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关

系，那么我们称这样的函数为分段函数.

(1)分段函数表示的是一个函数，在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出

各段自变量的取值范围，其中各段函数自变量的取值范围的交集是空集.

⑵画分段函数图象时，应分别作出每一段函数的图象.

三、求函数的定义域

1.已知函数解析式求定义域

⑴如果函数解析式是整式，那么在没有指明它的定义域的情况下，函数的定义域是实数集R.

⑵如果函数解析式含分式或0次鬲，那么函数的定义域是使分母或鬲的底数不为零的实数的集合.

⑶如果函数解析式仅含偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

⑷如果函数解析式是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实

数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).

⑸由实际背景确定的函数，其定义域不仅要使解析式有意义，还要使自变量满足实际意义.

2.求抽象函数的定义域

⑴求抽象函数的定义域，要明确以下几点：

①函数f(x)的定义域是指x的取值范围.

②函数f((p(x))的定义域是指x的取值范围，而不是(p(x)的取值范围.

③f(t),f((p(x)),f(h(x))三个函数中的t,cp(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.

(2)抽象函数定义域的求解方法：

①已知f(x)的定义域为A,求f((p(x))的定义域，实质是已知甲(x)的取值范围为A,求x的取值范围.

②已知f((p(x))的定义域为B,求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B,求(p(x)的取值范围，

此范围就是f(x)的定义域.

③已知f(cp(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域，实质是已知cp(x)中的x的取值范围为C,求出cp(x)

的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域.

四、求函数的值域

1.求函数值域的常用方法

⑴观察法：对于一些比较简单的函数，可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域.

⑵图象法：画出函数的图象，利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域.

⑶配方法：此方法是求二次函数值域的基本方法，通常把函数式通过配方转化成完全平方式与常量

和差的形式.

⑷分离常数法：此方法主要是针对有理分式形式的函数，将“有理分式”转化为“反比例函数”的

形式，便于求值域.

⑸换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±V^F王五通过换元把它们转化为我们熟悉的函数，间接

求出原函数的值域，注意换元后新元的取值范围.

除此之外还有判别式法、反表示法等，解题时可根据题目特点灵活选择并应用.

五、求函数的解析式

1.当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式.

(1)一次函数解析式可设为f(x)=ax+b(a#O)；

(2)反比例函数解析式可设为f(x)=；(k^O)；

(3)二次函数解析式可根据条件设为①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0O),

②顶点式：f(x)=a(x-hy+k(aXO),③交点式：f(x)=a(x-xJ(x-X2)(aW0).

2.函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式.

⑴代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x)

中的x.

(2)换元法:已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)

代入f(g(x))中，得到f(t)的解析式，再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.

⑶配凑法：将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式,

然后以x代替g(x),即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等.

⑷消元法(方程组法)：已知f(x)与fQ)或f(-x)的解析式，可根据已知条件用;或-x替换x,再构造出

另外一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f(x).

⑸赋值法：根据题目的特征，可对变量赋特殊值，由特殊到一般寻找普遍规律，从而

根据找出的一般规律求出函数解析式.主要适用于抽象函数求解析式.

六、正确理解与应用分段函数解决问题

1.正确理解分段函数

⑴分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是根据自变量的不同范围分成了几段而已

(2)研究分段函数时，先分段考虑，再整体把握.

2.分段函数的求值策略

⑴已知自变量的值求函数值的步骤：

①确定自变量属于哪一个取值范围；

②代入该取值范围对应的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x。))的形式时，应

从内到外依次求值.

②已知函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解

析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.

1.2函数的基本性质

1.2.1单调性与最大(小)值

一、函数的单调性

1.一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间DGI：

2.如果V%,X2GD,当看<X?时，都有f(xj<f(x)那么就称函数f(x)在区间D上单调递

增(如图①)；

3.如果％X2ED,当X—时,都有f(xJ>f(X2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递

减(如图②).于y

,y善）/

L

图1飒)曲)图②的)曲)

%]%2X

0%2X0

4.特别地，当函数y=f(x)在它的定义域上单调递增(单调递减)时，我们就称它是增函数(减函数).如

果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=%x)在这一区间具有(严格的)单调性,

区间D叫做y=f(x)的单调区间.

