2025届江苏省无锡市宜兴市丁蜀区数学九上期末综合测试模拟试题含解析

2025届江苏省无锡市宜兴市丁蜀区数学九上期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列方程属于一元二次方程的是（）A． B．C． D．2．2018年某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（）．A． B． C． D．3．一元二次方程的解是（）A．x1＝2，x2＝-2 B．x＝-2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝04．关于二次函数y＝x2+4x﹣5，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，5） B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小 D．图象与x轴的两个交点之间的距离为55．如图，BA=BC，∠ABC=80°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（）A．50° B．55° C．60° D．65°6．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n），B(m﹣8，n)，则n的值为（）A．8 B．12 C．15 D．167．如图，A、B是曲线上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1则S1+S2=()A．4 B．5 C．6 D．88．如图，已知的周长等于，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A． B． C． D．9．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm10．已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．计算：|﹣3|﹣sin30°＝_____．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边在其坐标轴上，以轴上的某一点为位似中心作矩形，使它与矩形位似，且点，的坐标分别为，，则点的坐标为__________．13．如图，在中，点在上，请再添加一个适当的条件，使与相似，那么要添加的条件是__________．(只填一个即可)14．函数，其中是的反比例函数，则的值是__________.15．若(m-1)+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______．16．在△ABC中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB于点P，当△PQB为等腰三角形时，线段AP的长为_____．17．如图，，，，分别是正方形各边的中点，顺次连接，，，.向正方形区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是_______.18．若抛物线的顶点在坐标轴上，则b的值为________.三、解答题(共66分)19．（10分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．（1）求扶手前端D到地面的距离；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）20．（6分）已知：如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的点，且，连接、，两线相交于点，过点作，且，连接．（1）若，求的长．（2）若点、分别是、延长线上的点，其它条件不变，试判断与的关系，并予以证明．21．（6分）已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值．22．（8分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加15°，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：，）23．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；（2）在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的扇形的面积．24．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若，且AC=14，求DE的长.25．（10分）在中，是边上的中线，点在射线上，过点作交的延长线于点．（1）如图1，点在边上，与交于点证明：；（2）如图2，点在的延长线上，与交于点．①求的值；②若，求的值26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．【详解】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；B、该方程属于二元二次方程，不符合题意；C、当a=1时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2、D【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．【详解】解：如图所示：一共有9种可能，符合题意的有1种，故小华和小强都抽到物理学科的概率是：，故选D.【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．3、A【分析】首先将原方程移项可得，据此进一步利用直接开平方法求解即可.【详解】原方程移项可得：，解得：，，故选：A.【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握相关方法是解题关键.4、C【分析】通过计算自变量为0的函数值可对A进行判断；利用对称轴方程可对B进行判断；根据二次函数的性质对C进行判断；通过解x2+4x﹣5＝0得抛物线与x轴的交点坐标，则可对D进行判断．【详解】A、当x＝0时，y＝x2+4x﹣5＝﹣5，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣5），所以A选项错误；B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以B选项错误；C、抛物线开口向上，当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，所以C选项正确；D、当y＝0时，x2+4x﹣5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），两交点间的距离为1+5＝6，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．5、A【分析】首先根据旋转的性质，得出∠CBD=∠ABE，BD=BE；其次结合图形，由等量代换，得∠EBD=∠ABC；最后根据等腰三角形的性质，得出∠BED=∠BDE，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】∵△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，∴∠CBD=∠ABE，BD=BE，∵∠ABC=∠CBD+∠ABD，∠EBD=∠ABE+∠ABD，∠ABC=80°，∴∠EBD=∠ABC=80°，∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=（180°-∠EBD）=（180°-80°）=50°，故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．解题的关键是根据旋转的性质得出旋转前后的对应角、对应边分别相等，利用等腰三角形的性质得出“等边对等角”，再结合三角形内角和定理，即可得解．6、D【分析】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线x＝对称，所以A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．【详解】解：由题意b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），∴A、B关于直线x＝对称，∴A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，n＝（+4）2+b（+4）+c＝b2+1+c，∵b2＝4c，∴n＝1．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.7、D【分析】B是曲线上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5，从而求出S1和S2的值即可【详解】∵A、B是曲线上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5，,∵S阴影＝1，∴S1=S2=4，即S1+S2=8，故选D【点睛】本题主要考查反比例函数上的点向坐标轴作垂线围成的矩形面积问题，难度不大8、C【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．【详解】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，∵⊙O的周长等于6πcm，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=3cm，∵OH⊥AB，∴AH=AB，∴AB=OA=3cm，∴AH=cm，OH==cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）．故选C.【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9、C【分析】点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，故根据弧长公式计算即可．【详解】解：BD=4，

