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文档简介
2024高考数学三角函数解题技巧一教师用书
目录
1.三角函数的图象与性质.......................................................1
1.1.核心知识回顾............................................................1
1.2.热点考向探究............................................................3
1.3.真题押题................................................................12
1.3.1.『真题检验』......................................................12
1.3.2.『金版押题』......................................................14
1.4.专题作业................................................................15
2.三角恒等变换与解三角形.....................................................25
2.1.核心知识回顾...........................................................25
2.2.热点考向探究...........................................................27
2.3.真题押题................................................................37
2.3.1.『真题检验』......................................................37
2.3.2.『金版押题』......................................................41
2.4.专题作业................................................................42
1.三角函数的图象与性质
「考情研析」1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、
周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点
考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点.
1.1.核心知识回顾
1.同角关系式与诱导公式
(1)同角三角函数的基本关系:r^i~|sin2a+cos2a=1,|O2]T-=tana.
(2)诱导公式:在华+a,ZWZ的诱导公式中“函1奇变偶不变,符号看象限”.
第1页共55页
2.三种三角函数的性质
函
y=sinucy=cosxy=taruc
数
图
象K
在画
在同_无+
-5+2kli,5+2攵兀](左€
2女兀,2E]((€Z)上在画
Z)
单单调递增;
上单调递增;f2.三J
(一]+也,3+攵兀
调性在|0412攵兀,兀
在画
色WZ1上单调递提
+2E]伏WZ)上单
1+2&兀,萼+2加Z)
调递减
上单调递减
对称中心:
对称中心:所
函售+E,
对0)(1WZ);对称中心:
Z);piolfj,oKez.
称性对称轴:国坛1土
对称轴:叵L
kn(kWZ)
=kn(k€Z)
3.函数y=sinY的图象经变换得到y=Asin(tyx+9)(A>0,0>0)的图象的步
骤
第2页共55页
1.2.热点考向探究
考向1同角三角关系式、诱导公式
例1(1)(2020.四川省泸县四中第二次高考适应性考试)若sin_r=
cosjccos^.r+
则)
33
AWB--lo
33
一D
JC4--4
答案A
解析siri¥=3sinfx-^-3cosx,解得taav=-3,所以cosxcosLx+
-sinxcosx-tanx3
sirLrcosx=sin2x+cos2x-1+tan2x-10'故选A.
ITT7T
(2)(2020•黑龙江省哈九中二模)若sin2a=1^<a<^,则cosa-sina的值是
近
B.2
3
D.4
第3页共55页
13
--
解析sin2a=2sinacosa=『sin2a+cos2a=1,4=4
兀71
1•,4<«<2..".cosa-sinot=-2,故选B.
⑴利用诱导公式化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负一脱周一化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sina+cosa,sinacosa,sina-cosa
这三个式子,利用(sina土cosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.
⑶关于sina,cosa的齐次式,往往转化为关于tana的式子求解.
♦对点精练
1.已知兀),sina=',贝l]tan(a+£)=()
A.7B.;
C.-7D.-]
答案D
AR,L,兀[6434(兀'
向军析,/a€I2,I,sina=g,.,.cosa=;.tana=_g./.tanla+w
f心18s(八£)
2.(2020•江西省南昌市三模)已知sin1a+5|=w,则一无~\
答案-I
兀兀
解析/cosa=cosla+二一兀I=-cos|。+勖
第4页共55页
考向2三角函数的图象及应用
例2(1)(多选)(2020.山东省荷泽市模拟)已知函数,於)=Asin(s+
4小〉0,CO>0,0<片)的部分图象如图所示,若将函数於)的图象纵坐标不变,
1兀
横坐标缩短到原来的不再向右平移%个单位长度,得到函数g(©的图象,则下列
命题正确的是()
A.函数/W的解析式为/U)=2singx+
B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2T)
7T
C.函数兀r)图象的一条对称轴是直线龙=-§
"4兀-
D.函数g(x)在区间兀,至上单调递增
答案ABD
1兀
解析由图可知,4=2,彳y=兀,.,.7=4兀=2营,得3=受।,.,.於)=2si
|7C71
将(0,1)代入得sin4s=],结合0<、<0,r.48=5.二段)=+4)故A正确;
1兀
将函数火X)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的不再向右平移Z个单位长度,
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可得y=2sin"x+*-y=2sin[2(x—5+^=2sin"x—*,故B正确;=
2sin;X(-霜聿=仇不是最值,故直线》=-郛是对称轴,C错误;由
4兀]兀「11兀15兀1、「兀兀1,,£一、一।一
兀,司,.•.2》-度[又可,同〉=5班•在区间[-不或上的单调性,根据复
4兀
合函数的单调性可知,函数g(x)在区间[兀,引上单调递增,D正确.故选ABD.