二、函数的最大(小)值

1.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：VxGI,都有f(x)W(N)M,3x0GI,

使得f(Xo)=M,那么，我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值.

三、判断或证明函数的单调性

1.判断函数单调性的方法

⑴图象法：根据函数图象的升降情况进行判断.

⑵直接法：运用已知结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比

例函数的单调性均可直接得出.

⑶性质法：①f(x),g(x)在公共区间上的单调性如下：

y=f(x)y=g(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)

增增增

增减增

减减减

减增减

②复合函数单调性的判断依据如下：

由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x)),其单调性的判断方法如下：

u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))

增增增

增减减

减增减

减减增

复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时单调递增，相异时单调递减.注

意函数的定义域.

2.利用定义证明函数单调性的步骤

(1)取值：设％,X2是所给区间内的任意两个值，且为<X2；

(2)作差、变形：计算f(xj-f(x)并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负

的关系式；

(3)判断符号:确定f(x>f(X2)的符号；

⑷下结论：根据f(X>f(X2)的符号与增函数、减函数的定义确定单调性.

四、函数单调性的应用

1.利用函数的单调性求解最大(小)值

(1)若函数f(x)在区间［a,b］上单调递增(减)，则函数f(x)在x=a时取得最小(大)值

f(a),在x=b时取得最大(小)值f(b).

(2)若函数f(x)在区间［a,b］上单调递减(增)，在区间［b,c］上单调递增(减),则函数f(x)在x=b时取

得最小(大)值f(b).

2.利用函数的单调性解不等式

利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于

未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.

3.根据函数的单调性确定参数的取值范围

(1)利用单调性的定义：在单调区间内任取X］x2,且％<X2，由f(xJ-f(X2)<0

(或f(xJ-f(X2)>0)恒成立求参数的取值范围.

(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数的图象被对称轴一分为二，可根

据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)，求出参数的取值范

围.

注意：①若某个函数在区间［a,b］上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.②对

于定义域上单调的分段函数求参问题，一般从两方面考虑：一方面每个分段区间上函数具有相同的

单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑分界点处函数值之间的大小关系，由此列出另外的式

子，从而解得参数的取值范围.

五、含参数的二次函数在某闭区间上的最大(小)值

1,解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，再

由a的符号确定其图象的开口方向，根据对称轴方程x=h得出顶点的位置，再根据

函数的定义域结合大致图象确定最大(小)值.

2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有下列几种类型：

⑴区间固定，对称轴变动，求最值；

(2)对称轴固定，区间变动，求最值；

⑶最值固定，区间或对称轴变动，求参数.

求解时通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.

1.2.2奇偶性

一、奇函数、偶函数的定义

1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果Vx地,都有-xGI,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函

数.

2.一般地，设函数f(X)的定义域为I,如果VXGI,都有-xGI,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇

函数.

注意：奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称.

二、奇函数、偶函数的图象特征

1.一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

2.一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.

三、判断函数的奇偶性

1.判断函数奇偶性的常见方法才

否

非奇非偶函数

⑴定义法：

奇函数

⑵图象法：

偶函数

①关于原点对称-f(X)为奇函数

/H)与

是

②关于V轴对称一f(x)为偶函数加)的非奇非

关系目/H)可㈤偶函数

2.分段函数奇偶性的判断

/-%)=#)既是奇函数

判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个绿

</(-%)蹴%)又是偶函数

间上任取自变量，再向对称区间转化，若函数在x=0

有定义，还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时，必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)

或f(-x)=f(x)的特征，也可以作出函数图象，结合对称性判断.

四、函数奇偶性的应用

函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性

时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.

1.由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数

法求参数；若定义域中含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为。求参数.

2.由函数的奇偶性求函数值：由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用

f(-x)=-f(X)或f(-x)=f(x)求解；若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函

数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.

3.由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤

⑴在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间.

⑵把-x对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得f(-x).

(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).

五、函数奇偶性与单调性的综合应用

1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

2.区间［a,b］和［-b,-a］关于原点对称.

