初中数学试题大全（八十四）图形的相似难题

84初中数学组卷：图形的相似难题

一.选择题（共10小题）

1.如图，在直角梯形ABCD中，DC〃AB,NDAB=90°,AC±BC,AC=BC,ZABC

的平分线分别交AD、AC于点E,F,则型的值是（)

EF

A.^2~1B.2+V2C.&+1D.V2

2.如图，^ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1,M在AC边

上，CM：MA=1：2,BM交AD,AE于H,G,则BH：HG：GM等于()

A.3：2：IB.5：3：IC.25：12：5D.51：24：10

3.如图，^ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为NBAC的角平分线.若

NABE=NC,AE：ED=2：1,则4BDE与^ABC的面积比为何？（）

A.1：6B.1：9C.2：13D.2：15

4.如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分NBAF交BC于点E,且

DE±AF,垂足为点M,BE=3,AE=2泥，则MF的长是（)

A.V15B.1D.2/^.

1015

5.如图，AB是半圆。的直径，D,E是半圆上任意两点，连结AD,DE,AE与

BD相交于点C,要使4ADC与4ABD相似，可以添加一个条件.下列添加的条

件其中错误的是（）

A.ZACD=ZDABB.AD=DEC.AD2=BD»CDD.CD・AB=AC・BD

6.将三角形纸片AABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，,

折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8,若以点I,F,C为顶点的三角形与^ABC相

似，那么BF的长度是（）

777

7.如图AABCm△□£（：,公共顶点为C,B在DE上，则有结论①NACD=/BCE=

ZABD；（2）ZDAC+ZDBC=180°；③△ADCsaBEC；④CD，AB,其中成立的是（）

C.只有①和②D.①②③④

8.如图，正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶

点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）

A.6B.5C.2V?D.V34

9.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的

对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应

边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.

对于两人的观点，下列说法正确的是（）

A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对

10.如图，在^ABC中，CD±AB,且CD?=AD・DB,AE平分NCAB交CD于F,Z

EAB=NB,CN=BE.①CF=BN；②NACB=90°；③FN〃AB；@AD2=DF»DC.则下歹U

结论正确的是（）

A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③

二.填空题（共10小题）

11.如图，在ZXABC中,ZBAC=60°,ZABC=90°,直线Ii〃l2〃b，k与1之间距

离是1,1与b之间距离是2,且I。Lh分另U经过点A,B,C,则边AC的长为.

A

1

12.如图，矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上.若BC=3,AD=2,EF=2EH,

3

那么EH的长为

13.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF±AC,垂足为E,必LACEF

AB2

c

的面积为Si，AAEB的面积为S2，则一L的值等于

S2

14.在^ABC中，AB=6cm,AC=5cm,点D、E分别在AB、AC±.若4ADE与4

ABC相似，且SAADE：S四边形BCED=1：8,贝UAD=cm.

15.如图，菱形ABCD中，AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF,

连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结论①^ABF^4CAE,②

ZAHC=120°,③AH+CH=DH,@AD2=OD»DH中，正确的是.

16.如图，在正方形ABCD中，4BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交

AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论：

①4ABE之ADCF；②空=3；③DP2=PH・PB；④一辿生_=立二£

PH5S正方形皿⑪4

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

AFEr>

BC

17.一块直角三角板ABC按如图放置,顶点A的坐标为（0,1），直角顶点C的

坐标为（-3,0）,ZB=30°,则点B的坐标为______

18.如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边，按逆时

针方向作矩形ABCD的相似矩形ABiJC,再连接AQ,以对角线AJ为边作矩形

ABiCiC的相似矩形AB2C2CI，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积

为_______.

19.如图所示，在^ABC中，BC=6,E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线

EF上，BP交CE于D,ZCBP的平分线交CE于Q,当CQ=JLCE时，EP+BP=

3

20.如图，在矩形ABCD中，BC=V2AB,NADC的平分线交边BC于点E,AH±

DE于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O.给出下列命

题：

①NAEB=NAEH；②DH=2/EH；(3)H0=1AE；④BC-BF=MEH

其中正确命题的序号是(填上所有正确命题的序号).