(2)(2020.河北省衡水中学高三一模)某同学用“五点法”画函数/«=
Asin(①x+9)(①>0,初<舒在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如
下表:
更3兀
O)X+(P0712兀
2T
715兀
X
36
Asin(s+
05-50
夕)
①请将上表数据补充完整,并直接写出函数/U)的解析式;
②将y=/U)图象上所有点向左平行移动。(仍>0)个单位长度,得到y=g(jr)的
图象.若了=80)图象的一个对称中心为倍,0),求。的最小值.
7T
解①根据表中已知数据,解得A=5,s=2,夕=-8数据补全如下表:
3兀
COX+(P0二712兀
2~2
717C7汽5兀13兀
X
12312612
Asin(①x+(p)050-50
且函数表达式为段)=5sin(2x-"
②由①知fix)=5sin(2x-看,得g(x)=5sin(2x+2。-专
因为y=sior的对称中心为(E,0),k£Z,所以
第6页共55页
兀kji7t
令2x+2E,解得*=5+五-仇ZWZ.
由于函数y=g(x)的图象关于点(居,0)成中心对称,
令人左了兀+五兀一八*五5兀,
Z兀兀
解得8=亍一?zwz.由e〉o可知,
兀
当%=1时,。取得最小值6
方法指导
1.解析式丁=45皿(/工+9)+8(4>0)的确定方法
最大值-最小值最大值+最小值
(DA,8由最值确定,即4=取回取一
(2)①由函数周期确定,相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为T,对称
轴与相邻对称中心之间的距离为
(3)8由图象上的特殊点确定,利用五点作图的五个特殊点直接确定.
2.三角函数图象平移问题处理策略
(1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数,这是判
断移动方向的关键点.
(2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(cox
+8)中8的正负和它的平移要求.(3)看移动单位:在函数y=Asin(s+8)中,周
期变换和相位变换都是沿x轴方向的,所以。和9之间有一定的关系,S是初
相,再经过”的压缩,最后移动的单位是2.
■对点精练
2兀2兀
1.设函数./U)=sin33>0),已知对于[0,小内的任意汨,总存在[0,y
内的X2,使得兀。)+7(X2)=0,则①的()
A.最大值为3B.最小值为3
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99
c.最大值为疝D.最小值为a
答案D
2兀]「2兀
解析因为要满足对任意的为Qo,可,总存在X2€[o,yj,使得犬为)+
於2)=0,对于於)=sis(m>0),则在[o,用上的函数值有正值,即加)可以有
正值,要存在X2使得兀川+兀切=0,则1尤2)需要有负值.又7U1)可以取到最大
值1,要存在人及),使得/UD+/(X2)=O,则加2)要可以取到最小值-1,说明7U)
2兀27r32兀
在x>o上取得第一个最小值的点应在亍的左侧或者恰好落在亍处,所以至,
即冷碧,解得0/.故选D.
2.(2020•山东省潍坊市模拟)函数外)=sin(0x+I夕局的部分图象如
图所示,则夕=;将函数於)的图象沿A-轴向右平移40〈词个单位后,
得到一个偶函数的图象,则。=.
必*兀3兀
答案4T
解析由函数/U)=sin(ox+8)(m>0,地用的部分图象,可得(•金=卜志
7T兀兀
•・①二2.再木艮据五点法作图,2玉+夕=],..夕二1
将函数./W的图象沿X轴向右平移从0<从胃个单位后,可得y=
sin(2x-2Z?+j的图象.
第8页共55页
7[兀
:得到一个偶函数的图象,:一2。+4=而+5,kez,
371
贝IJ。=至,此时攵=-1.
考向3三角函数的性质
例3(1)(2020.河北省唐山市高三一模)设函数段)=sin(2x+金,则下列结
论中正确的是()
A.>=%)的图象关于点仔0)对称
B.y=/(x)的图象关于直线x=g对称
71
C.火X)在[0,灯上单调递减
D./)在[-也0上的最小值为。
答案C
解析对于函数段)=sin(2x+T,令九4求得/)=-乎,所以尸危)
的图象不关于点。,0)对称,也不关于直线x=W对称,故A,B不正确;0,f,
2兀2兀4兀兀兀
则2x+亨yj,故於)在[o,引上单调递减,故c正确;xc[-不则
2x+y€牛,故兀X)在o上没有单调性,最小值为)=欢)=半,
故D不正确.故选C.
(2)(多选)(2020.山东省滨州市高三模拟)若函数/)=4sins>sin2愕+幻+
兀3兀
cos2wx-l(co>0)i£|_-2-7」上是增函数,则下列结论正确的是()
A.段)是偶函数
2兀
B.yu)的最小正周期丁二7
2
C.①的最大值为§
第9页共55页
D.。没有最小值
答案BCD
解析/U)=4sincox-sin2(号+个)+cos2cox-1=2sincox,包含原点的增区间为
兀兀[「兀3兀[I2①212
而,诟],又於)在[-2,句上是增函数,所以£兀兀所以
___会
2兀2
所以7U)是奇函数,最小正周期T=~,(o的最大值是?co没有最小值.故选
BCD.
(3)(2020•河北省保定市一模)设函数危)=2s底sin(x+界#是奇函数,其中
(P€(0,兀),贝【J8=-
答案I
解析因为函数/U)为定义在R上的奇函数,而丁=512是奇函数,故丁=
兀、兀兀71
4+1+可为偶函数,所以]+S=/+E,%WZ,又”€(0,71),所以夕=%.
方法指导求解函数y=Asin(cox+8)的性质问题的三种意识
(1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为兀1)=45皿(。%+9)的形
式.
(2)整体意识:类比y=sinx的性质,只需将y=Asin(cox+夕)中的“@x+夕”
看成y=shu,中的“x”,采用整体代入求解.
①令(UX+8=E+宗%WZ),可求得对称轴方程.
②令cox+s=kn(k€Z),可求得对称中心的横坐标.
③将①x+8看作整体,可求得y=Asin(s+s)的单调区间,注意①的符号.
(3)讨论意识:当A为参数时,求最值应分情况讨论A〉0,A<0.
♦对点精练
1.已知函数/U)=sinox-小cos①x(o>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距
第10页共55页
ITTT
离等于2,若将函数y=/U)的图象向左平移%个单位得到函数^=8。)的图象,则
y=g(x)是减函数的区间为()
4"3'°)B.1,习
CV4,2)D.[4,3;
答案D
解析/U)=sintyx-小costwx=2sin(cox-,因为函数“x)的图象与x轴的
两个相邻交点的距离等于T=所以7=兀,8=2、所以段)=2sin(2x-§.所以
/兀、71兀3兀兀3兀
^(x)=2sin2lx+5J_3=2sin2x由/+2&兀W2%+2%兀(女€Z),得+尤〈工
兀3兀
+E,所以y=g(x)是减函数的区间为丘+E,彳+E批WZ).分析选项只有D
符合.故选D.