(1)若f(x)为奇函数,且在［a,b］上有最大值M,则f(x)在［-b,-a］上有最小值-M；

⑵若f(x)为偶函数，且在［a,b］上有最大值M,则f(x)在［-b,-a］上有最大值M.

3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数

的同一个单调区间内，然后利用单调性比较.

注意：由f(xj>f(x，或f(xj<f(x)根据函数的单调性列出不等式(组)时，要注意函数定义域对参数的

影响.

1.3幕函数

一、骞函数的概念

1.一般地，函数y=x。叫做鬲函数，其中x是自变量，a是常数.

二、五个帚函数的性质

231

鬲函数y=xy=xy二xy=x2y=x"

图象

rJL二

\0^X0X

定义域RRR[0,+8)(-00,0)U(0,+8)

值域R[0.+8)R[0,+8)(-00,0)U(0,+8)

单调性增函数在［0,+8)上单调递增函数增函数在(0,+8)上单调递

增，在(-8,0］上单减，在(-8,0)上单

调递减调递减

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

共同点图象都经过点(1,1)

三、募函数的图象

解决鬲函数图象问题应把握的两个原则

1.在第一象限内，根据鬲函数的图象确定哥指数a的范围，依据图象高低判断鬲指

数的大小，相关结论如下：

⑴当a>0时，鬲函数的图象过原点，并且在区间［0,+8)上单调递增.在第一象限，当o(>l时，鬲

函数的图象下凸；

当a=l时，鬲函数的图象为直线y=x在第一象限的部分；

当0<a<l时，鬲函数的图象上凸.

当a<0时，鬲函数在区间(0,+8)上单调递减，且函数在原点处无意义.

当a=0时，y=x°=l(x#O)的图象为不包括点(0,1)且平行于x轴的直线.

(2)在第一象限内，鬲函数的图象如图所示，作直线x=a(a>l),它同各鬲

函数图象相

交，按交点从下到上的顺序，鬲指数依次增大.

2.利用定义域及奇偶性确定鬲函数在其他象限的图象.若鬲函数在(-8,

0)上无意义，则其在(-8,0)上的图象不存在；若鬲函数在(-8,0)上有

意义，当函数为偶函数(a为偶数)时，函数图象一定出现在第二象限，当

函数为奇函数(a为奇数)时，函数图象一定出现在第三象限.

(1)对于鬲函数yuxTaGR),当o(=l时，y=x的图象是直线；当a=0时，y=x°=l

(xKO)的图象是直线(不包括点(0,1)).其他一般情况的图象如表格所示：

a=-a<00<a<la>l

p

P，q都是奇数yk7

JJI0x

0x0x

P为奇数，

q为偶数z

Jk0X0X

P为偶数，/

q为奇数

1IX

XX

四、运用鬲函数的性质解决相关问题

1.鬲函数的性质与参数a可以互相确定

鬲函数y=x"中只有一个参数o(,鬲函数的所有性质都与a的取值有关，故可由a

确定鬲函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.反过来，也可由鬲函数的性质去限制a的取值：

利用鬲函数的单调性求出a的取值范围；由奇偶性结合所给条件确定a的值.

1.4函数的应用（一）

一、已知函数类型解决函数应用问题

1.已知函数类型的应用问题，常用待定系数法求出函数解析式，再用函数知识解决问题

2.几类常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数，a产0)

二次函数模型f(x)=ax，bx+c(a,b,c为常数，aWO)

反比例函数模型f(x)=:k(kWO)

鬲函数型模型f(x)=ax"+b(a,b,a为常数，aXO)

二、未知函数类型解决函数应用问题

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：（1）审题；（2）建模；（3）

求模；⑷还原.

三、建立函数模型解决实际应用问题

在实际应用问题中，若涉及的两个变量之间的关系符合已知函数模型，如一次函数、二次函数、

反比例函数、鬲函数等，则可根据以下步骤解决：

⑴根据题意设出函数解析式，并利用待定系数法求解函数解析式；

②根据函数解析式，结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题.

在诸多函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.在根据实际问题得到二次函数的解析式，可以

利用配方法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决利润最大、用料最省等实际问题.