三.解答题（共10小题）

21.已知点E在AABC内，ZABC=ZEBD=a,ZACB=ZEDB=60°,ZAEB=150°,

ZBEC=90°.

(1)当a=60。时(如图1),

①判断AABC的形状，并说明理由；

②求证：BD=V3AE；

(2)当a=90。时(如图2),求毁的值.

AE

22.在Rt^ABC中，NBAC=90。，过点B的直线MN〃AC,D为BC边上一点，连

接AD,作DELAD交MN于点E,连接AE.

(1)如图①，当NABC=45°时，求证：AD=DE；

(2)如图②，当NABC=30。时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；

(3)当NABC=a时，请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含a的三角函

数表示)

23.如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点

A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B

开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时

间为t秒.

(1)求直线AB的解析式；

(2)当t为何值时，△APQ与^AOB相似？

24.如图，在RtAABC中，NB=90。，AC=60,AB=30.D是AC上的动点，过D

作DFLBC于F,过F作FE〃AC,交AB于E.设CD=x,DF=y.

(1)求y与x的函数关系式；

(2)当四边形AEFD为菱形时，求x的值；

25.已知在^ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,

过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.

(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQPS^ABC；

(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.

26.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEXBC,垂足为E,连接DE,F

为线段DE上一点，且NAFE=NB.

(1)求证：△ADFs^DEC；

(2)若AB=8,AD=6«,AF=4«,求AE的长.

27.如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，NA=NC=90。，BD±BE,AD=BC.

(1)求证：AC=AD+CE；

(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点，连接DP,作PQ,DP,交直线

BE于点Q；

(i)当点P与A、B两点不重合时，求理的值；

PQ

(ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)

长.(直接写出结果，不必写出解答过程)

28.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,Rt^BAP中，NBAP=90。，已知NCBO=/ABP,

BP交AC于点O,E为AC上一点，且AE=OC.

(1)求证：AP=AO；

(2)求证：PE±AO；

(3)当AE=aAC,AB=10时，求线段BO的长度.

29.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加

工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC

上.

(1)求证：△AEFsaABC；

(2)求这个正方形零件的边长；

(3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少？

30.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm.点E、F、G分别从点A、B、C

三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动.点E、G的速度均为2cm/s,点F

的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移

动.设移动开始后第t秒时，4EFG的面积为S(cm?)

(1)当t=1秒时，S的值是多少？

(2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角

形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由.

84初中数学组卷：图形的相似难题

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2014•泸州）如图，在直角梯形ABCD中,DC〃AB,ZDAB=90°,AC±BC,

AC=BC,NABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则好的值是（）

EF

【分析】作FGLAB于点G,由AE〃FG,得出现=电，求出RtaBGF之Rt^BCF,

EFGA

再由AB=V2BC求解.

【解答】解：作FGLAB于点G,

VZDAB=90°,

...AE〃FG,

BF;BG,

EF蕊'

VAC±BC,

AZACB=90°,

又：BE是NABC的平分线，

AFG=FC,

在RtABGF和RtABCF中，

fBF=BF

lCF=GF

ARtABGF^RtABCF(HL),

.*.CB=GB,

VAC=BC,

，NCBA=45°,

.•.AB=&BC,

•BF_BG_BC=1

*,EFGAV2BC-BCV2-1

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识,

解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB,AB=J^BC再利用比例式求解.

2.（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：

EC=3：2：1,M在AC边上，CM：MA=1：2,BM交AD,AE于H,G,则BH：

HG：GM等于（）

【分析】连接EM,根据已知可得△BHDsaBME,ACEM^ACDA,根据相似比

从而不难得到答案.

【解答】解：连接EM,

CE：CD=CM：CA=1：3

AEM平行于AD

/.△BHD^ABME,ACEM^ACDA

AHD：ME=BD：BE=3：5,ME：AD=CM：AC=1：3

，AH=(3-2)ME,

5

AAH：ME=12：5

，HG：GM=AH：EM=12：5

设GM=5k,GH=12k,

VBH：HM=3：2=BH：17k

2

ABH：HG：GM=^lk：12k：5k=51：24：10

2

故选D.

【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用.

3.(2014•台湾)如图，^ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为NBAC

的角平分线.若NABE=NC,AE：ED=2：1,则4BDE与4ABC的面积比为何？

()

A.1：6B.1：9C.2：13D.2：15

【分析】根据已知条件先求得SMBE：SABED=2：1,再根据三角形相似求得SMCD=%

4

AABE=-^-SABED>木艮据SAABC=SAABE_*_SAACD_*_SABED即可求得・

2

【解答】解：・.・AE：ED=2：1,

AE：AD=2：3,

VZABE=ZC,ZBAE=ZCAD,

.•.△ABE^AACD,

••SAABE*SAACD=4：9，

•SAACD=-^S△ABE，

4

VAE：ED=2：1,

••SAABE：SABED=2：1,

•SAABE=2SABED>

SAACD=-^SAABE=-^SABED，

42

SAABC=SAABE+SAACD+SABED=2SABED+-^-SABED+SABED=-^-SABED，

22

••SABDE：SAABC=2：15>

故选D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法

等，等量代换是本题的关键.

4.（2014•铜仁地区）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分NBAF

交BC于点E,且DELAF,垂足为点M,BE=3,AE=2泥，则MF的长是（）

【分析】设MD=a,MF=x,禾佣△ADMS^DFM,得到利用△DMF

-ADCE,AM即：蛇得到a与x的关系式，化简可得x的值，得

DCECMFEC

到D选项答案.

【解答】解：：AE平分NBAF交BC于点E,且DE，AF,ZB=90°,

AAB=AM,BE=EM=3,

又：AE=2通，

***AM=7AE2-EM2=V24-9=715*

设MD=a,MF=x,在△ADM和△DFM中，J/MD=/DMF,

lZADM=ZDFM

.,.△ADM^ADFM,典

AM-DM

.\DM2=AM«MF,

***a2=V15x,

在△DMF和ADCE中，［NDMF=NC,

lZMDF=ZMDF

.,.△DMF^ADCE,

,•---M-D=-M-F.即gn:--M-D=-D-C

DCECMFEC

•a任

xV(3+a)2-15

a2=V15x

J

2

LV15x=a'V(3+a)-15

解之得:

故答案选：D.

【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定方法，解题的关键在

于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度.

5.（2014•荆州）如图，AB是半圆。的直径，D,E是半圆上任意两点，连结AD,

DE,AE与BD相交于点C,要使^ADC与4ABD相似，可以添加一个条件.下列

添加的条件其中错误的是（）

A.ZACD=ZDABB.AD=DEC.AD2=BD»CDD.CD・AB=AC・BD

【分析】由NADC=NADB,根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比

相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题

中的应用.

【解答】解：如图，NADC=NADB,

A、VZACD=ZDAB,

/.△ADC^ABDA,故A选项正确；

B、VAD=DE,

AETDE，

，NDAE=NB,

AAADC^ABDA,故B选项正确;

c、VAD2=BD»CD,

AAD：BD=CD：AD,

.,.△ADC^ABDA,故C选项正确；

D、：CD・AB=AC・BD,

ACD：AC=BD：AB,

但NACD=NABD不是对应夹角，故D选项错误.

故选：D.

【点评】此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理.此题难度适中，注意掌

握数形结合思想的应用.

6.（2011•河北模拟）将三角形纸片AABC按如图所示的方式折叠，使点B落在

边AC上，记为点夕，折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8,若以点夕，F,C为顶

点的三角形与^ABC相似，那么BF的长度是（）

A

A.B.4C.丝或2D.4或幽■

777

【分析】根据折叠得到BF=BE根据相似三角形的性质得到E上空，设BF=X,

ABBC

则CF=8-x,即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案.

【解答】解：'.'△ABC沿EF折叠B和B，重合，

.•.BF=B'F,

设BF=x,则CF=8-x,

,当△B'FCSAABC,

•.•-----F-_--C--F--,

ABBC

TAB=6,BC=8,

•••x_-8--~-x-,

68

解得：x=2£,

7

即：BF=21,

7

当△FB'Cs^ABC,

FB，二FC,

AB二AC'

x8-x

T=6，

解得：x=4,

当△ABCs^CB午时，同法可求B，F=4,

故BF=4或9，

7

故选：D.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程等知识

点，解此题的关键是设BF=x,能正确列出方程.

7.（2014•武汉模拟）如图^ABC注公共顶点为C,B在DE上，则有结论

①NACD=NBCE=NABD；（2）ZDAC+ZDBC=180°；©AADC^ABEC；@CD±AB,

其中成立的是（）

A.①②③B.只有②④C.只有①和②D.①②③④

【分析】首先根据全等三角形的性质，看能够得到哪些等角和等边，然后根据这

些等量条件来判断各结论是否正确.

【解答】解：'.'△ABC咨△□£（：,且C为公共顶点，

AZABC=ZE,NACB=NDCE,BC=CE；

由NACB=NDCE,得NACD=NBCE=NACB-ZBCD=ZDCE-NBCD,

由BC=CE,得NCBE=NE,

NABC=NCBE=NE,ZACD=ZBCE；

又：NABD=180°-ZABC-NCBE,ZBCE=180°-ZCBE-NE,

AZABD=ZBCE=ZACD,故①正确；

VAABC^ADEC,且C为公共顶点，

，AC=CD,BPZACD=180°-2ZADC；

又：NBCE=180°-2NE,且NACD=NBCE,

AZADC=ZE=ZABC；

由已知的全等三角形，还可得：NBAC=NBDC,

ZDAC+ZDBC=ZBAC+ZBAD+ZABC+ZABD=ZBAD+ZADB+ZABD=180°；

故②正确；

由②NDAC+NDBC=18045A、D、B、C四点共圆，

由圆周角定理知：ZADC=ZABC=ZE；

结合①②的证明过程知：^ADC、ABEC都是等腰三角形，且它们的底角相等,

故△ADCs^BEC,③正确；

由于缺少条件，无法证明④的结论一定成立，故④错误；

所以正确的结论为①②③，

故选A.

【点评】此题主要考查的是相似三角形及全等三角形的判定和性质，其中还涉及

到三角形内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识，有一定难

度.

8.（2015•鄂城区模拟）如图，正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正

方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小

正方形的边长为（)

A.6B.5C.2V?D.734

【分析】如图，过点G作GPLAD,垂足为P,可以得到△BGFs^PGE,再根据

相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE和BG,根据勾股定理可求

EG的长，进而求出每个小正方形的边长.

【解答】解：如图所不：

：正方形ABCD边长为25,

AZA=ZB=90",AB=25,

过点G作GPLAD,垂足为P,则N4=N5=90。，

・••四边形APGB是矩形，

N2+N3=90°,PG=AB=25,

•••六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，

AZl+Z2=90°,

AZ1=ZFGB,

.,.△BGF^APGE,

•BGFG

，*PG=EG，

•••B-G--1,

255

；.GB=5.

.*.AP=5.

同理DE=5.

；.PE=AD-AP-DE=15,

***EG=V152+252=5^4,

...小正方形的边长为病.

故选D.

AFB

【点评】本题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性

质和勾股定理，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键.

9.（2014•河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的

对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应

边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.

A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对

【分析】甲：根据题意得：AB〃AB,AC:〃AC,BC〃BC,即可证得NA=NA,

ZB=ZBZ,可得△ABCs^AEC'；

乙：根据题意得：AB=CD=3,AD=BC=5,贝UAB=CD，=3+2=5,A'D'=B'C'=5+2=7,

则可得丁/卢丁吟，即新矩形与原矩形不相似.

A'六A'D'

【解答】解：甲：根据题意得：AB〃AB,AC〃AC,BC//Q'C,

NA=NA',NB=NB',

.,.△ABC^AA'BV,

I.甲说法正确；

乙：\•根据题意得:AB=CD=3,AD=BC=5,则A'B'=C'D'=3+2=5,A'D'=B'C'=5+2=7,

•AB_CD_3AD_BC_5

飞D，石'A，D，»C，k'

AB,AD.

“NB，〜D，，

新矩形与原矩形不相似.

乙说法正确.

故选：A.

【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定.此题难度不大，注意掌

握数形结合思想的应用.

10.（2017•庆云县模拟）如图，在^ABC中，CDXAB,且CD?=AD・DB,AE平分

NCAB交CD于F,NEAB=NB,CN=BE.①CF=BN；②NACB=90。；③FN〃AB；④

AD2=DF«DC.则下列结论正确的是（）

A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③

【分析】根据已知条件可证△ADCs^CDB,得出NACB=90。.根据等量关系及等

腰三角形的性质得到CF=BN.根据同位角相等，证明FN〃AB.证明△ADFs/^CDA,

根据相似三角形的性质得出AD2=DF»DC.

【解答】解：①：AE平分NCAB

AZCAE=ZDAF,

/.△CAE^ADAF,

NAFD=NAEC,

AZCFE=ZAEC,

；.CF=CE,

VCN=BE,

；.CE=BN,

/.CF=BN,故本选项正确；

②：CD，AB,

AZADC=ZCDB=90°,

VCD2=AD»DB,

CD_DB；

**AD^CD，

/.△ADC^ACDB,

NACD=NB,

/.ZACB=90°,故本选项正确；

(3)VZEAB=ZB,

；.EA=EB,

易知：NACF=NABC=NEAB=NEAC,

；.FA=FC,

易证：CF=CE,

.•.CF=AF=CE,

VFA=FC=BN,NFEN=NAEB,

.,.△EFN^AEAB,

NEFN=NEAB,

，FN〃AB,故本选项正确；

④易证△ADFs^CDA,

.*.AD2=DF«DC,故本选项正确；

故选C.

【点评】本题综合考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形

的性质等知识点.

—.填空题（共10小题）

11.（2015•连云港）如图，在ZXABC中,ZBAC=60°,ZABC=90",直线〃〃1〃汨

11与12之间距离是1，I与b之间距离是2,且11，12，b分别经过点A,B,C,则

边AC的长为—2国

【分析】过点B作EF_Ll2，交li于E,交b于F,在Rt/XABC中运用三角函数可

得区=«，易证△AEBs^BFC,运用相似三角形的性质可求出FC,然后在RtA

AB

BFC中运用勾股定理可求出BC,再在RtAABC中运用三角函数就可求出AC的值.

【解答】解：如图，过点B作EFLI2，交1于E,交b于F,如图.

VZBAC=60°,NABC=90°,

tanZBAC=J-i-=V3.

AB

•.•直线\、/2八3,

.,.EF±li，EF±I3,

AZAEB=ZBFC=90°.

VZABC=90°,

AZEAB=90°-NABE=NFBC,

.,.△BFC^AAEB,

EBAB

VEB=1,FC=V3.

在RtABFC中，

BC=、BF2+FC气22+（何及"

在RtAABC中，sinNBAC=-叵

_AC2

Ar-2BC_2dL2&I

故答案为2亘.

3

EA

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函

数值、勾股定理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识，构造K型相似

是解决本题的关键.

12.（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上.若BC=3,

AD=2,EF=ZEH,那么EH的长为2.

3—2―

【分析】设EH=3x,表示出EF,由AD-EF表示出三角形AEH的边EH上的高，

根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相

似比求出x的值，即为EH的长.

【解答】解：•••四边形EFGH是矩形，

.•.EH〃BC,

/.△AEH^AABC,

VAM±EH,AD±BC,

AJH_EH；

,,ADBC'

设EH=3x,贝Ij有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,

•••2--2-x——_3x,

23

解得：x=l,

2

则EH=W.

2

故答案为：2.

2

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似

三角形的判定与性质是解本题的关键.

13.（2015•南通）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF±AC,垂足为E,必二

AB2

C

的面积为的面积为则—的值等于

△CEFSi，AAEBS2,L

§2K

【分析】首先根据改=上设AD=BC=a,则AB=CD=2a,然后利用勾股定理得到

AB2

AC=V5a;然后根据射影定理得到BC2=CE»CA,AB2=AE»AC从而求得CE=Y^3

5

AE=£强，得到雪=L,利用△CEFS^AEB,求得窿（殴）2=工.

