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文档简介
第05讲5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课程标准学习目标①理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法.掌握数形结合的优势。②通过两类函数图象认识函数图象的特点,并能通过两类图象的形状掌握两类函数的性质。会作正弦函数、余弦函数的图象的同时,能认识图象与三角函数的密切关系,并能解决与图象有关的三角函数问题知识点01:正弦函数的图象正弦函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象叫做正弦曲线.知识点02:正弦函数图象的画法(1)几何法:①在单位圆上,将点SKIPIF1<0绕着点SKIPIF1<0旋转SKIPIF1<0弧度至点SKIPIF1<0,根据正弦函数的定义,点SKIPIF1<0的纵坐标SKIPIF1<0.由此,以SKIPIF1<0为横坐标,SKIPIF1<0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点SKIPIF1<0.②将函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象不断向左、向右平行移动(每次移动SKIPIF1<0个单位长度).(2)“五点法”:在函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象上,以下五个点:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.【即学即练1】(2023春·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习)用五点法作出函数SKIPIF1<0的大致图象.【答案】图象见解析【详解】解:因为SKIPIF1<0,列表:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0描点、连线,函数图象如下图所示:知识点03:余弦函数的图象余弦函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象叫做余弦曲线.知识点04:余弦函数图象的画法(1)要得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象,只需把SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度即可,这是因为SKIPIF1<0.(2)用“五点法”:画余弦函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象时,所取的五个关键点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0再用光滑的曲线连接起来.【即学即练1】(2023·全国·高三专题练习)作出函数SKIPIF1<0的图象【答案】见解析【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,作出函数SKIPIF1<0图象后,将SKIPIF1<0轴下方的部分沿SKIPIF1<0轴翻折到SKIPIF1<0轴上方,即为函数SKIPIF1<0的图象,如图
题型01用“五点法”作三角函数的图象【典例1】(2023·全国·高三专题练习)用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的大致图像.
【答案】答案见解析【详解】列表:SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0120SKIPIF1<001描点,连线,画出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的大致图像如图:【典例2】(2023·全国·高一课堂例题)(1)作出函数SKIPIF1<0的简图;(2)作出函数SKIPIF1<0的简图.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析【详解】(1)列表:SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0010SKIPIF1<00SKIPIF1<0020SKIPIF1<00描点并用光滑的曲线连接起来,可得函数SKIPIF1<0的图象,如图所示:
(2)列表:SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<001SKIPIF1<001SKIPIF1<001210描点并用光滑的曲线连接起来,可得函数SKIPIF1<0的图象,如图所示:
【变式1】(2023春·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习)用五点法画出函数SKIPIF1<0一个周期的图象.【答案】答案见解析【详解】令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.列表:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在一个周期内的图象如下图所示:【变式2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.在用“五点法”作函数SKIPIF1<0的图象时,列表如下:SKIPIF1<0xSKIPIF1<0完成上述表格,并在坐标系中画出函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象;
【答案】填表见解析;作图见解析【详解】由题意列出以下表格:SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0x0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0020SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数图象如图所示:
【变式3】(2023·全国·高一随堂练习)用五点法分别画下列函数在SKIPIF1<0上的图象:(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】解:xSKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0010-10SKIPIF1<032123
题型02利用图象解三角不等式【典例1】(2023·全国·高一假期作业)不等式SKIPIF1<0的解集为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【详解】解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数图象如下所示:
SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不等式的解集为:SKIPIF1<0.故选:SKIPIF1<0.【典例2】(2023秋·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试)不等式SKIPIF1<0的解集为.【答案】SKIPIF1<0【详解】画出SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的图象.
令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0又SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0.可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【变式1】(2023·全国·高一假期作业)不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0的解集是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】如图所示,不等式SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0故选:A【变式2】(2023春·高一课时练习)在(0,2π)内使sinx>|cosx|的x的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为sinx>|cosx|且x∈(0,2π),所以sinx>0,所以x∈(0,π),在同一平面直角坐标系中画出y=sinx,x∈(0,π)与y=|cosx|,x∈(0,π)的图象,观察图象易得x∈SKIPIF1<0.故选:A.【变式3】(2023春·上海嘉定·高一校考期中)不等式SKIPIF1<0的解集为.【答案】SKIPIF1<0【分析】画出SKIPIF1<0的图象,由图象即可求解.【详解】
画出SKIPIF1<0的图象,如图所示,由图可知,不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0题型03利用图象求方程的解或函数零点的个数问题【典例1】(2023·全国·高一假期作业)函数SKIPIF1<0的零点个数为.【答案】3【详解】由SKIPIF1<0,则函数SKIPIF1<0零点个数为SKIPIF1<0图象交点个数,在同一坐标系中画出两函数图象如下,则交点有3个,即SKIPIF1<0有3个零点.故答案为:3【典例2】(2023秋·河南新乡·高一校联考期末)已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点,则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点,则SKIPIF1<0,无解;若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有1个零点,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有1个零点,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点,则SKIPIF1<0,无解,所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0【典例3】(2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习)函数SKIPIF1<0的零点个数为.【答案】7【详解】依题意求函数SKIPIF1<0的零点个数,可以转化为求函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数,SKIPIF1<0,如图,对于函数SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;所以在SKIPIF1<0轴非负半轴上两个函数图像有4个交点,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;所以在SKIPIF1<0轴负半轴上两个函数图像有3个交点,
综上,函数SKIPIF1<0的零点个数为7.故答案为:7.【典例4】(2023春·贵州遵义·高一统考期中)已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有10个零点,则ω的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有且仅有10个零点,所以由余弦函数的性质可知:SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0.【典例5】(2023春·高一单元测试)方程SKIPIF1<0的解的个数是.【答案】7【详解】由正弦函数值域可得SKIPIF1<0,又因为当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;所以,分别画出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象如下图所示:
