高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第6章幂函数、指数函数、对数函数金牌测试卷【中档题】(原卷版+解析)

第6章幂函数、指数函数、对数函数金牌测试卷【中档题】一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．与函数的奇偶性相同，且在上有相同的单调性的是（

）A．y=-x B．C． D．2．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（

）A． B．C． D．3．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（

）A．2 B． C． D．4．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知函数若，则实数（

）A． B．2 C．4 D．66．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．对函数，如果存在，使得，则称与为函数图象的一组奇对称点.若（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（

）A． B．C． D．10．函数对恒成立，则的取值可能是（

）A．0 B．2 C．1 D．311．已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（

）A． B．2 C． D．12．将以下四个方程、、、的正数解分别记为，则以下判断一定正确的有（

）A．<<< B．+++C． D．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．14．已知函数，则不等式的解集为___________.15．下列命题中：①与互为反函数，其图像关于对称;②已知函数，则;③当，且时，函数必过定点；④已知，且，则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.16．已知函数，若对任意恒有，则的最大值为___________.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知幂函数，且在区间上单调递减，(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，求证：在上单调递减．18．已知函数，且的解集为.(1)求函数的解析式；(2)解关于x的不等式（其中）；(3)设，若对任意的，，都有，求t的取值范围.19．已知函数.(1)若存在实数，使得成立，试求的最小值；(2)若对任意的，都有恒成立，试求的取值范围.20．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”.(1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域上是“和一函数”，其中，求的取值范围.21．已知函数（a>0且a≠1）是奇函数．(1)求m的值；(2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明；(3)当a>1，时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值.22．已知是定义在上的偶函数，且.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围.第6章幂函数、指数函数、对数函数金牌测试卷【中档题】一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．与函数的奇偶性相同，且在上有相同的单调性的是（

）A．y=-x B．C． D．【答案】D【分析】先利用幂函数的性质判断为偶函数，且在上单调递增，再根据奇偶性与单调性的定义，结合初等函数的性质依次判断各选项即可.【详解】由幂函数的性质，得函数为偶函数，且在上单调递增；令，其定义域为，故排除选项A；令，因为，，所以为非奇非偶函数，故排除选项B；令，其定义域为，因为，所以为偶函数，当时，在上单调递减，所以排除选项C；令，其定义域为，因为，所以为偶函数，且对于，时，由于，所以，，所以，所以，即，即函数在上单调递增，故选项D符合题意.故选：D.2．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．不等式化为，函数在和上单调递减，故或或，解得或．故应选：D．3．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，当时，的图象如图所示，由已知得，；当时，的图象如图所示，由已知可得，，结合可得无解，综上可知，的取值范围为，故选：C4．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出、的解析式，则问题转化为恒成立，参变分离恒成立，利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：由，有，解得，，则，可化为，有，有恒成立，可得恒成立，又由，当且仅当，即时取等号，又函数在上单调递减，所以，所以，即.故选：C．5．已知函数若，则实数（

）A． B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】由题知，再根据时，得，再解方程即可得答案.【详解】解：由题知，所以，因为时，，所以，，所以，解得.故选：B6．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得函数单调递增，进而可得的解集为，然后分类讨论结合二次函数的性质即得.【详解】当时，在上单调递增且；当时，在上单调递增且；所以在上单调递增，又由，则有，由题，可知的解集为，当时，恒成立，符合题意；当时，则有，解不等式组，得；综上可得，当时，的解集为.故选：D.7．对函数，如果存在，使得，则称与为函数图象的一组奇对称点.若（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得存在不等于0的根，进而可得，然后利用函数的性质及基本不等式即得.【详解】由题可得存在不等于0的根，所以，因为，所以，，∴，解得，即实数的取值范围是.故选：B.8．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围【详解】解：令，∵在上单调递减，∴在内递增，且恒大于0，且，．故选：C．二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD．10．函数对恒成立，则的取值可能是（

）A．0 B．2 C．1 D．3【答案】BD【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，求出的单调性即可得出答案.【详解】令，当时，，则对任意恒成立，等价于对任意恒成立，所以，即，令在上为减函数，在上为增函数，且，所以在的最大值为，所以，因为函数为增函数，且当时，，所以的取值范围为.故选：BD.11．已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（

）A． B．2 C． D．【答案】AC【分析】分、讨论，利用的单调性求出最大值、最小值再做差可得答案.【详解】当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得或（舍去）；当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得或（舍去）．故选：AC．12．将以下四个方程、、、的正数解分别记为，则以下判断一定正确的有（