2.若将函数尸sinJQ+川的图象向右平移皿心0)个单位长度后所得的图
象关于直线x=:对称,则机的最小值为()
兀兀
A.五B.不
…兀兀
0一D一
J463
答案B
解析平移后所得的函数图象对应的解析式是y=sin2(x-加+野],如果该
函数的图象关于直线x号对称,则2「一叶+韶E+界WZ),所以m=-竽+
削WZ),又加>0,故当攵=0时,最小,此时〃?=》
3.若关于尤的方程(sinx+cosx>+cos2x=机在区间[0,无)上有两个根阳,愈,
TT
且比-刈2不则实数机的取值范围是()
第11页共55页
A.[0,2)B.[0,2]
C.[1,^2+1]D.[1,6+1)
答案B
解析关于工的方程00^+(:03)2+(:052%=〃2在区间[0,兀)上有两个根Xl,
X2,方程即sin2x+cos2x=m-1,即sin(2x+m二
—、,一-、兀兀「3兀5兀
区间。兀)上有两个根Xi,X2,且以I[0,71),:.2x+^e^t
2网11国
-4'4ju[4j,
/2
工求得0W〃W2.故选B.
1.3.真题押题
1.3.1.『真题检验』
1.(2020・全国卷I)已知a€(0,兀),且3cos2a-8cosa=5,贝ljsina=()
答案A
解析由3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0,解得cosa=-
cosa=2(舍去).':a€(0,兀),sina=yj1-cos2a=3、.故选A.
2.(2020.天津高考)已知函数/)=sinQ+"给出下列结论:
①/U)的最小正周期为2兀;
②目是兀r)的最大值;
TT
③把函数y=siiu的图象上所有点向左平移]个单位长度,可得到函数y=
第12页共55页
/(X)的图象.
其中所有正确结论的序号是()
A.①B.①③
C.②③D.①②③
答案B
解析因为外)=,尤+m,所以最小正周期T=牛=2兀,故①正确;局=
sin仔+习=4谭=#1,故②不正确;将函数y=sinx的图象上所有点向左平移
三个单位长度,得到y=sin(x+1)的图象,故③正确.故选B.
3.(2020•新高考卷I)下图是函数丁=5皿3+夕)的部分图象,则sin(0x+9)
=()
A.sin(x+三
C.cos"x+5
答案BC
T27rITIT2兀2兀
解析由函数图象可知2贝U/=了=片=2,所以A不正确.当
2兀71
365兀,5兀3兀心,2兀
*=-2-=五时,y=-l,所以2X五+夕=受+2攵兀伙€Z),解得9=2k7i+y(k
€Z),即函数的解析式为y=sin"x+T+2E)=sin(2x+V+?=cos(2x+季
-cos借-故选BC.
sing-2xJ.而cos(2x+4
4.(202。全国卷III)关于函数./U)=sinx+£:有如下四个命题:
①Ax)的图象关于y轴对称;
第13页共55页
②Ax)的图象关于原点对称;
③穴X)的图象关于直线X=方对称;
④Ax)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是
答案②③
解析函数式x)的定义域为{xbWE,kWZ\,定义域关于原点对称,负-x)
=sin(-x)+而、=-sinr-熹=一卜iM+熹)=一/U),所以函数兀外为奇函
数,其图象关于原点对称,命题①错误,命题②正确;对于命题③,因为7(1-»
,兀、11/兀、.但、11
=sin7-x+—7---\=cosx+----,JJflT+x=sin7+%+—7---\=cosx+----
\2)(兀)cosx\2)\2)(7i]cosx
sin7-xsin7+x
则玛-X)=尼+4所以函数於)的图象关于直线X=女寸称命题③正确;对
于命题④,当-兀<x<0时,siruvO,则/(x)=sinx+高<0v2,命题④错误.
5.(2020.江苏高考)将函数y=3sin(2r+M|的图象向右平移衿单位长度,则
平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_______.
5兀
答案x=-24
解析将函数y=3sin(2尤+:)的图象向右平移聿个单位长度,所得图象对应
解析式为y=3sin[2(x-V+;=3sin(2x-总,令2x-专=方+E/6Z),得工=
77fjzjr5九5冗
五+了awz).当攵=-1时,-五,故与y轴最近的对称轴方程为%=-五.
1.3.2.『金版押题』
6.如图,函数/U)=J记sin(ox+s)(0〉0)的图象与它在原点。右侧的第二条
对称轴C。交于点C,A是./U)图象在原点左侧与x轴的第一个交点,点8在图
象上,魂=汕,AB1BC.则0=()
第14页共55页
答案B
371
解析由题,对于函数段)=^sin(ox+s)(0>0),0j,C(—^~,
3兀3兀
一班),设。(,〃),鸳),B(XB,yif),:.AB=[XB+^-,»),AD=(—,yo),
(X/\/(X/
3兀5兀
5f5^2不一夕
-:AB=gAD,-'-XB+^)=g--,即XB=s,
57i3兀
不一勿J15-了—9
.点8在图象上,:.yB=V15sin(co-—+(p)=CB=(XB~~CO>B
2兀
5兀
丽=《,华).又AB1BC即检宓=0,
2兀5兀
"~co~X'a)+^'X^2^=(),解得°=常故选B.
1.4.专题作业
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数火*)=tan(2x-与的单调递增区间是()
第15页共55页
E兀kit5兀]
212,2+五/cz)
(kn7tku5兀、
15一司1+司MZ)
,713兀,
C.k兀一五,匕i十五(A€Z)
兀5兀、
D.t9」,ku+nJ(%wz)
答案B
解析当桁-小②-mE+界€Z)时,函数尸1211(2%-京单调递增,解得
L-jrjrLqr5冗,兀、
了-五〃〈了+五(攵€Z),所以函数y=tan(2x-a的单调递增区间是
(如兀左兀5兀、一、人
后-运2+司(%€Z),故选B.
2.函数火x)=2x-tanx在«,野上的图象大致为()
答案C
解析因为函数/U)=2x-tanr为奇函数,所以函数图象关于原点对称,排
除A,B,又当X一5时,/)<0,排除D.故选C.
3.为了得到函数y=sin(2x-施图象,可以将函数y=coslr的图象()
7T
A.向右平移不个单位长度
7T
B.向右平移)个单位长度
第16页共55页
TT
c.向左平移4个单位长度
7T
D.向左平移]个单位长度
答案B
解析y=sin,-*)=cos5-目一加=cos@一2九)=cos(2x一削=
式2(尤-3,.■.将函数>=cos2x的图象向右平移母个单位长度,故选B.
4.函数兀r)=cos(ft>x+s)(69>0,刷的部分图象如图所示,则函数於)的
单调递增区间为()
1171~71…
A.--yy+2kn,3+2kn(k€Z)
B.--jy+E,五+E(kCZ)
-5兀…兀…一
C.一五+2E,行+2版(攵6Z)
「5兀,兀,1
D.一元+攵兀,五+E(Z€Z)
答案D
解析由题图可知,图象过(专,1),住0^)=>J=^--^=>T=7t,-:T=^,
co>0,:.co=2;图象过仔,0),.•.cos(2xW+J=0,根据题中图象可得2X台夕
=2mit+GZ),即夕=2m?i一^(m€Z).
,「1研<5,7♦9=_聿,二危)=cos(2x-%),当2也_兀忘2工_5.2阳攵€2)时,
函数单调递增,化简得E-居4WE+aAWZ).故选D.
5.(2019・天津高考)已知函数.八》)=人皿3>%+8)04>0,0>0,助<无)是奇函数,
第17页共55页
将y=/W的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对
应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2无,且=也,则/爸=()
A.-2B.-y)2
C.也D.2
答案C
解析因为/U)是奇函数(显然定义域为R),所以的)=Asins=O,所以sin8
=0.又助<无,所以s=0.由题意得g(x)=Asings],且g(x)的最小正周期为2兀,
所以;①=1,即0=2.所以g(x)=Asinx,所以g。=Asin:=^A=6,所以A=
2.所以段)=2sin2尤,所以痣)=6.故选C.
