人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义第37讲 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（教师版）

第05讲5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课程标准学习目标①理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法.掌握数形结合的优势。②通过两类函数图象认识函数图象的特点，并能通过两类图象的形状掌握两类函数的性质。会作正弦函数、余弦函数的图象的同时，能认识图象与三角函数的密切关系，并能解决与图象有关的三角函数问题知识点01：正弦函数的图象正弦函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象叫做正弦曲线.知识点02：正弦函数图象的画法(1)几何法:①在单位圆上,将点SKIPIF1<0绕着点SKIPIF1<0旋转SKIPIF1<0弧度至点SKIPIF1<0,根据正弦函数的定义,点SKIPIF1<0的纵坐标SKIPIF1<0.由此,以SKIPIF1<0为横坐标,SKIPIF1<0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点SKIPIF1<0.②将函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象不断向左、向右平行移动(每次移动SKIPIF1<0个单位长度).(2)“五点法”:在函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象上,以下五个点:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.【即学即练1】（2023春·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）用五点法作出函数SKIPIF1<0的大致图象．【答案】图象见解析【详解】解：因为SKIPIF1<0，列表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0描点、连线，函数图象如下图所示：知识点03：余弦函数的图象余弦函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象叫做余弦曲线.知识点04：余弦函数图象的画法(1)要得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象,只需把SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度即可,这是因为SKIPIF1<0.(2)用“五点法”:画余弦函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象时,所取的五个关键点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0再用光滑的曲线连接起来.【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）作出函数SKIPIF1<0的图象【答案】见解析【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0图象后，将SKIPIF1<0轴下方的部分沿SKIPIF1<0轴翻折到SKIPIF1<0轴上方，即为函数SKIPIF1<0的图象，如图

题型01用“五点法”作三角函数的图象【典例1】（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的大致图像.

【答案】答案见解析【详解】列表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0120SKIPIF1<001描点，连线，画出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的大致图像如图：【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）（1）作出函数SKIPIF1<0的简图；（2）作出函数SKIPIF1<0的简图．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【详解】（1）列表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0010SKIPIF1<00SKIPIF1<0020SKIPIF1<00描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数SKIPIF1<0的图象，如图所示：

（2）列表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<001SKIPIF1<001SKIPIF1<001210描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数SKIPIF1<0的图象，如图所示：

【变式1】（2023春·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）用五点法画出函数SKIPIF1<0一个周期的图象.【答案】答案见解析【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.列表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在一个周期内的图象如下图所示：【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在用“五点法”作函数SKIPIF1<0的图象时，列表如下：SKIPIF1<0xSKIPIF1<0完成上述表格，并在坐标系中画出函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象；

【答案】填表见解析；作图见解析【详解】由题意列出以下表格：SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0x0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0020SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数图象如图所示：

【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）用五点法分别画下列函数在SKIPIF1<0上的图象:(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【答案】（1）见解析（2）见解析【详解】解:xSKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0010-10SKIPIF1<032123

题型02利用图象解三角不等式【典例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数图象如下所示：

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式的解集为：SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【典例2】（2023秋·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试）不等式SKIPIF1<0的解集为．【答案】SKIPIF1<0【详解】画出SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象．

令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0又SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高一假期作业）不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】如图所示，不等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0故选：A【变式2】（2023春·高一课时练习）在(0，2π)内使sinx>|cosx|的x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为sinx>|cosx|且x∈(0，2π)，所以sinx>0，所以x∈(0，π)，在同一平面直角坐标系中画出y=sinx，x∈(0，π)与y=|cosx|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈SKIPIF1<0．故选：A.【变式3】（2023春·上海嘉定·高一校考期中）不等式SKIPIF1<0的解集为.【答案】SKIPIF1<0【分析】画出SKIPIF1<0的图象，由图象即可求解.【详解】

画出SKIPIF1<0的图象，如图所示，由图可知，不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型03利用图象求方程的解或函数零点的个数问题【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的零点个数为.【答案】3【详解】由SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0零点个数为SKIPIF1<0图象交点个数，在同一坐标系中画出两函数图象如下，则交点有3个，即SKIPIF1<0有3个零点.故答案为：3【典例2】（2023秋·河南新乡·高一校联考期末）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点，则SKIPIF1<0，无解；若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有1个零点，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有1个零点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点，则SKIPIF1<0，无解，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的零点个数为．【答案】7【详解】依题意求函数SKIPIF1<0的零点个数，可以转化为求函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数，SKIPIF1<0，如图，对于函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以在SKIPIF1<0轴非负半轴上两个函数图像有4个交点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以在SKIPIF1<0轴负半轴上两个函数图像有3个交点，

