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文档简介
第6章幂函数、指数函数、对数函数金牌测试卷【中档题】一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.)1.与函数的奇偶性相同,且在上有相同的单调性的是(
)A.y=-x B.C. D.2.已知幂函数的图象关于y轴对称,且在上单调递减,则满足的a的取值范围为(
)A. B.C. D.3.若直线与函数(,且)的图象有两个公共点,则可以是(
)A.2 B. C. D.4.任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式,若已知函数,若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差,且对恒成立,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.5.已知函数若,则实数(
)A. B.2 C.4 D.66.已知函数,若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.7.对函数,如果存在,使得,则称与为函数图象的一组奇对称点.若(为自然数的底数)存在奇对称点,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.8.已知函数在上单调递减,则实数的取值范围(
)A. B. C. D.二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.若函数在上满足:对任意的,,当时,恒有,则称函数为“理想函数”.下列函数能被称为“理想函数”的有(
)A. B.C. D.10.函数对恒成立,则的取值可能是(
)A.0 B.2 C.1 D.311.已知函数,(且)在区间上的最大值比最小值大,则a的值可以为(
)A. B.2 C. D.12.将以下四个方程、、、的正数解分别记为,则以下判断一定正确的有(
)A.<<< B.+++C. D.三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数(,且)在区间上单调递减,则实数的取值范围是______.14.已知函数,则不等式的解集为___________.15.下列命题中:①与互为反函数,其图像关于对称;②已知函数,则;③当,且时,函数必过定点;④已知,且,则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.16.已知函数,若对任意恒有,则的最大值为___________.四、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知幂函数,且在区间上单调递减,(1)求的解析式及定义域;(2)设函数,求证:在上单调递减.18.已知函数,且的解集为.(1)求函数的解析式;(2)解关于x的不等式(其中);(3)设,若对任意的,,都有,求t的取值范围.19.已知函数.(1)若存在实数,使得成立,试求的最小值;(2)若对任意的,都有恒成立,试求的取值范围.20.若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在唯一的,使成立,则称该函数为“和一函数”.(1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”,并说明理由;(2)若函数在定义域上是“和一函数”,其中,求的取值范围.21.已知函数(a>0且a≠1)是奇函数.(1)求m的值;(2)当a>1时,判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明;(3)当a>1,时,f(x)的值域是(1,+∞),求a的值.22.已知是定义在上的偶函数,且.(1)求的解析式;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)设,若存在,对任意的,都有,求实数的取值范围.第6章幂函数、指数函数、对数函数金牌测试卷【中档题】一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.)1.与函数的奇偶性相同,且在上有相同的单调性的是(
)A.y=-x B.C. D.【答案】D【分析】先利用幂函数的性质判断为偶函数,且在上单调递增,再根据奇偶性与单调性的定义,结合初等函数的性质依次判断各选项即可.【详解】由幂函数的性质,得函数为偶函数,且在上单调递增;令,其定义域为,故排除选项A;令,因为,,所以为非奇非偶函数,故排除选项B;令,其定义域为,因为,所以为偶函数,当时,在上单调递减,所以排除选项C;令,其定义域为,因为,所以为偶函数,且对于,时,由于,所以,,所以,所以,即,即函数在上单调递增,故选项D符合题意.故选:D.2.已知幂函数的图象关于y轴对称,且在上单调递减,则满足的a的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】由条件知,,可得m=1.再利用函数的单调性,分类讨论可解不等式.【详解】幂函数在上单调递减,故,解得.又,故m=1或2.当m=1时,的图象关于y轴对称,满足题意;当m=2时,的图象不关于y轴对称,舍去,故m=1.不等式化为,函数在和上单调递减,故或或,解得或.故应选:D.3.若直线与函数(,且)的图象有两个公共点,则可以是(
)A.2 B. C. D.【答案】C【分析】分类讨论作出两函数的图象,数形结合可得【详解】由题意,直线与函数,且的图象有两个公共点,当时,的图象如图所示,由已知得,;当时,的图象如图所示,由已知可得,,结合可得无解,综上可知,的取值范围为,故选:C4.任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式,若已知函数,若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差,且对恒成立,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】首先求出、的解析式,则问题转化为恒成立,参变分离恒成立,利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围;【详解】解:由,有,解得,,则,可化为,有,有恒成立,可得恒成立,又由,当且仅当,即时取等号,又函数在上单调递减,所以,所以,即.故选:C.5.已知函数若,则实数(
)A. B.2 C.4 D.6【答案】B【分析】由题知,再根据时,得,再解方程即可得答案.【详解】解:由题知,所以,因为时,,所以,,所以,解得.故选:B6.已知函数,若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由题可得函数单调递增,进而可得的解集为,然后分类讨论结合二次函数的性质即得.【详解】当时,在上单调递增且;当时,在上单调递增且;所以在上单调递增,又由,则有,由题,可知的解集为,当时,恒成立,符合题意;当时,则有,解不等式组,得;综上可得,当时,的解集为.故选:D.7.对函数,如果存在,使得,则称与为函数图象的一组奇对称点.若(为自然数的底数)存在奇对称点,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由题可得存在不等于0的根,进而可得,然后利用函数的性质及基本不等式即得.【详解】由题可得存在不等于0的根,所以,因为,所以,,∴,解得,即实数的取值范围是.故选:B.8.已知函数在上单调递减,则实数的取值范围(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】令,则函数在内递增,且恒大于0,可得不等式,从而可求得a的取值范围【详解】解:令,∵在上单调递减,∴在内递增,且恒大于0,且,.故选:C.二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.若函数在上满足:对任意的,,当时,恒有,则称函数为“理想函数”.下列函数能被称为“理想函数”的有(
)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】先通过分析,得到若在上单调递增,则函数为“理想函数”,然后依次判断四个选项能否满足题意.【详解】不妨设,则由题意可得,即,由单调性定义可知,函数在上单调递增,即若在上单调递增,则称函数为“理想函数”.A选项中,该函数在上单调递增,符合“理想函数”的定义;B选项中,该函数在上单调递增,符合“理想函数”的定义;C选项中,该函数在上单调递减,不符合“理想函数”的定义;D选项中.该函数在上单调递增,符合“理想函数”的定义.故选:ABD.10.函数对恒成立,则的取值可能是(
)A.0 B.2 C.1 D.3【答案】BD【分析】令,将不等式变成对任意恒成立,分离常数可得,令,求出的单调性即可得出答案.【详解】令,当时,,则对任意恒成立,等价于对任意恒成立,所以,即,令在上为减函数,在上为增函数,且,所以在的最大值为,所以,因为函数为增函数,且当时,,所以的取值范围为.故选:BD.11.已知函数,(且)在区间上的最大值比最小值大,则a的值可以为(
)A. B.2 C. D.【答案】AC【分析】分、讨论,利用的单调性求出最大值、最小值再做差可得答案.【详解】当时,在区间上单调递减,此时,,所以,解得或(舍去);当时,在区间上单调递增,此时,,所以,解得或(舍去).故选:AC.12.将以下四个方程、、、的正数解分别记为,则以下判断一定正确的有(
)A.<<< B.+++C. D.【答案】BC【分析】结合的图象判断出正确答案.【详解】画出的图象如下图所示,,由图可知关于对称,关于对称,所以,则,所以BC选项正确.当时,且,所以A选项不正确,对于D选项,,所以D选项不正确.故选:BC三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数(,且)在区间上单调递减,则实数的取值范围是______.【答案】【分析】利用指数函数的图象变换,分类讨论,根据单调性建立不等式求解即可.【详解】函数(,且)的图象是将函数(,且)的图象向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到的,故函数(,且)的图象恒过点.当时,结合函数的图象:若函数在区间上单调递减,则,解得.当时,结合函数的图象:若在区间上单调递减,则,无实数解.综上,实数的取值范围为.解法二:若,则,所以在区间上单调递增,不符合题意;当时,函数在区间上单调递减,要使函数在区间上单调递减,则在区间上恒成立,所以,解得.故实数的取值范围是.故答案为:.14.已知函数,则不等式的解集为___________.【答案】【分析】分别在条件,下化简不等式,再求其解,由此可得不等式的解集.【详解】当时,即时,,所以不等式可化为,所以且,所以满足条件的不存在,即当时,不等式无解,当时,即时,,此时不等式可化为,得或,解得,所以不等式的解集为,故答案为:.15.下列命题中:①与互为反函数,其图像关于对称;②已知函数,则;③当,且时,函数必过定点;④已知,且,则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.【答案】①③【分析】对于①,由与互为反函数,其图像关于对称即可判断;对于②,令可得,从而可求得函数值;对于③,根据指数函数过定点的性质即可求得所过定点;对于④,由指对互换得到,再由对数换底公式可得,代入即可求得.【详解】对于①,因为与互为反函数,其图像关于对称;所以当时,与互为反函数,其图像关于对称,故命题①正确;对于②,因为,所以令,得,故命题②错误;对于③,因为,所以令,即,则,故过定点,故命题③正确;对于④,因为,所以,所以,故由得,即,即,所以,故命题④错误.故答案为:①③.16.已知函数,若对任意恒有,则的最大值为___________.【答案】【分析】根据分段函数的性质,结合对任意恒有,求得实数的取值范围,在根据对数函数与指数函数的单调性得函数的单调性,从而可求解的最大值.【详解】解:由已知函数,则时,,当且仅当时,取到最小值;时,若对任意恒有,则此时单调递减,则对称轴即,所以;结合可知对任意恒有,则有,所以.又,其中在时是增函数,在时是减函数,故在时是增函数,故.故答案为:.四、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知幂函数,且在区间上单调递减,(1)求的解析式及定义域;(2)设函数,求证:在上单调递减.【答案】(1),定义域为;(2)证明见解析【分析】(1)由幂函数的定义可得答案;(2)求出利用单调性定义证明即可(1)因为函数为幂函数,所以,解得或,若时,在上单调递增,不满足题意,所以,,定义域为;(2)由(1)知函数,设,则.因为,所以,,,所以,即,所以在上单调递减18.已知函数,且的解集为.(1)求函数的解析式;(2)解关于x的不等式(其中);(3)设,若对任意的,,都有,求t的取值范围.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)【分析】(1)由的解集端点与对应一元二次方程根的关系,应用根与系数关系求,写出函数解析式;(2)转化条件为,按照、、分类,即可得解;(3)转化条件为当时,,结合指数函数的性质即可得解(1)由的解集为可得是方程的两个根,所以,解得,所以;(2),化简有即,可整理得,①当时,,不等式的解集为;②当时,,不等式的解集为;③当时,,不等式的解集为;(3)由题意,,对任意的,都有,则当时,,因为当时,单调递增,所以,,所以,所以,即t的取值范围为19.已知函数.(1)若存在实数,使得成立,试求的最小值;(2)若对任意的,都有恒成立,试求的取值范围.【答案】(1)1;(2).【分析】(1)代入,化简可得,令,可得,结合单调性求解即可;(2)转化为,结合二次函数性质分,,三种情况讨论即可.(1)由题意,由得,,即,,令,则,由于函数在为增函数,在为减函数,,即的最小值为1.(2)二次函数的开口向上,对称轴为,若对任意的,都有恒成立,则当时,,①当,即时,,故,解得,又,故无解;②当,即时,,,要使得,只需且,故,,故;③当,即时,,则,即,解得,与矛盾,无解.综上,实数的取值范围是.20.若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在唯一的,使成立,则称该函数为“和一函数”.(1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”,并说明理由;(2)若函数在定义域上是“和一函数”,其中,求的取值范围.【答案】(1)在区间上的函数不是“和一函数”,理由见解析;(2).【分析】(1)根据“和一函数”的定义以及的单调性和值域,当时,都不成立,判定即可;(2)结合的单调性,转化“和一函数”满足的条件为,列出不等关系组,求解即可.【详解】(1)在区间上的函数不是“和一函数”.理由如下:因为在上是减函数,所以,当时,,,不符合“和一函数”的定义.(2)在定义域上是“和一函数”,由于在上是增函数,则.,,都存在,使,则,所以,则有即则,所以.因为,所以,所以.由于,令且;因为在上是减函数,所以,即,所以的取值范围
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