四、利用分段函数解决实际应用问题

1.在一些实际问题中，函数值与自变量的对应关系随着自变量取值的不同而不同，

如：分段计费、分段税率等问题，解决此类问题常需构造分段函数模型，利用分段

函数解决问题.

2.应用分段函数时的三个注意点：

⑴分段函数的“段”一定要分得合理，对自变量的分类要不重不漏；

（2）分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集；

⑶分段函数的值域的求法：先逐段求函数值的范围，再求各段范围的并集得到函数的值域.

3.利用分段函数解决实际问题时，先在自变量的每段取值范围中解决相应的问题，再综合各段的结

论，得到问题的最终解.

2.1指数

一、根式

1.n次方根

⑴定义：一般地，如果xn二a,那么x叫做a的n次方根，其中n>l,且nGN;

(2)表示:

n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围

n为奇数R

n为偶数±Va[0,+8)

注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作强=0.

2.根式

⑴定义：式子强叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

⑵性质(其中n>l,且n£N*):①(%)n=a.

aa>0

{一a,aV0.

二、分数指数孱

1.正数的正分数指数鬲：a范好(a>0,m,nGN；n>l).

m11

2,正数的负分数指数鬲：a-K=w=F(a>0,m,nEN',n>l).

anva

规定：0的正分数指数鬲等于0,0的负分数指数鬲没有意义.

三、实数指数孱

1.一般地，无理数指数鬲a“(a>0,a为无理数)是一个确定的实数.这样指数鬲a”(a>0)中指数x的

取值范围就从整数逐步拓展到了实数.实数指数鬲是一个确定的实数.

四、实数指数属的运算性质

1.aras=arts(a>0,r,sGR)；2.(ar)s=ars(a>0,r,sGR)；

3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,r£R).4.拓展：$=ars(a>0,r,sGR).

五、根式与分数指数募的化简、求值

1.运用根式的性质解题时的注意点

⑴分清根式是奇次根式还是偶次根式：

n>l,且n为奇数时，(“)"=E=a,a为任意实数；

n>l,且n为偶数,a，0时，(%)“才有意义,且函六a；

n>l,且n为偶数，a为任意实数时，世均有意义，且*1T二|a|.

⑵注意变式、整体代换，以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的运用，

必要时要进行分类讨论.

2.根式与分数指数鬲化简、求值的技巧

⑴将根式化为鬲的形式，小数指数鬲化为分数指数鬲，负指数鬲化为正指数鬲的倒数.

(2)底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用鬲的形式表

示，便于利用指数鬲的运算性质.

注意：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.

六、指数幕的条件求值问题

解决指数鬲的条件求值问题的一般方法——整体代换法

1.将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式

的值.整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式的

结构特点，灵活运用恒等式是关键.

2.常用的变形公式如下：

1111

(I)a±2a2b2+b=(a2±bz)2;

1_1.1_1

(2)(az+b2)(a2-b2)=a-b；

331111

(3)a2+b2=(a2+b2)(a-a2b2+b)；

331111.

(4)a2-b2=(a2-b2)(a+a2b2+b).

2.2指数函数

一、指数函数的概念

1.一般地，函数y=a'(a>0,且a卉1)叫做指数函数，其中指数x是自变量定义域是R.

二、指数函数的图象和性质

y=a*(a>0,且aXI)

指数函数

0<a<la>l

y=ax

yy尸a*

图象

(0,1)'y=1

(0,1)、

0X

0X

定义域R

值域(0,+8)

过定点过定点。1),即x=0时，y=l

单调性在R上是减函数在R上是增函数

性

质函数值当x>0时，0<y<l；当x>0时，y>l；

的变化当x<0时,y>l当x<0时，0<y<l

对称性y=a'与y=G)'的图象关于V轴对称

三、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题

1.与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法

⑴函数y=a阚的定义域与f(x)的定义域相同；

(2)求函数y=a的的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数丫=2、的单调性确定函数y=a烟的值域；

⑶求函数y=f(a")的定义域，需先确定y=f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即a*的取值范围，由此

构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，即y=f(a*)的定义域；

⑷求函数y=f(a*)的值域，需先利用函数u=a'的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数

y=f(u)的值域，即y=f(a*)的值域.(以上a均满足a>0,且a产1)

四、与指数函数有关的函数的单调性问题

1.形如y=a叫a>0,且a#l)的函数的单调性的判断方法：当a>l时，函数u=f(x)的单调递增(减)区

间即为函数y=a网的单调递增(减)区间，•当0<a<l时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=a㈣

的单调递增(减)区间.