综上，函数SKIPIF1<0的零点个数为7.故答案为：7.【典例4】（2023春·贵州遵义·高一统考期中）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有10个零点，则ω的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有10个零点，所以由余弦函数的性质可知：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【典例5】（2023春·高一单元测试）方程SKIPIF1<0的解的个数是．【答案】7【详解】由正弦函数值域可得SKIPIF1<0，又因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以，分别画出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象如下图所示：

根据图像并根据其对称性可知，在SKIPIF1<0上两函数图象共有7个交点；由函数与方程可知，方程SKIPIF1<0有7个解.故答案为：7【变式1】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点个数为．【答案】2【详解】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，原题意等价于求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的交点个数，∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有余弦函数可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个交点所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个交点.故答案为：2.【变式2】（2023春·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知函数SKIPIF1<0），若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有5个实数解，则实数SKIPIF1<0的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰好有5个x，使得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有5条对称轴．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有5条对称轴，如图：所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0互不相等SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0的图象如下图所示：存在实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0互不相等SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则由图可知SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且由图可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.【变式4】（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知关于x的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，则m的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象如下，只需SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在给定区间内有两个交点即可，如图，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式5】（2023秋·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有2个零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0SKIPIF1<0/0.75【详解】由题意得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的函数图象，

SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A夯实基础B能力提升A夯实基础1．（2023秋·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】用五点法画出函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为SKIPIF1<0.

故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”作SKIPIF1<0的图象，首先描出的五个点的横坐标是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由“五点法”作图知：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即为五个关键点的横坐标.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）三角函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图像为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：∵SKIPIF1<0为奇函数，∴SKIPIF1<0的图像关于原点对称，故排除A、D选项，三角函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，故排除B选项.故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）从函数SKIPIF1<0的图象来看，当SKIPIF1<0时，对于SKIPIF1<0的x有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】先画出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象，即A与D之间的部分，再画出SKIPIF1<0的图象，如下图：由图象可知它们有2个交点B、C，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的x的值有2个.故选：C5．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像交点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】作出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象，并作出直线SKIPIF1<0，如图：观察图形知：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象与直线SKIPIF1<0有两个公共点，所以函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像交点的个数为2.故选：C6．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的简图是（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】由SKIPIF1<0知，其图象和SKIPIF1<0的图象相同，故选B．7．（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象在区间SKIPIF1<0的交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】分别作出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象，如图所示，

由图象可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象在区间SKIPIF1<0的交点个数为3.故选：A.8．（2023春·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数SKIPIF1<0的部分图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以ACD错误.故选：B二、多选题9．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有一个交点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0C．1 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】画出SKIPIF1<0的图象.如图：直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点，

故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：BD.10．（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0（t为常数，SKIPIF1<0）的交点可能有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】ABC【详解】作出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图像观察可知，

当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0的交点个数为0；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0的交点个数为l；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0的交点个数为2.故选：ABC.三、填空题11．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有3个零点，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有3个零点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）不等式SKIPIF1<0的解集为.【答案】SKIPIF1<0【详解】

画出SKIPIF1<0的图象，如图所示，由图可知，不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题13．（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的大致图像.

【答案】答案见解析【详解】列表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0120SKIPIF1<001描点，连线，画出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的大致图像如图：14．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0，用五点作图法画出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象；（先列表，再画图）【答案】答案见解析【详解】SKIPIF1<0，按五个关键点列表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0010SKIPIF1<00SKIPIF1<003010描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：15．（2023·高一课时练习）作函数SKIPIF1<0的图象.【答案】图象见解析.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的图象实际就是SKIPIF1<0的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图16．（2023秋·山东泰安·高一泰山中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0（1）作出该函数的图象；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（3）若SKIPIF1<0，讨论方程SKIPIF1<0的解的个数．【答案】（1）图见解析；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，解的个数为0；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，解的个数为1；当SKIPIF1<0时，解的个数为3．【详解】（1）SKIPIF1<0的函数图象如下：（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF