人教版高中数学全册教案-05-排列、组合、概率教案集-概率教案

概率选修课教案(第一，二课时)

教学目标：1使学生了解实际生活中的随机现象;并能用概率的知识初步解释这些随机现象；

2使学生理解频率,概率的含义；

3使学生理解频率和概率的区别和联系.

教学重点和难点：

1随机现象的定义；

2如何用频率来理解概率及频率和概率的关系.

教学过程

一课程引入

1概率学的发展：

概率论是机遇的数学模型.最初他只是对于带机遇性游戏的分析，而现在已经是门庞大

的数学理论,他在社会学，生物学，物理学和化学上都有应用.

概率一词是和探求真实性联系在一起的.在我们所生活的世界里，充满了不确定性.因此

我们就试图通过猜测事件的真相和未来来掌握这种不确定性.概率这门学科就应运而生了.

2概率趣话

概率与乃

布丰曾经做过•个投针试验.他在一张纸上一画了很多条距离相等的平行直线，他将小针随

意地投在纸上，他一共投了2212次,结果与平行直线相交的共有704根.总数2212与相交数

704的比值为3.142.布丰得到地更一般的结果是：如果纸上两平行线间的距离为d,小针的长

为I，投针次数为〃，所投的针中与平行线相交的次数为m，那么当〃相当大时有：

2In

7T«---.

dm

后来有许多人步布丰的后尘，用同样的方法计算乃值.其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞

尼(Lazzerini).他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了万的值为3.1415929.这与万的精

确值相比,一直到小数点后七位才出现不同!用如此巧妙的方法，求到如此高精确的乃值，这真

实天工造物！

抽签的顺序

抽签的先后顺序与是否抽到有记号的签无关.

3概率学的应用：

(1)工业方面

问：如果长虹生产的彩电的合格率为99.99%,而康家生产的彩电的合格率为99%,你

更愿意买那一家的彩电？

你可能买到长虹不合格的彩电，也有可能买到康佳合格的彩电,但你为什么更愿意卖

长虹的彩电呢?在这里我们将给你答复.

(2)农业方面

种子有优有劣，每一粒种子在你中下时，你并不知道他将来是否发芽.但为了将来的发

芽率高，你会怎么办?你只有在种的时候就选优良的种子，这又是为什么呢？

(3)日常生活方面

今天天气预报说:明天的降雨概率为80%,那你明天一定带伞出门吗?如果说:今天的

降雨概率是20%,你就一定不带伞出门吗？

如果说中奖的概率是0.1%,你买一千张彩票就•定能中奖吗？

二新课

(_)基本概念

1随机现象

(1)大千世界,所遇到的现象不外乎两类.

一类是确定性现象，如在标准大气压下，水加热到100摄氏度时沸腾，是确定会发生的现象;

又如,从地球上看，太阳每天从东方升起.

另一类是随机而发生的不确定的现象，如适当的条件下，种子的发芽，掷一枚硬币出现正

面或反面等等.这种不确定的现象叫做随机现象.

随机现象：在相同的条件下,重复同样的试验或观测(今后把“观测”也看作试验而不加

区分)，其试验结果却不确定,以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现的现象.

(2)对随机现象的理解

在一种前提下的随机事件，在另一种前提下可能成为必然事件.

北宋年间的荻青与侬智高的较量.

大将荻青奉旨征讨侬智高.但敌我的悬殊很大，胜败没有把握.他便设坛拜神，拿出一百枚

铜钱，说:“如果这••百枚铜钱的钱面全部朝上,则这次将会大获全胜士兵们很是惶恐,力权荻

青不可如此，凭大家的经验可知，这是不可能发生的.但是荻青不停劝阻，毅然投下一百枚铜钱，

让大家惊奇的是，一百枚铜钱的前面全部朝上,这大大鼓舞了将士们的士气，在兵力相差很大

的条件下，击退了侬智高的部队.

在一种前提下的必然事件，在另一种前提下可能不出现.

从死亡线上生还的人

2频率的稳定性，概率

(1)投掷硬币试验

人们知道:掷一枚硬币,事先无法哪一面向上.但是出现正面和反面的机会是相等的.

在大量的投掷时，正面和反面出现的次数“差不多”，从历史上看，这经历了很长一个时期.

频率

试验人投掷次数出现正面

(出现正面次数/投掷次数)

荻摩更204810610.5181

布丰404020480.5069

皮尔逊24000120120.5005

罗曼若夫斯基

80640396990.4923

相差得多与不多是相对于试验的次数而言的.上表告诉我们:当试验的次数〃增加时，正

面出向的频率，即正面出现的次数k与总的试验次数〃之比"都在』的左右.这表明：

n2

①频率是随机的，事先无法确定.