）A．<<< B．+++C． D．【答案】BC【分析】结合的图象判断出正确答案.【详解】画出的图象如下图所示，，由图可知关于对称，关于对称，所以，则，所以BC选项正确.当时，且，所以A选项不正确，对于D选项，，所以D选项不正确.故选：BC三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】利用指数函数的图象变换，分类讨论，根据单调性建立不等式求解即可.【详解】函数（，且）的图象是将函数（，且）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数（，且）的图象恒过点．当时，结合函数的图象：若函数在区间上单调递减，则，解得．当时，结合函数的图象：若在区间上单调递减，则，无实数解．综上，实数的取值范围为．解法二：若，则，所以在区间上单调递增，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，所以，解得．故实数的取值范围是．故答案为：.14．已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】分别在条件，下化简不等式，再求其解，由此可得不等式的解集.【详解】当时，即时，，所以不等式可化为，所以且，所以满足条件的不存在，即当时，不等式无解，当时，即时，，此时不等式可化为，得或，解得，所以不等式的解集为，故答案为：.15．下列命题中：①与互为反函数，其图像关于对称;②已知函数，则;③当，且时，函数必过定点；④已知，且，则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.【答案】①③【分析】对于①，由与互为反函数，其图像关于对称即可判断；对于②，令可得，从而可求得函数值；对于③，根据指数函数过定点的性质即可求得所过定点；对于④，由指对互换得到，再由对数换底公式可得，代入即可求得.【详解】对于①，因为与互为反函数，其图像关于对称；所以当时，与互为反函数，其图像关于对称，故命题①正确；对于②，因为，所以令，得，故命题②错误；对于③，因为，所以令，即，则，故过定点，故命题③正确；对于④，因为，所以，所以，故由得，即，即，所以，故命题④错误.故答案为：①③.16．已知函数，若对任意恒有，则的最大值为___________.【答案】【分析】根据分段函数的性质，结合对任意恒有，求得实数的取值范围，在根据对数函数与指数函数的单调性得函数的单调性，从而可求解的最大值.【详解】解：由已知函数，则时，，当且仅当时，取到最小值；时，若对任意恒有，则此时单调递减，则对称轴即，所以；结合可知对任意恒有，则有，所以.又，其中在时是增函数，在时是减函数，故在时是增函数，故.故答案为：.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知幂函数，且在区间上单调递减，(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，求证：在上单调递减．【答案】(1)，定义域为；(2)证明见解析【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；（2）求出利用单调性定义证明即可（1）因为函数为幂函数，所以，解得或，若时，在上单调递增，不满足题意，所以，，定义域为；（2）由（1）知函数，设，则．因为，所以，，，所以，即，所以在上单调递减18．已知函数，且的解集为.(1)求函数的解析式；(2)解关于x的不等式（其中）；(3)设，若对任意的，，都有，求t的取值范围.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)【分析】（1）由的解集端点与对应一元二次方程根的关系，应用根与系数关系求，写出函数解析式；（2）转化条件为，按照、、分类，即可得解；（3）转化条件为当时，，结合指数函数的性质即可得解（1）由的解集为可得是方程的两个根，所以，解得，所以；（2），化简有即，可整理得，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为；（3）由题意，，对任意的，都有，则当时，，因为当时，单调递增，所以，，所以，所以，即t的取值范围为19．已知函数.(1)若存在实数，使得成立，试求的最小值；(2)若对任意的，都有恒成立，试求的取值范围.【答案】(1)1；(2).【分析】（1）代入，化简可得，令，可得，结合单调性求解即可；（2）转化为，结合二次函数性质分，，三种情况讨论即可.（1）由题意，由得，，即，，令，则，由于函数在为增函数，在为减函数，，即的最小值为1.（2）二次函数的开口向上，对称轴为，若对任意的，都有恒成立，则当时，，①当，即时，，故，解得，又，故无解；②当，即时，，，要使得，只需且，故，，故；③当，即时，，则，即，解得，与矛盾，无解.综上，实数的取值范围是.20．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”.(1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域上是“和一函数”，其中，求的取值范围.【答案】(1)在区间上的函数不是“和一函数”，理由见解析；(2).【分析】（1）根据“和一函数”的定义以及的单调性和值域，当时，都不成立，判定即可；（2）结合的单调性，转化“和一函数”满足的条件为，列出不等关系组，求解即可.【详解】（1）在区间上的函数不是“和一函数”.理由如下：因为在上是减函数，所以，当时，，，不符合“和一函数”的定义.（2）在定义域上是“和一函数”，由于在上是增函数，则.，，都存在，使，则，所以，则有即则，所以.因为，所以，所以.由于，令且；因为在上是减函数，所以，即，所以的取值范围