5AE4S2AE16

【解答】解：：也■」，

AB2

设AD=BC=a,则AB=CD=2a,

/•AC=Vsa，

VBF±AC,

AACBE^ACAB,AAEB^AABC,

ABC2=CE«CA,AB2=AE»AC

a2=CE*i/5a,2a2=AE*A/5a,

.•.CE=逼，AE=4徨

55

CE-1；

AE-T

,ACEF^AAEB,

d（段）2=J_,

S2AE16

故答案为：,r.

16

【点评】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容

对解决本题起到至关重要的作用，难度不大.

14.（2015•本溪）在aABC中，AB=6cm,AC=5cm,点D、E分别在AB、AC±.若

△ADE与AABC相彳以，且SMDE：S四边形BCED=L8,则AD=2或反cm.

【分析】由于^ADE与AABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进

行讨论.

【解答】解：•••SAADE：S四边形BCED=1：8，

••SAADESAABC=1：9，

:•△ADE与aABC相彳以比为：1：3,

①若NAED对应NB时，

则坦』，

AC3

*/AC=5cm,

/.AD=_^cm；

3

②当NADE对应NB时，则坦』，

AB-3

VAB=6cm,

AD=2cm；

故答案为：2或

3

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三

角形的面积比等于相似比的平方，意识到有两种情况分类讨论是解决问题的关

键.

15.(2016•青羊区模拟)如图，菱形ABCD中，AB=AC,点E、F分别为边AB、

BC上的点，且AE=BF,连接CE、AF交于点H,连接DH交AG于点O.则下列结

论①△ABF^^CAE,②NAHC=120°,③AH+CH=DH,(4)AD2=OD»DH中，正确的

是①②③④.

【分析】由菱形ABCD中，AB=AC,易证得^ABC是等边三角形，则可得NB=N

EAC=60°,由SAS即可证得△ABF/^CAE；则可得NBAF=/ACE,利用三角形外

角的性质，即可求得NAHC=120。；在HD上截取HK=AH,连接AK,易得点A,H,

C,D四点共圆，则可证得^AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得AAKD之

△AHC,则可证得AH+CH=DH；易证得△OADsaAHD,由相似三角形的对应边

成比例，即可得AD2=OD・DH.

【解答】解：•.•四边形ABCD是菱形,

.,.AB=BC,

VAB=AC,

.\AB=BC=AC,

即4ABC是等边三角形，

同理：^ADC是等边三角形

AZB=ZEAC=60°,

在^ABF^HACAE中，

'BF=AE

<ZB=ZEAC-

、BC=AC

.,.△ABF^ACAE(SAS)；

故①正确；

，NBAF=NACE,

VZAEH=ZB+ZBCE,

ZAHC=ZBAF+ZAEH=ZBAF+ZB+ZBCE=ZB+ZACE+ZBCE=ZB+Z

ACB=60°+60°=120°；

故②正确；

在HD上截取HK=AH,连接AK,

ZAHC+ZADC=120o+60o=180",

・•.点A,H,C,D四点共圆,

AZAHD=ZACD=60°,NACH=NADH,

••.△AHK是等边三角形，

.•.AK=AH,NAKH=60°,

AZAKD=ZAHC=120°,

iSAAKD^HAAHC中，

'/AKD=NAHC

<ZADH=ZACH，

,AD=AC

/.△AKD^AAHC(AAS),

.•.CH=DK,

.*.DH=HK+DK=AH+CH；

故③正确；

VZOAD=ZAHD=60°,ZODA=ZADH,

/.△OAD^AAHD,

AAD：DH=OD：AD,

.*.AD2=OD»DH.

故④正确.

故答案为：①②③④.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定

与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法,

注意数形结合思想的应用.