M
6.(2020•辽宁省沈阳市三模)已知函数^)=Asin((yx+^)-e-(A>0,
①>0,0<8<兀)的部分图象如图所示,则/①的可能取值为()
.兀
A3B.兀
-3兀
C.zD.2兀
答案B
兀
解析./W的图象关于y轴对称,,於)为偶函数,"=E+],kwz,•:
兀I
0<夕〈兀,:.(p=3,=Acoscox-e-w,/.y(0)=A=2,'//(1)=/(3)=0,
1兀、
=COS3(J9-^3=0,.'.COSO)=cos3co=0,取①=],贝|J/G=7L故选B.
7.将函数段)=2sin(2x+施图象向左平移专个单位长度,再向上平移1个
单位长度,得到g(x)的图象,若g(xi)g(X2)=9,且Xi,x2e[-2n,2兀],则2xi-
九2的最大值为()
第18页共55页
25兀49K
AvB.~n
C型17兀
6D.
答案B
解析由题意可得,g(x)=2sin(2x+§+1,所以g(x)max=3,又g(xi)g(X2)=
(71、717C
9,所以g(xi)=g(X2)=3,由g(x)=2sin(2x+§J+1=3,得2x+§=]+2kMk€Z),
EPx=+kn(k€Z),因为xi,%2€[-2TI,2n],所以(2xi-九2)max=2X“+7t)-
(7i-、49无「
后-2q=F,故选B.
71兀
8.(2020•天津二模)若函数於)=cos(2x+e)(0<夕<兀)在区间[-不落上单调递
减,且在区间(0,野上存在零点,则9的取值范围是()
答案D
解析由2EW2x+gW2E+兀,kSZ,得攵兀一?忘了.攵兀一?+微,kWZ,即
。兀。兀兀
函数的单调递减区间为[EE+]-外kWZ,,.7W在区间[-不成上单调
递减,—看且E+卷一kWZ,即E+聿乏3〈痴+三,左WZ,即2E
兀27r7i27r
+§<9・2攵兀+亍,攵€Z,'."0<^<7c,当女=0时,由2X+9=E+
,,kez,得尤若-3+:,攵wz,•.7U)在区间(o,春有零点,.•.满足。碧-3
7T7L..0兀兀7L兀..7T7L,,.,
+^<不当々=0时,o<_g+a(不得•综上,故v选D.
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
第19页共55页
9.(202。山东部分重点中学联考)函数段)=cos(s+8)(m>0,初唱的部分
图象如图所示,则下列结论正确的是()
A.①二兀
兀
B.(p=马
3
C.直线X是函数,/U)图象的一条对称轴
1
点+-O)(ZCZ)是函数於溷象的对称中心
D.4
答案
解析由函数的图象知彳=1,其中7为7U)的最小正周期,贝IJT=2,即7=
穿=2,得⑦=兀,所以A正确;由图象可得,0=COS(%Q|=0,所以,夕=
兀717171(兀、
2E+1,ZWZ,即夕=2也+不攵WZ,又|研<],所以夕=不故段)=cosg+ij,
13
当
兀--1H忖X--
所以B不正确;令TLV+W=E,k£Z,得x=k44
37171
故直线是函数/U)图象的一条对称轴,所以c正确;令U+I=E+5,kw
1
得
%+-攵€Z所以函数./U)图象的对称中心为点,+1,0),左6Z,所
Z,X=4
以D正确,故选ACD.
10.(2020•武汉模拟)已知函数於)=sin(si*+cos(cos©,则下列关于该函数
的结论正确的是()
A.兀r)的图象关于直线尤对称
B.7W的一个周期是2无
C.«r)的最大值为2
第20页共55页
D.段)在区间(0,号上是增函数
答案ABD
解析对于A,因为於)=sin(siar)+cos(cosx),所以«兀一x)=sin(sin(兀一x))
+cos(cos(7t-x))=sin(sinx)+cos(cosx)=j(x),所以.*兀-x)=«x),所以贝x)的图象
关于直线X=对称,所以A正确;对于B,因为外)=sin(sior)+cos(cosx),所
以+2兀)=sin(sin(x+2兀))+cos(cos(x+2TT))=sin(sinr)+cos(cosx)=/(x),所以B
正确;对于C,因为sinxWl,cosxWl,sin(sinx)<l,cos(cosx)Wl,所以/(x)的最
大值不为2,所以C错误;对于D,因为于,所以函数^=32是增函
数,y=cosx是减函数,由复合函数的单调性知丁=$亩6加),y=cos(cosx)在区间
(0,皆上都是增函数,所以段)=林山)+85(”>5)在区间(0,等上是增函数,
所以D正确.故选ABD.