∴OD=2

∴点D所转过的路径长==2π．

故选：C．【点睛】本题主要考查了弧长公式：．10、D【解析】试题分析：由抛物线开口向上可知a>0，故A错误；由对称轴在轴右侧，可知a、b异号，所以b<0，故B错误；由图象知当x=1时，函数值y小于0，即a+b+c<0，故C错误；由图象知当x=-2时，函数值y大于0，即4a-2b+c>0，故D正确；故选D考点：二次函数中和符号二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值计算即可.【详解】原式＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查绝对值的性质及特殊角的三角函数值，掌握绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键.12、【分析】首先求出位似图形的位似中心坐标，然后即可得出点D的坐标.【详解】连接BF交轴于P，如图所示：∵矩形和矩形，点，的坐标分别为，，∴点C的坐标为∵BC∥GF∴∴GP=1，PC=2，OP=3∴点P即为其位似中心∴OD=6∴点D坐标为故答案为：.【点睛】此题主要考查位似图形的性质，熟练掌握，即可解题.13、或【解析】已知与的公共角相等，根据两角对应相等的两个三角形相似再添加一组对应角相等即可.【详解】解：（公共角）（或）（两角对应相等的两个三角形相似）故答案为：或【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.14、【分析】根据反比例函数的定义知m1-5=-1，且m-1≠0，据此可以求得m的值．【详解】∵y=（m-1）x

m1−5是y关于x的反比例函数，∴m1-5=-1，且m-1≠0，∴（m+1）（m-1）=0，且m-1≠0，∴m+1=0，即m=-1；故答案为：-1．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．15、-2【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为1．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】解：由题意，得m（m+2）-1=2且m-1≠1，解得m=-2，故答案为-2．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．16、或1．【解析】当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P在线段AB上时，如图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．【详解】解:在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，当点P在线段AB上时，如题图1所示：∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，由(1)可知,△AQP∽△ABC，∴即解得：∴当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示：∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ.∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，∵∴∠AQB=∠A，∴BQ=AB，∴AB=BP，点B为线段AP中点，∴AP=2AB=2×3=1.综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为或1.故答案为或1.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．17、【分析】根据三角形中位线定理判定阴影部分是正方形，然后按照概率的计算公式进行求解.【详解】解：连接AC，BD∵，，，分别是正方形各边的中点∴，∠HEF=90°∴阴影部分是正方形设正方形边长为a,则∴∴向正方形区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是故答案为：【点睛】本题考查三角形中位线定理及正方形的性质和判定以及概率的计算，掌握相关性质定理正确推理论证是本题的解题关键.18、±1或0【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2-bx+9的顶点在坐标轴上，所以分两种情况列式求解即可．【详解】解：∵，，∴顶点坐标为（，），当抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上时，=0，解得b=±1．当抛物线y=x2-bx+9的顶点在y轴上时，=0，解得b=0，故答案为：±1或0【点睛】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．三、解答题(共66分)19、（1）35＋；（2）坐板EF的宽度为（）cm．【分析】（1）如图，构造直角三角形Rt△AMC、Rt△CGD然后利用解直角三角形分段求解扶手前端D到地面的距离即可；（2）由已知求出△EFH中∠EFH＝60°，∠EHD＝45°，然后由HQ＋FQ＝FH＝20cm解三角形即可求解.【详解】解：（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°，∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，∴∠A＝∠B＝30°，则在Rt△AMC中，CM＝＝30cm．∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝，CD＝50cm，∴DG＝CDsin∠DCG＝50sin60°＝＝，又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5cm，∴扶手前端D到地面的距离为DG＋GN＋5＝＋30＋5＝35＋（cm）．（2）∵EF∥CG∥AB，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，∴FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝，在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，∴HQ＝EQ＝，∵HQ＋FQ＝FH＝20cm，∴＋x＝20，解得x＝，∴EF＝2（）＝．答：坐板EF的宽度为（）cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学基本图形构造适当的直角三角形，难度较大．20、（1）FG=3；（2），，理由见解析【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形得FG=CE，再依据勾股定理求出CE的长即可得到结论；（2）证明四边形是平行四边形即可得到结论．【详解】（1）解：四边形是正方形，即四边形是平行四边形（2），理由：延长交于点．四边形是正方形四边形是平行四边形【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．21、a＝﹣2【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝1代入方程即可求出答案．【详解】解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0，∴a2﹣4＝0，∴a＝±2，由于a﹣2≠0，故a＝﹣2.【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．22、此时火箭所在点处与发射站点处的距离约为．【解析】利用已知结合锐角三角函数关系得出的长．【详解】解：如图所示：连接，由题意可得：，，，，在直角中，．在直角中，．答：此时火箭所在点处与发射站点处的距离约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．23、（1）图见解析，点A1坐标是（1，-4）；（2）【分析】（1）据网格结构找出点A、B绕点O按照顺时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次O、A1、B1连接即可，再根据平面直角坐标系写出A1点的坐标；（2）利用扇形的面积公式求解即可，利用网格结构可得出．【详解】（1）点A1坐标是（1，-4）（2）根据题意可得出：∴线段在旋转过程中扫过的扇形的面积为：．【点睛】本题考查的知识点是旋转变换以及扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．24、DE=8.【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质证得，再根据平行线分线段成比例即可得.【详解】如图，CD平分又