②频率又“稳定“在一个数常数的附近.

频率偏离这个常数很大的可能性虽然存在，但是试验的次数〃越大，频率偏离这个常数的可能

性越小.也就是说：随机事件的每一次观察结果都是偶然的，但是多次观察某个随机现象可以

知道,在大量的偶然事件中存在这必然的规律.

(2)男女出生率

频率的稳定性，可以从人类的生育中得到生动的例子.一般人或许认为:生男生女的可能

性是相等的，因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是1:1,可事实并非如此.

公元1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace1794—1827)在他的新作＜＜概率的哲学探

讨>>一书中，记载了一下有趣的统计.他根据伦敦，彼得堡，柏林和全法国的统计资料，得出了几

乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22:21,即在全体出生婴儿中，男婴占51.2%,女婴占

48.8%.可奇怪的是，当他统计1745—1784整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另一个比

是25:24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异!拉普拉斯对此感

到困惑不解，他深信自然规律，他觉得这千分之一点四的后面，一定有深刻的因素.于是，他深入

进行调查研究，终于发现:当时巴黎人“重男轻女”，又抛弃男婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的

真相，经过修正，巴黎的男女婴的出生比率依然是22:21.

(3)%中数字出现的稳定性(法格逊猜想)

在乃的数值式中，各个数码出现的概率应当均为1/10.随着计算机的发展，人们对万的前一

百万位小数中各数码出现的频率进行了统计，得到的结果与法格逊猜想非常吻合.

3概率

某一随机事件的频率在一个常数附近，这个常数我们称之为这一随机事件的概率.

例如1/2就是投掷一枚硬币“出现正面”这一随机事件的概率.而且大数定理说：当试验的

次数很大忖，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P,叫做随机

事件A的概率，并记为P(A)=P.大数定理是贝努利对数学的一个非常重要的贡献.

很明显，尸(A)是0和1之间的一个数，即

0<尸(4)<1

问：P(A)=0是什么意思？这时我们称事件A为不可能事件，如太阳从东边升起.P(A)=1是

什么意思？这是我们称事件A为必然事件,如地球绕着太阳转.

在这里，我们需要区分“频率“和”概率“这两个概念：

(1)频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的随机事件出现

的可能性.

(2)概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.

4随机现象的两个特征

(1)结果的随机性即在相同的条件下做重复的试验时，如果试验的结果不止一个，则在

试验前无法预料哪一种结果将发生.

(2)频率的稳定性即大量重复试验时，任意结果(事件)4出现的频率尽管是随机的，却”

稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这

一常数就成为该事件的概率.

概率选修课教案(第三，四课时)

教学目标：理解几个随机事件的交，并，对立事件和互斥事件；

掌握公式尸(X)=1-P(A);

掌握几个互斥事件概率的加法公式；

教学重点：各种概率的计算公式

教学难点：对公式P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)的理解；

两两互斥事件概率的加法公式.

新课

一、简单的概率计算

I逆事件或对立事件

定义设事件4是事先给定的事件，我们用记号入表示“4不发生我们称4为事件4

的逆事件或对立事件.这样我们有

P(A)=1-P(A)

例如：厂家进行有奖销售，A表示“买产品中奖”，其概率为0.7,即P(A)=0.7.则,表示“买

产品不中奖”,而且P(Z)=1-P(A)=1-0.7=0.3.

2关于事件A3,AU8的概率

定义给定两个事件A,B.我们来构造两个新的事件AB,A\JB.

A3发生是指:A,B都发生.AUB发生是指：A,3当中至少有一个发生.例如:A="产

品长度合格”,B=”产品的质量合格"，则AB=”产品的长度和质量都合格"，AU8=”产品的

长度，质量指标至少有一项合格

例1.100个产品中有93个产品长度合格,90个产品重量合格，其中长度,重量都合格的

有85个.现从中任取一产品，记A=”产品长度合格”,B=”产品重量合格”，我们有

939085

P(A)=——,P(B)=——,P(AB)=——

100100100

而AU8=''产品的长度，重量至少有一个合格''的概率：

P(AU6)WP(A)+P(8)

这是因为P(A)+P(B)>1，显然不会等于P(AUB).而是

P{AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)=—+-------------=0.98

100100100

例2.甲乙二人射击时，若A="甲命中目标”的概率为0.5,B="乙命中目标”的概率为

0.6,AB="甲乙都命中目标”的概率为0.3,贝ijAU8=''甲乙二人至少有艺人命中目

标”的概率

产(AUB)=P(A)+P(B)-尸(AB)=0.5+0.6-0.3=0.8

从上面的两个例子我们不难看出:只有当A,B两个事件不可能同时发生时(即AB=(/>时)才

有公式P(AU8)=P(A)+P(B)

3互斥事件的加法公式

定义不可能同时发生的两个事件我们称为互斥事件或互不相容事件.由上面的讨论我们

可以得出如下的结论

设事件A,B互斥，则P(AU8)=P(A)+P(B).