16.（2015•宜宾）如图，在正方形ABCD中，4BPC是等边三角形，BP、CP的延

长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:

①4ABE之ADCF；②空=3；③DP2=PH・PB；④一也%_=1二

PH5S正方形皿⑪4

其中正确的是①③④.（写出所有正确结论的序号）

【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到NABE=NDCF,NA=NADC,

AB=CD,证得^ABE之aDCF,故①正确；由于NFDP=NPBD,NDFP=/BPC=60°,

推出△DFPS^BPH,得到口”二更=乂且故②错误；由于NPDH=/PCD=30。，Z

PHPBCD3

DPH=NDPC,推出△DPHs^CPD,得到理=里,PB=CD,等量代换得到PD2=PH»PB,

CDPD

故③正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到4BPD的面积=4BCP的面

积+4CDP面积-ABCD的面积，得到‘近四口=愿一1故④正确.

S正方形ABCD4

【解答】解：•••△BPC是等边三角形，

.*.BP=PC=BC,NPBC=NPCB=NBPC=60°,

在正方形ABCD中，

VAB=BC=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90"

AZABE=ZDCF=30°,

在AABE与ACDF中，

rZA=ZADC

<NABE=NDCF，

LAB=CD

.'.△ABE之△DCF,故①正确;

VPC=CD,ZPCD=30",

AZPDC=75",

AZFDP=15°,

VZDBA=45°,

AZPBD=15",

，NFDP=NPBD,

VZDFP=ZBPC=60",

.,.△DFP^ABPH,

.•.里=也叫瓜，故②错误；

PHPBCD3

VZPDH=ZPCD=30",

VZDPH=ZDPC,

.,.△DPH^ACDP,

•••-P--D---1―-P--H--,

CDPD

.*.PD2=PH«CD,

VPB=CD,

.,.PD2=PH«PB,故③正确；

如图，过P作PMLCD,PN±BC,

设正方形ABCD的边长是4,4BPC为正三角形,

AZPBC=ZPCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,

AZPCD=30°

.*.PN=PB«sin60°=4X华2a,PM=PC・sin30°=2,

SABPD=S四边形PBCD-SABCD=SAPBC+SAPDC_SABCD=—4X2，Q+_Lx2X4--X4X

222

4=4、仔4-8=4\/3-4,

,△BPD

S正方形ABCD4

故答案为：①③④.

【点评】本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线,

利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长,再根据三角形的面积公式得出结论.

17.（2015•娄底）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0,1）,

直角顶点C的坐标为（-3,0）,NB=30。，则点B的坐标为（-3-亚,33）.

【分析】过点B作BDXOD于点D,根据4ABC为直角三角形可证明aBCDs4

COA,设点B坐标为（x,y）,根据相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：过点B作BDLOD于点D,

'.•△ABC为直角三角形，

AZBCD+ZACO=90°,

.,.△BCD^ACOA,

BD-CO；

'*CD而'

设点B坐标为（x,y）,

则」^=是，

-x-31

y=-3x-9,

BC=hx_3）2+产而X2+60X+90,

Ac=q]+32="7Y5,

VZB=30°,

...AC_L伍：

BCV10X2+60X+903

解得：x=-3-

则y=3«.

即点B的坐标为（-3-J5，3«）.

故答案为：（-3-最,3M）.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，解答本题

的关键是作出合适的辅助线，证明三角形的相似，进而求解.

18.（2015•葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=1,连接AC,以对角线

AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ABGC,再连接AJ,以对角线

AC1为边作矩形ABiJC的相似矩形AB2c2G，按此规律继续下去，则矩形AB£Cn

【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC,AC1，AC2的长，从而可发现规

律，根据规律即可求得第n个矩形的面积.

【解答】解：

•四边形ABCD是矩形，

AADXDC,

八。寸AD2+cD%22+1k后

..•按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ABiJC,

・•.矩形ABiJC的边长和矩形ABCD的边长的比为遥：2

・•.矩形ABEiC的面积和矩形ABCD的面积的比5：4,

•矩形ABCD的面积=2X1=2,

矩形AB1GC的面积="，

2

依此类推，矩形AB2c2cl的面积和矩形AB1JC的面积的比5：4

r2

・•.矩形AB2C2C1的面积=*

23

3

...矩形AB3c3c2的面积=c=，

25

r-n

按此规律第n个矩形的面积为：^

故答案为:5n

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键

是能根据求出的结果得出规律.

