人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义第42讲 5.5.2简单的三角恒等变换（教师版）

第10讲5.5.2简单的三角恒等变换课程标准学习目标①会运用三角函数的正弦、余弦、正切的和与差、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值。②会运用相应的三角函数公式进行三角函数式的证明。会运用三角函数的相关公式进行简单的三角恒等变换，并能解决与三角函数有关的计算、化简、证明等问题.知识点01：半角公式①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0知识点02：辅助角公式：SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)知识点03：万能公式①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0题型01降幂公式【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0/0.64【详解】由题得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两边同时平方可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】解：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023春·湖北恩施·高二校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最小正周期是．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型02利用半角公式、万能公式求值【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】方法一：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；方法二：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为锐角，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：D．【变式2】（2023春·高一单元测试）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.【答案】2【详解】由题意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：2【变式3】（2023秋·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，α为第四象限角，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】答案见解析【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0为第四象限角，∴SKIPIF1<0为第二、四象限角．当SKIPIF1<0为第二象限角时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为第四象限角时，SKIPIF1<0.题型03简单的三角恒等变换【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）化简SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】法1：由倍角公式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．法2：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的最小正周期及SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；【答案】(1)最小正周期为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的最小正周期和对称轴方程；(2)求SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的值域.【答案】(1)最小正周期为SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0.（2）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.【变式2（2023秋·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的最小正周期；(2)求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值；(3)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)最大值为SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，函数的最小正周期SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.题型04辅助角公式的应用【典例1】（2023秋·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的最小正周期是（

）A．π B．SKIPIF1<0 C．2π D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，故函数的最小正周期为SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；即函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0【典例3】（2023春·广东佛山·高一佛山市南海区九江中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·山东青岛·高三统考期末）函数SKIPIF1<0的单调减区间为．【答案】SKIPIF1<0；【详解】因为SKIPIF1<0，则函数的单调减区间为:SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）函数SKIPIF1<0的最大值为．【答案】3【详解】依题意，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故答案为：3【变式3】（2023秋·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有SKIPIF1<0个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有SKIPIF1<0个零点，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型05三角函数的实际应用【典例1】（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）如图，在半径为SKIPIF1<0、圆心角为SKIPIF1<0的扇形SKIPIF1<0弧上任取一点SKIPIF1<0，作扇形的内接矩形SKIPIF1<0，使点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则这个矩形面积的最大值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0扇形SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，圆心角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．化简得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0．故选：B.【典例2（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图，在凸四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则四边形ABCD面积的最大值为.

【答案】SKIPIF1<0【详解】连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四边形的面积为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．

【变式1】（2023春·四川达州·高一校考期中）如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为SKIPIF1<0的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记SKIPIF1<0，求当角SKIPIF1<0取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

【答案】当SKIPIF1<0时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为SKIPIF1<0．【详解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设矩形ABCD的面积为S，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此，当SKIPIF1<0时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为SKIPIF1<0．【变式2】（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知OPQ是半径为1，圆心角为SKIPIF1<0的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求矩形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0的值.(2)求SKIPIF1<0关于角SKIPIF1<0的解析式，并求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·四川资阳·高二四川省乐至中学校考开学考试）函数SKIPIF1<0的最小正周期为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由二倍角公式和辅助角公式化简SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由三角函数的周期公式可得最小正周期SKIPIF1<0.故选：C2．（2023春·甘肃酒泉·高一统考期末）求值：SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<03．（2023春·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）下列函数中，最小正周期为SKIPIF1<0的偶函数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】A选项：SKIPIF1<0，函数的周期为SKIPIF1<0，A不正确；因为SKIPIF1<0，函数的周期为SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，不是偶函数，B不正确；因为SKIPIF1<0，函数的周期为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，是偶函数，C正确；因为SKIPIF1<0，函数的周期为SKIPIF1<0，是偶函数，D不正确；故选：C.4．（2023·全国·高二专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A5．（2023秋·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．－SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.6．（2023春·河南南阳·高一校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.7．（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：D.8．（2023春·高一课时练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．－2 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，两式相除得SKIPIF1<0.故选：A.二、多选题9．（2023秋·高一课时练习）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0化简的结果可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】SKIPIF1<0.故选：BD10．（2023春·高一课时练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．－2【答案】CD【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：CD.三、填空题11．（2023秋·高一课时练习）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域是.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2023秋·高一课时练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0四、解答题13．（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）设常数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0为偶函数，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的解.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0为偶函数，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.14．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的任意两条对称轴，且SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0图象的任意两条对称轴，且SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）如图，矩形SKIPIF1<0内接于半径为1、中心角为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的扇形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求矩形SKIPIF1<0面积的最大值，并求此时SKIPIF1<0的长．【答案