2.形如y=f(a')(a>0,且a#l)的函数的单调性的判断方法：通过内层函数u=a'的值域

确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异

减”的规律确定复合函数的单调性.

五、指数帚的大小比较

1.比较指数鬲大小的方法

(1)底数形同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断

(2)底数不同，指数相同：利用鬲函数的单调性来判断

(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较

六、指数方程与不等式的解法

1.指数方程的解法

(1)对于a@)=b(a>0,且a产1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数鬲的形式，用指数相等进行

求解

⑵解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程.用换元法时要特别

注意“元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对二次方程根的取舍.

2.简单指数不等式的解法

(1)形如af®>a。⑻的不等式,可借助y=a*(a>0,且a#l)的单调性求解；

⑵形如a'®>b的不等式，可将b化成以a为底数的嘉的形式，再借助y=a*(a>0,且aXl)的单调性

求解；

⑶形如ax>b'的不等式，可借助函数y=a'与y=bx(a,b>0,且a,b声1)的图象求解.

2.3对数

一、对数的概念

1.对数的概念：一般地，如果a=N(a>0,且aXl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logN,

其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.常用对数与自然对数

(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log1°N记为lgN；

(2)以e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为InN.

3.对数与指数的关系

当a>0,a关1时，a=N=x=logN这是指数式与对数式互化的依据.相关结论如下：

(1)负数和0没有对数；⑵log」=0,啕声=%>0,且aKl);

-A噌I、K

N

(2)(3)",=N,logaa=N(a>0,且aXI,N>0).

二、对数的运算性质

1.如果a>0,且akl,M>0,N>0,那么

M

n

(l)loga(MN)=logaM+logaN；(2)log-=logaM-logaN；(3)logaM=nlogaM(neR).

三、对数换底公式

1.对数换底公式：logab=；^(a>0,且aXl；b>0；c>0,且cXl).

iogca

2.相关结论:logb=-^—,lognbm=-logb(a>0,且aXl；b>0,且bWl；n0O).

alogbaana

四、对数的运算

1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的关系

2.对于复杂的算式，可先化简再计算.化简的常用方法：①“拆”，将积(商)的对数拆成两对数之

和(差)；②“收”，将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.

3.在利用换底公式进行化简、求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底

数进行换底，一般可以选择以10为对数式的底数进行换底.

4.利用换底公式化简与求值的思路：

⑴用对数的运算性质进行部分运算一换成同一底数.

②统一换为常用对数(或自然对数、指定底的对数)一化简、求值

五、对数运算性质的综合应用

1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义和运算性质，尤其要注意

条件和待求式之间的关系.

2.解决对数应用问题时，首先要理解题意，弄清关键词及字母的含义，然后恰当设

未知数，建立数学模型，最后转化为对数问题求解.

2.4对数函数

一、对数函数的概念

1.一般地，函数y=logaX(a>0,且aXl)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是

(0,+8).

二、对数函数的图象与性质

y=logax(a>0,且aXl)

对数函数

0<a<la>l

*

X=\y尸log/

《,

图象0)

0X0(1,0)工

尸她产

x=\

定义域(0,+8)

值域R

过定点过定点(1,0),即x=l时，y=0

单调性在(0,+8)上是减函数在(0,+8)上是增函数

性

质函数值当x>l时，y<0；当x>l时,y>0;

的变化当0<x<l时，y>0当0<x<l时，y<0

y=logx与y=logix的图象关于x轴对称

对称性aa

三、反函数

1.一般地，指数函数y=a'(a>0,且aKl)与对数函数y^ogMa〉。,且aXl)互为反函

数.它们的定义域与值域正好互换.

2.拓展：

⑴互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.