下面我们考虑九个事件4*2,…4,我们用4A2…4表示4,乙，…，都发生，用

A|U4u…UA“表示4,…A,中至少有一个发生.

⑴如果从，…A”中任意两个都互斥(称这种情形为4,…A“两两互斥)，则

P(4U4U…UA,,)=p(a)+尸(A?)+…P(A.)

⑵如果A,4，…A“不满足俩俩互斥,p(A|UA2U…UA“)的计算公式比较复杂，我

们再此不予考虑.

例3.设某种产品分为一等品，二等品,三等品和不合格品四个等级.4=”产品为一等品“

的概率为0.5,42=”产品为二等品”的概率为0.45,4=”产品为三等品”的概率为

0.03自然4，&，4为两两互斥的事件，则

尸但u&U&)=0.5+0.45+0.03=0.98

这就是说，该产品的合格率为0.98.

二、古典概率

随机事件发生的频率的稳定性人们经历了相当一段时间才认识到.

例1,投枚硬币,当试验的次数很大时，出现的频率在工的附近.投之一枚硬币时，由于硬

2

币的对称性，正反两面出现的机会是相等的，而再没有别的情况发生.因此，每个结果发生的

概率相等,均等于

2

例2,掷一枚筛子，他只有六种可能的结果,我们记A,="第i点出现"(i=1,2,3,4,56).同

样由于对称性，这6种可能的结果出现的机会相同，股枚各每个结果发生的概率应是！.即

6

P(4)=',(/•=123,4,5,6).

6

问题：投一枚均匀的筛子，出现偶数点奇数点的概率各是多少？

设8="投掷偶数点"，则事件8包含有三种结果A,A2，A3，而且他们两两互

斥.他们之中有一个发生则B发生，反之B发生，他们中•定有一个发生.即8=A1U&UA?,

因此我们有

3

P(B)=P(4)+P(A4)+P(A6)=:

问题：投掷一枚均匀硬币，事件C="投掷点数不超过4点”的概率是多少?

4

P（C）=P（A,）+P（A）+P（A）+P（4）=

23o

由于这些都是历史上最早研究的概率模型，对上述的数学模型我们称为古典概率.为了便

于研究，我们首先假设：

1试验只有有限个结果发生.设为〃个，我们记为4,42,…A.每次试验的结果只发生且

发生一个（这实质上是指：A1,A2,…A"两两互斥）.每次有一个发生表明：

”是必然事件.以后称“为〃个基本事件.

UA2U…UAA”42,…A

2每个基本事件出现的机会相同，即对任意一个基本事件A有：

P（4）=-,0'=l,2,-n）

n

对任意事件8,若它包含k个基本事件，则B发生的概率为：

=8包含的基本事件的个数=k

（〜总的基本事件个数一7

2

例1从红，白，黑三个球中任取两个,求A=”取到红球”的概率.解答：P（A）=-

例2任意投掷3枚硬币,恰有一枚正面朝上的概率是多少？

解答:可能的结果有：

（上上上），（上上下），（上下上），（下上上），（下上下），（下下下）8种可能，其中（上下下），

3

（下上下），（下下上）意味着恰有一枚硬币正面朝上,所以概率为二

8

_91

例4任选一个两位数，他恰好是10的倍数的概率是多少？解答：—

9010

补充：排列与组合基础

加法原理：做一件事，完成他有〃类方法，第一类方法有m,种,第二类方法有机2种,……，第n

类方法有〃种，那么完成这一件事共有

N=叫+m2H------Fmn

种不同的方法.

乘法原理：做一件事，完成他需要〃个步骤，做第一步的方法有，叫种，做第二步的方法有机2

种,.….，做第〃步的方法有叫种,那么完成这件事共有

N-xm2x…xtn”

种不同的方法.

排列的定义：从〃个不同的元素中，任意取〃<〃）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做

从“个不同元素中取出m个元素的一个排列.

阶乘:自然数1到八的连乘积，叫做〃的阶乘，即〃!=〃(〃—1)(〃—2)…3x2x1.规定：0!=1.

排列数公式：

P：=7~^="(〃一1)…(〃-机+1)

(〃-my.

组合的定义：从〃个不同的元素中，任意取机(机《〃)个元素，并成一组,叫做从〃个不同元素

中取出〃?个元素的一个组合.

组合数公式：

P"'〃！n(n-l)…(n—m+l)

rmc=---=-----------=---------------------

"P：m\(n-nt)lml

例1乘积(%+4+%+。4)S1+02+"3)(。1+。2+。3+。4+