根据图像并根据其对称性可知,在SKIPIF1<0上两函数图象共有7个交点;由函数与方程可知,方程SKIPIF1<0有7个解.故答案为:7【变式1】(2023·四川绵阳·统考模拟预测)已知函数SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点个数为.【答案】2【详解】令SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,原题意等价于求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的交点个数,∵SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,有余弦函数可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个交点所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个交点.故答案为:2.【变式2】(2023春·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中)已知函数SKIPIF1<0),若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有5个实数解,则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰好有5个x,使得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有5条对称轴.令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有5条对称轴,如图:所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【变式3】(2023春·江西南昌·高一校考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0,若存在实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0互不相等SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0的图象如下图所示:存在实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0互不相等SKIPIF1<0,不妨设SKIPIF1<0,则由图可知SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称,所以SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,因为SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,故而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且由图可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,综上所述SKIPIF1<0;故答案为:SKIPIF1<0.【变式4】(2023春·四川广安·高一校考阶段练习)已知关于x的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根,则m的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实数根,又SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象如下,只需SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在给定区间内有两个交点即可,如图,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0【变式5】(2023秋·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有2个零点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0SKIPIF1<0/0.75【详解】由题意得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有2个零点SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,画出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的函数图象,
SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0A夯实基础B能力提升A夯实基础1.(2023秋·高一课时练习)函数SKIPIF1<0的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【详解】用五点法画出函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为SKIPIF1<0.
故选:B2.(2023·全国·高三专题练习)用“五点法”作SKIPIF1<0的图象,首先描出的五个点的横坐标是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【详解】由“五点法”作图知:令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即为五个关键点的横坐标.故选:B.3.(2023·全国·高三专题练习)三角函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图像为()A. B.C. D.【答案】C【详解】解:∵SKIPIF1<0为奇函数,∴SKIPIF1<0的图像关于原点对称,故排除A、D选项,三角函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0,故排除B选项.故选:C.4.(2023·全国·高三专题练习)从函数SKIPIF1<0的图象来看,当SKIPIF1<0时,对于SKIPIF1<0的x有(
)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【详解】先画出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象,即A与D之间的部分,再画出SKIPIF1<0的图象,如下图:由图象可知它们有2个交点B、C,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的x的值有2个.故选:C5.(2023·全国·高三专题练习)函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像交点的个数为(
)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【详解】作出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象,并作出直线SKIPIF1<0,如图:观察图形知:函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象与直线SKIPIF1<0有两个公共点,所以函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像交点的个数为2.故选:C6.(2023·全国·高三专题练习)函数SKIPIF1<0的简图是(
)A.B.C. D.【答案】B【详解】由SKIPIF1<0知,其图象和SKIPIF1<0的图象相同,故选B.7.(2023秋·安徽合肥·高一校联考期末)函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象在区间SKIPIF1<0的交点个数为(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【详解】分别作出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象,如图所示,
由图象可知:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象在区间SKIPIF1<0的交点个数为3.故选:A.8.(2023春·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习)华罗庚说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图,那么函数SKIPIF1<0的部分图像可能是(
)A.
B.
C.
D.
【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0,所以ACD错误.故选:B二、多选题9.(2023秋·高一课时练习)(多选)函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有一个交点,则SKIPIF1<0的值为(
)A.SKIPIF1<0 B.0C.1 D.SKIPIF1<0【答案】BD【详解】画出SKIPIF1<0的图象.如图:直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点,
故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选:BD.10.(2023·全国·高一假期作业)函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0(t为常数,SKIPIF1<0)的交点可能有(
)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】ABC【详解】作出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图像观察可知,
当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0的交点个数为0;当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0的交点个数为l;当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0的交点个数为2.故选:ABC.三、填空题11.(2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有3个零点,则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,依题意,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有3个零点,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.12.(2023春·上海嘉定·高一校考期中)不等式SKIPIF1<0的解集为.【答案】SKIPIF1<0【详解】
画出SKIPIF1<0的图象,如图所示,由图可知,不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0四、解答题13.(2023·全国·高三专题练习)用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的大致图像.
【答案】答案见解析【详解】列表:SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0120SKIPIF1<001描点,连线,画出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的大致图像如图:14.(2023·全国·高三专题练习)函数SKIPIF1<0,用五点作图法画出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象;(先列表,再画图)【答案】答案见解析【详解】SKIPIF1<0,按五个关键点列表:SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0010SKIPIF1<00SKIPIF1<003010描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示:15.(2023·高一课时练习)作函数SKIPIF1<0的图象.【答案】图象见解析.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的图象实际就是SKIPIF1<0的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象,如图16.(2023秋·山东泰安·高一泰山中学校考期末)已知函数SKIPIF1<0(1)作出该函数的图象;(2)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值;(3)若SKIPIF1<0,讨论方程SKIPIF1<0的解的个数.【答案】(1)图见解析;(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;(3)当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,解的个数为0;当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,解的个数为1;当SKIPIF1<0时,解的个数为3.【详解】(1)SKIPIF1<0的函数图象如下:(2)当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,当SKIPIF
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