当a>l时，函数y=a'在R上是增函数，函数y=log/在。+8)上是增函数；

当0<a<l时，函数y=a"在R上是减函数，函数y=log,x在(0,+8)上是减函数.

(2)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.

四、不同函数增长的差异

y=a*(a>l)y=log,x(a>l)y=kx(k>0)

在(0,+8)上的单调性单调递增单调递增单调递增

图象随X的增大逐渐变“陡”随X的增大逐渐变“缓”直线上升

增长速度y=a'(a>l)的增长速度远远快于y=kx(k>0)的增长速度，y=kx(k>0)的增长

速度快于y=logaX(a>l)的增长速度

结果存在一个％,当x>x()时,有a">kx>logaX

五、对数函数的图象及其应用

1.对数型函数图象过定点问题：求函数y=m+log,f(x)(a>0,且a关1,f(x)>0)的图象所过定点时，

只需令f(x)=l,求出x,即得定点为(x,m).

2.根据对数函数图象判断底数大小的方法

作直线y=l与所给图象相交，比较交点的横坐标即得各个底数的大小关系.

3.函数图象的变换规律

(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或

向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.

⑵含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.

六、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题

1.对数型函数的定义域

⑴求对数型函数的定义域，要注意真数大于0,即在y=logaf(x)(a>0,且aXI)中应首

先保证f(x)>0；

⑵若底数中也含有变量，则底数应大于0且不等于1.

2.求对数型函数值域的常用方法

⑴直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，

结合解析式，直接得出函数的值域.

(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logaX)『+nf(logaX)+c(mWO,a>0,且af

1))时，可以用配方法求函数的值域.

⑶单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.

⑷换元法：求形如y=logaf(x)(a>0,且a卉1,f(x)>0)的函数的值域的步骤：

①换元，令u=f(x),利用函数的图象和性质求出u的范围；

②利用的单调性、图象求出v的取值范围.

y=logau

七、与对数函数有关的函数的单调性

1.求与对数函数有关的函数的单调性的要点

⑴单调区间是定义域的子集.

(2)若a>l,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；若0<@<1,则丫=1叫f(x)的单调性与y=f(x)

的单调性相反.

八、比较对数值的大小

1.比较对数值大小常用的四种方法

⑴同底数的利用对数函数的单调性进行比较.

⑵同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.

⑶底数和真数都不同的，找中间量比较.

⑷若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

九、解对数不等式

1.对数不等式的常见类型及解题方法

形如的不等式，借助函数的单调性求解,如果的取值不确定,需分

(1)logaf(x)>logaby=logaxaa>l

与0<a<l两种情况进行讨论；

形如的不等式，应将化成以为底数的对数式的形式(即b再借助函数

(2)logaf(x)>bbab=logaa),

的单调性求解；

y=logax

⑶形如log“祠>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用图象求解.

十、几种常见的函数模型的选择

1.常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是增长速度不变，可称为“直线上升”.

(2)指数函数模型y=a[a>l)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长

速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.

⑶对数函数模型y=logMa>l)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增

长速度平缓，可称为“对数增长”.

2.不同的函数模型能刻画现实生活中不同的变化规律

⑴线性函数模型适合描述增长速度不变的变化规律；

(2)指数函数模型适合描述增长速度急剧的变化规律；

⑶对数函数、鬲函数模型适合描述增长速度平缓的变化规律.

因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.

2.5函数的应用(二)

一、函数的零点

1.函数的零点的概念：对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=O的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

2.方程、函数、函数图象之间的关系：方程氏x)=0有实数解=函数y=f(x)有零点=函数y=f(x)的图

象与x轴有公共点.

二、函数零点存在定理

1.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)

在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c£(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的解.

三、用二分法求函数y=f(x)零点的近似值

1.二分法：对于在区间［a,b］上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所

在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2.用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤

给定精确度叫用二分法求函数y=f(x)零点x°的近似值的一般步骤如下：

⑴确定零点凡的初始区间［a,b］,验证f⑻f(b)<0.

⑵求区间(a,b)的中点c.

⑶计算Re),并进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)=O(此时Xo=c),则C就是函数的零点；

②若f(a)f⑹<0(此时X°£(a,c)),则令b=c；

③若f⑹f(b)<0(此时xf(c,b)),则令a=c.

⑷判断是否达到精确度£：若|a-b|<£,则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2-4.

四、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题

1.设X。X2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根，令f(x)=ax?+bx+c

(a>0),则％,X2的分布情况如下表：

根的分布图象等价条件

A>0.

Xj<x<kr(k)>o.

2：ykX

b-

-----<<

#b

二五A>0.

k<Xj<x*f(k)>0,

2N%]:「r

0k二4%

、2a

f(m)>0.

m<Xj<k<x<n/1

2kV,f(k)<0,

0xl',/X2Xf(n)>0

yANO.

f(k,)>0.

Xi,xe(k,k)

212o：%」--f(k,)>0.

专hx

k.<---<k,

占於,2a

\

A=0.

只有一根在(冗，\

\*

k。内

{0

k

'戈f(k)f(kJ<0

五、函数零点个数的判断及应用

1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法

⑴转化为解相应的方程，根据方程的解进行判断.

⑵画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数.

⑶利用函数零点存在定理进行判断，若函数f(x)在区间ab］上的图象是一条连续不断的曲线，且在

区间(a,b)上单调，满足f(a>f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点.

⑷转化成两个函数图象的交点个数问题.

2.已知函数f(x)的零点个数求参数范围，通常要对已知条件进行变形，变形的方向：

⑴化为常见的基本初等函数；

⑵尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数解析式尽可能简单.

六、用二分法求方程的近似解

1.二分法求方程近似解的适用条件

⑴在初始区间内函数图象是连续不断的；

⑵函数在初始区间的两个端点的函数值异号，即是变号零点.

2.利用二分法求方程近似解的步骤

⑴构造函数，选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.

⑵用列表法清晰地表达函数零点所在的区间，依次进行计算.

⑶求出满足精确度的方程的解所在的区间M.

⑷区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.

典型例题训练

2

1.(2023•北京昌平•统考二模)已知函数/(x)为奇函数，且当x>0时，/(x)=x2-(,则〃-1)=()

A.1B.-1C.2D.-2

2.(2023秋・北京朝阳•高三统考期末)已知全集。=卜卜>。},集合4={x[l<x<2},则()

A.(-oo,l]u[2,+oo)B.(0,l]U[2,+oo)C.(-oo,l)u(2,+co)D.(0,l)U(2,+<x>)

3.（2023•北京西城•统考一模）下列函数中，在区间（0,+8）上为增函数的是（）

A.y=-|x|B.y=x2-2xC.y=sinxD.y=x--

5.（2023•北京平谷•统考一模）下列函数中，是偶函数且在（0,+8）上单调递减的是（）

A./（x）=x2x|B./W=±C.D./（x）=1lnx1

6.（2023秋・北京昌平•高三统考期末）下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（）

A.—B.y=7C.”布D.产唾户

X2

7.（2023・北京顺义•高三统考期末）函数〃x）=e'-e-'的大致图象是（）

8.（2023•北京顺义•统考一模）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+©）上单调递增的是（）

A.y=cosxB.V=ewC.y=lgxD.y=-

X

9.（2023•北京房山・统考二模）高为H、满缸水量为P的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸

水从洞中流出，若鱼缸水深为〃时水的体积为v,则函数丫=/（力）的大致图像是

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

11.（2023秋•北京海淀•高三统考期末）已知函数在下列区间中，包含/（x）零点的区间是

X

()

12.（2023•北京海淀•统考二模）下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上单调递增的是（）

2

A.y=lgxB.y=—C.y=2|x|D.y=tanx

x

13.（2023•北京石景山•统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）

A./（x）=sinxB./（x）=2lv|

C./（x）=x3D./（x）=-1（e-x-ej

14.（2023秋•北京丰台•高三统考期末）下列函数是偶函数，且在区间（0』）上单调递增的是（）

A.y=l-x2B.y=tanx

C.y=xcosxD.y=ex+e~x

15.（2023•北京丰台•统考一模）己知/（x）是定义在R上的奇函数，当x〉0时，/