“大观念”视角下的单元素养作业设计

“大观念”视角下的单元素养作业设计

《圆》是小学阶段最后一个认识平面图形的单元。之前学的长方形、

正方形、三角形、平行四边形和梯形都是直线图形，而圆是曲线图形，

研究曲线图形的思想、方法相较直线图形是有变化和提升的，学生不仅

需要掌握圆的基础知识，还要感受"化曲为直""等积变形""极限"

等数学思想方法，聚焦数学抽象、直观想象等数学核心素养，进一步发

展问题解决的能力。具体的知识结构图谱如下：

素养作业设计理念

基于单元知识图谱，将这单元置于"图形与几何"领域，以"大观

念"提炼单元核心素养。《数学课程标准》指出："图形与几何"领域

的内容需从多角度刻画图形的特征、大小、运动和位置，发展学生空间

观念和推理能力。《站在巨人的肩膀上》一书中指出：分类、分析和表

示是我们认识图形的主要工具。基于以上认识，提炼如下《圆》单元的

核心大观念：

/

单

将

元

知

识一f

进行

梳

理

多

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体

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圆

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面图

形

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《圆》单元等

积放

缩'大

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方

式

实

现图

之形

间

转

化

大观念多

形

式

感地

悟

圆，

的

征

特

;应用、抽象于现实世界

单元素养作业目标

基于"单元知识图谱"以及单元"大观念"，确定本单元素养作业目

标如下：

•聚焦大观念“表示”，通过数学绘本阅读、数学史料的查阅等实践探究，用

思维导图、数学小论文等多种方式提炼研究成果，了解数学文化，感受数

学的魅力，提升学习数学的兴趣，提高数学学习的综合能力。

单元作业设计及意图说明

一、落实“知识技能”的基础性作业

落实1:半餐、直径与周长、面积的关系

1.用圆规画一个直径为10cm的圆，圆规两脚间的距离应是（）cm,画

一个周长是15.7面的圆，圆规两脚间的距离应是（）dm,这个圆的面积是

（）dm2o

2.已知两个圆的直径之比是4：6,它们的半径之比是（）：（），它

们的周长之比是（）：<）,它们的面积之比是（）：（）.

3.如右图，一个大圆里面有两个相同的小圆，大圆的直径是12cm,

大圆的周长是（）厘米，小圆的面积是（）an?。

落实2：圆的周长、面枳公式的运用

1.王阿姨为了给1周岁的宝宝创造安全、童趣的生活环境，打算给一张直径

为1.5m的圆泉贴上安全条，并涂上漂亮的油漆。

<1）王阿姨需要准备多长的安全条？

（2）需要油漆的桌面面积有多大？

2.把一个直径是8cm的圆平均分成两个半圆后，每个半圆的面积和周长分别

是多少？

落实3：圆环的面积公式运用

一个圆形花坛的直径是8m,在外围修一条宽为2m的小路,

求小路的面积。

落实4：扇形的概念

下面图形中的阴影部分是扇形的是（）o（可多选）

落实6：内II外方、外■内方

1.在一个边长是2dm的正方形里，画一个坡大的帆形,

圆的面枳和正方形的面枳分别是多少？

2.正方形的面积是20m2,求例的面积。

落实7：国圆

1.画一个直径为3懈米圆。

2.在边长为4里米的正方形中•「一个最大的圆。

设计意图

聚焦大观念“分类”，梳理单元教学重难点，将知识进行细化、分类，有效

落实概念的掌握、公式的基本运用和画图技能。

_

二、指向"知识联结”的探究性作业

1.根据图中已有信息，你能间接得知什么信息？

设计意图

(~聚焦大观念''分析"，联结平面图形的整体知识，根据已知的半径或直径信、

息，孕伏了寻找组合图形间接条件的知识点，训练学生寻找间接条件的能力，为

本单元的复杂组合图形周长、面积的计算铺垫基础，同时感受各种平面图形之间

、产联系，使新知得到强化的同时丰富了学生的思维体验。,

设计意图

联结圆和等腰直角三角形的特性，将画圆的技与

借助方格图，在画圆的过程中，直观感悟“一中，f

3.“已知圆的直径是10厘米，求这个圆的面积

（1）小乐根据圆的推导过程（如图①），分步求结果，请补充他计算的步骤。

第一步：10+2=5厘米；第二步：3.14X5=15.7厘米；第三步：。

（2）如果把圆平均分成16份，不拼成长方形或平行四边形，而是拼成三角

形或梯形（如图②），你还能推导出圆的面积吗？

图①图②

设计意图

‘引导学生关注公式的推导过程，并且理解推导过程，才能牢固掌握圆的周长、,

面积公式：对于圆面积的“再推导”，既是对平面图形面积的梳理与融合，也是

产圆面积的再次探究，发散了数学的思维。,

4.你发现了什么？

（1）题组练习。

①从边长为8厘米的正方形中剪下一个最大的圆，阴影部分

面积占整个正方形面积的百分之几？

②从边长为4厘米的正方形中剪下一个最大的圆，阴影部分

面积占整个正方形面积的百分之几？

③从边长为10厘米的正方形中剪下一个最大的圆，阴影部分面积占整个正

方形面积的百分之几？

比较这组题日，你发现了什么？

（2）将、」进行平移、旋转、轴对称等图形变换，你能想象下列图形与它

之间的关系吗？每个图形的阴影部分面积分别占整个正方形面积的百分之几？

（3）将1，进行同比扩大，你能算出每个图形的阴影部分面积分别占整个

正方形面积的百分之几？

1TT▼

♦

xT♦

tT♦

▲

比较这二组题目，你有什么新发现？

（4）如果将［，同比缩小，你还能算出每个图形的阴影部分面积分别占整

个正方形面积的百分之几？

完成所仃的题H，对比思考：你有什么收获？

设计意图

(这道习题进行了四个层次的处理：先通过三道;

础，掌握基本技能，通过不完全归纳发现阴影部分的

然后通过图形变换，体会图形的“形”散“神”聚

着借助分数的基本性质在图形中的特殊作用，照“*

这样的思路进行同比缩放，数与形的完美结合，让学

I奇”，不仅聚焦了大观念，还培养了创新思维。

三、延伸“能力素养”的发展性作业

以下有三份材料，请选择你喜欢的材料，通过查阅资料，动手探究等方

式进行深入研究，并用多种方式记录你的研究成果。（如果有困难，可以查阅

老师提供的辅助锦囊。）

材料一：''圆，一中同长也。”这是我国古代著名的思想家、教育家墨子在

2400多年前写的一句话，你能读懂这句话背后的数学知识吗？用实证的方法

（实验动画或生活实例）来说明你对这句话的理解。

材料二：我国古代有沐著名的数学著作叫《周髀算经》，它在表示圆的

周长和直径间的倍数时，用了“周三径一”这句话。查阅有关“圆周率”的知

识，思考古代数学家是怎么研究这个结论的，请作图分析。

【转助锦囊】

查找''祖冲之与圆周率”、“刘徽与四周率”、"阿基米德与圆周率”等资料,

用自己喜欢的方式描述“圆周率的历史”吧！

材料三：数学绘本《咕嗜咕噌PK赛》中有很多关于-q叮？

圆的精彩内容，绘本中提到了几场PK赛。你能用绘本中靠?"

的方法或自己的想法进行动手实践，来一次真正的知识C&Y,

PK赛吗？"月

第一场：“找角”PK赛：邮才上真的没有角吗？能否想办法把它找出来,

请拿出圆形纸片，成着折折看。

附学生的研究成果（范例）：

方圆之研

一、问题起源

一日，我见乐迷语：“古钱币”，打成语。我苦思冥想未果，遂求助于度娘，

一查才知道是“外圆内方”，我恍然大悟，原来这是根据古钱币的形状而来的呀。

方与圆是最基本的几何图形，方形是由一条折线，圆形则是由平滑的曲线组成,

它们的组合形成了内正外圆的天鼬方形。世间万物，有圆必直方:大到天体地

球，小到微尘原子都是圆的；而眼睛所见切方形器物的内部构造物质即是圆的

原子电子……于是我对方圆的世界产生了浓厚的兴趣：“外圆内方”与“外方内

圆”之畛亥如何画呢?它们的面积又是怎样计算的呢？稍复杂一点的方圆问题

又该如何解开？人们常说做人做事要“方圆”些，又蕴藏着怎样的人生哲理呢？

为此，我展开了一系列对于方与圆的研究。

二、探究思考

（-）研究内容

1、研究外圆内方与外方内圆的画法及基本面积问题

（1）外圆内方的画法及面积问题

（2）外方内圆的画法及面积问题

（3）方中圆，圆中方的面积之比的奥秘

2、研究外圆内方与外方内圆的复杂面积问题

3、研究圆与方的其他问题

（二）研究方法

1.计算测量

2.查找资料

（三）研究过程

1、研究外圆内方与外方内圆的画法及基本面积问题

（1）外圆内方的画法、面积问题

外圆内方就是在圆内画一个最大的正方形，那么怎样画一个“外圆内方”的

图形呢？

A、画法如下：

先画一个圆，再簸这个圆中两条互相垂直的直径，直径与圆的四个交点就

是正方形的四个顶点,最后把它们连接就画成了圆中最大的正方形。

B、外圆内方的基本面积问题(求阴影部分面积及圆方面积之比):

将图中的正方形看成两个三角形，则它的底和高分别是圆形的直径和半径。

我以"r=lcm,r=2cm,r=3cm,r=5cm”为例子进行研究(TT取3.14)。

a、设：这个外圆的半径为1cm

则,外圆的直径为：1+1=2(cm)

S外圆=71><12=3.14X1=3.14(cm2)

S内方=2义1+2*2=2(cm2)

S阴影;S外圆一S内方=3.14-2=1.14(cm2)

b^设：这个外圆的半径为2cm

则,外圆的直径为:2+2=4(cm)

S外圆=71X22=3.14X4=12.56(cm2)

S内方=4X2+2X2=8(cm2)

S阴影=S外圆一S内方=12.56-8=4.56(cm2)

c、设：这个外圆的半径为3cm

则,外圆的直径为：3+3=6(cm)

S夕卜圆=TTX32=3.14X9=28.26(cm2)

S内方=6X3+2X2=18(cm2)

S阴影=S外圆一S内方=28.26-18=10.26(cm2)

d、设：这个外圆的半径5cm

贝IJ,外圆的直径为：5+5=10(cm)

S外圆二TTX52=3.14X25=78.5(cm2)

S内方=10X5+2X2=50(cm2)

S阴影=S外圆一S内方=78.5-50=28.5(cm2)

整理表格如下:

圆半径1235r

外圆面积3.1412.5628.2678.5rrxr2

内正面积2818502r2

阴影面积1.144.5610.2628.5nxr2-2r2

(1.14XI2)(1.14X22)(1.14X32)(1.14X42)(TT-2)H

在这些不同大小的圆中画出最大的正方形，我除了发现阴影部分的面积都可

以用（n-2）心来表示外，我还发现了外圆与内正的面积比总是一定的:

外圆半径1235r

外圆面积JI4冗9"25nnxr2

内正面积2818502r2

外圆与内正面积之比n：2“：2n：21：2£：2

由此得出结论：

当求外圆内方阴影部分时，可以用（TT-2）H来计算（IT取3.14）,也可以简

化成：（TT-2）r2=1.14r2o

S外圆：S内正=n：2

（2）外方内圆的画法、面积问题

外方内圆就是在正方形内画一个最大的圆，那么怎样画一个“外方内圆”的

图形呢？

A、画法如下：

先画出正方形的两条对角线，再找到它们相交的地方就是内圆的圆心，最后

以这个点为圆心用圆规画一个圆。

B、外方内圆的基本面积问题（求阴影部分面积及方圆面积之比）:

图中的外正方形的边长即为内圆的直径。我也以“r=lcin,r=2cm,广

为例子进行研究5取3.14)o

a、设：这个内圆的半径为1cm

则，内圆的直径为：1+1=2(cm)

•・•内圆的直径与外正方形边长相等

/.S9卜方=2X2=4(cm2)

S内圆二兀X=3.14X1=3.14(cm2)

S阴影二S外方—S内圆二4-3.14=0.86(cm2)

b、设：