19.（2013•荷泽）如图所示，在^ABC中，BC=6,E、F分别是AB、AC的中点，

动点P在射线EF上，BP交CE于D,NCBP的平分线交CE于Q,当CQ=1_CE时,

3

EP+BP=12.

【分析】延长BQ交射线EF于M,根据三角形的中位线平行于第三边可得EF〃

BC,根据两直线平行，内错角相等可得NM=NCBM,再根据角平分线的定义可

得NPBM=NCBM,从而得到NM=NPBM,根据等角对等边可得BP=PM,求出

EP+BP=EM,再根据CQ=LZE求出EQ=2CQ,然后根据△MEQ和△BCQ相似，利

3

用相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M,

VE>F分别是AB、AC的中点，

.♦.EF〃BC,

AZM=ZCBM,

•；BQ是NCBP的平分线，

I.NPBM=NCBM,

，NM=NPBM,

.*.BP=PM,

.♦.EP+BP=EP+PM=EM,

•.,CQJCE,

3

.♦.EQ=2CQ,

由EF〃BC得，△MEQs^BCQ,

•EM_EQ,?

BCCQ

.•.EM=2BC=2X6=12,

即EP+BP=12.

故答案为：12.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质,

延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，

也是本题的难点.

20.（2015•泸州）如图，在矩形ABCD中，BC=J^AB,ZADC的平分线交边BC

于点E,AHXDE于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O.给

出下列命题：

①NAEB=NAEH；②DH=2./^EH；③HO=ljXE；④BC-BF=«EH

2

其中正确命题的序号是①③（填上所有正确命题的序号）.

【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=&AB=&CD,由DE平分NADC,得到△

ADH是等腰直角三角形，4DEC是等腰直角三角形，得到DE=&CD,得到等腰

三角形求出NAED=67.5°,ZAEB=180°-45°-67.5°=67.5°,得到①正确；设DH=1,

则AH=DH=1,AD=DE=&,求出HE=a-1,得到2MHE=26（&-1）W1,故②

错误；通过角的度数求出^AOH和AOEH是等腰三角形，从而得到③正确；由

△AFH之△CHE,到AF=EH,由aABE注△AHE,得到BE=EH,于是得至UBC-BF=

(BE+CE)-(AB-AF)=(CD+EH)-(CD-EH)=2EH,从而得到④错误.

【解答】解：在矩形ABCD中，AD=BC=A/2AB=V2CD,

VDE平分NADC,

AZADE=ZCDE=45",

VAH±DE,

.'.△ADH是等腰直角三角形，

.*.AD=V2AB,

，AH=AB=CD,

・••△DEC是等腰直角三角形，

DE=、/^CD,

AAD=DE,

ZAED=67.5°,

ZAEB=180°-45°-67.5°=67.5°,

NAED=NAEB,

故①正确；

设DH=1,

则AH=DH=1,AD=DE=如，

/.HE=V2-1-

/.2V2HE=2V2(V2-1)^1»

故②错误；

VZAEH=67.5°,

，NEAH=22.5°,

VDH=CD,ZEDC=45°,

AZDHC=67.5°,

AZOHA=22.5°,

AZOAH=ZOHA,

.*.OA=OH,

AZAEH=ZOHE=67.5°,

.\OH=OE,

/.OH=1TXE,

2

故③正确；

VAH=DH,CD=CE,

在AAFH与△EHC中，

'/AHF=/HCE=22.5°

-NFAH=NHEC=45°，

,AH=CE

/.△AFH^AEHC,

，AF=EH,

在aABE与△AHE中，

'AB=AH

-NBEA=/HEA，

,AE=AE

/.△ABE^AAHE,

，BE=EH,

ABC-BF=(BE+CE)-(AB-AF)=(CD+EH)-(CD-EH)=2EH,

故④错误，

故答案为：①③.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，

等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求

出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也

是本题的难点.

三.解答题（共10小题）

21.（2016•丹东模拟）已知点E在4ABC内，ZABC=ZEBD=a,NACB=NEDB=60°,

ZAEB=150°,ZBEC=90".

（1）当a=60。时（如图1）,

①判断AABC的形状，并说明理由；

②求证：BD=JjAE；

（2）当a=90。