11.(2020•海南模拟)已知函数外)=x+siiu-xcosx的定义域为[-2兀,2兀),
则()
A..共幻为奇函数
B.7U)在[0,兀)上单调递增
C.火X)恰有4个极大值点
D.7U)有且仅有4个极值点
答案BD
解析因为/W的定义域为[-2兀,2兀),所以火X)是非奇非偶函数,又/'(X)
=1+cosx-(cosx-xsin九)=1+xsinx,当兀)时,/(x)>0,贝在[0,兀)
上单调递增.显然f(0)W0,令/'(九)=0,得siiu=-(,分另蚱出尸siiu,y
=-;在区间[-2兀,2兀)上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间[-2兀,
2兀)上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故7U)在区间[-2兀,
2兀)上的极值点的个数为4,且人万)只有2个极大值点.故选BD.
第21页共55页
12.(2020.山东枣庄模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项
古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水
车,一个水斗从点43小,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一
周用时60秒.经过f秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标
满足y=/W=Rsin(ft>/+9)(fB0,ft»0,|研<9则下列叙述正确的是()
A.7?=6,co=2Q,甲=一4
B.当我[35,55]时,点尸到x轴的距离的最大值为6
C.当任[10,25]时,函数>=/⑺单调递减
D.当f=20时,陷|=砧
答案ABD
解析由题意得,-=427+9=6,T=60=资,.•.“=点.由一个水斗从点
A(3小,一3)出发,可知人0)=-3,二一3=65即:初<方,.,.夕=一季,A正确;
由上可知,々)=6sin|j^-初当,€[35,55]时,而/-不€[兀,手_|,故点P到%轴
的距离的最大值为6,B正确;当在[10,25]时,言一嘴一兀,y2兀一j,此时函数产
JI'llJI
刖不单调,C不正确;当f=20时,而"4=],点P的纵坐标为6,此时P(0,6),
第22页共55页
.-.|M|=^/27+81=6^3,D正确.故选ABD.
三、填空题
sina+3cos。
13.已知:;:-=5,贝ljsin2a-sinacosa=
3coso—sma
答案1
解析由已知可得sina+3cosa=5(3cosa-sina),即sina=2cosa,所以tana
sinasin2a-sinacosatan%-tana22-22
==2,从而sirra-sinacosa=rj3=7:~7=7.
cosa,/八"usin2a+cos2atan2a+122+15
14.已知函数«x)=45sinx+cosx在[-〃“上是单调递增函数,见|八2/〃)
的取值范围为.
答案[1,2]
解析函数段)=V5sinx+cosx=2sin(x+聿),
兀兀7C27rTC
由2E-/W九+%W2E+],4€Z=>2E—了+kSZ,故y(x)在区
2兀兀2兀兀
间2^-y,2E+§/€Z)上单调递增,当左=0,於)在区间一,w上是单调
2兀兀
递增函数,则[-加,〃昨-7,3-即R纱匹
>0
X2m)=2sin(2团+,而煮<2根+狂手,
所以吴sin(2m+*1,所以共2加)€[1,2].
jrrjrr
15.已知A,8是函数/(x)=sin5的图象与函数g(x)=cos5的图象的两个不
同的交点,则线段A8长度的最小值是_______.
答案#
解析如图所示,
第23页共55页
上〃、,、.nxnx
由fix)-g(x)=sin^--cos万
.兀A/2兀
inp;-2cos/
令0,得全-;=依,k€Z,
解得x=2k+W,k6Z,所以|8。|=2,|AD|=啦,
所以=y出52+依。|2=历万=册,即线段4?长度的最小值为黄.
16.已知函数外)=Asin(①x+9)(A>0,CO
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