中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题四十四分类、分步计数原理(原卷版+解析)

专题四十四分类、分步计数原理思维导图知识要点知识要点1．分类计数原理做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝＋＋…＋种不同的方法．2．分步计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝××…×种不同的方法．3．对两个原理的理解(1)相同点：分类计数原理和分步计数原理都是求完成一件事情有多少种方法的问题．(2)不同点：分类计数原理与“分类”有关，若完成一件事情有n类办法，各种方法彼此之间是相互独立的，使用其中任何一种方法都可以完成这件事情；分步计数原理与“分步”有关，若完成一件事需要分n步完成，各个步骤相互依存，每个步骤都不可缺少，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事情．(3)分类问题——如果完成一件事情有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立，无论哪一类办法中的哪一种都能单独完成这件事情．(4)分步问题——如果完成一件事情需要分成n个步骤，每一个步骤都不能缺少，需要完成所有的步骤才能完成这件事，而完成每一步可能要分为若干种办法．(5)两个原理的难点在于如何恰当地选择分类、分步的标准；分类时，要不重不漏；分步时，不重叠不跳步．典例解析典例解析【例1】某职业高中学校高三共有三个升学班，其各班人数如下表：(1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？班级男生数女生数总数高三升学1班302050高三升学2班303060高三升学3班352055【变式训练1】从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，不同的走法数共有()A．13种B．16种C．24种D．48种【例2】一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)【变式训练2】已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点．问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？【例3】从A，B，C3本不同的书中选取2本分别送给张三和李四，有多少种不同的送法？【变式训练3】将5封信投入3个邮筒，不同的投信方法共有()A．3种B．15种C．125种D．243种【例4】某班有9人外语较好，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？【变式训练4】现有高一年级的学生34人，其中来自(1)班、(2)班、(3)班、(4)班的人数依次为7，8，9，10，他们自愿组成数学课外小组．选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？【变式训练4】现有高一年级的学生34人，其中来自(1)班、(2)班、(3)班、(4)班的人数依次为7，8，9，10，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

高考链接高考链接1．从10人的学习小组中选出正、副组长各一人，选法共有()A．30种B．45种C．90种D．100种2．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是()A．18B．24C．36D．483．景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路．某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是()A．6B．10C．12D．204．用0，1，2，3四个数字可组成没有重复数字的三位数共有(C)A．64个B．48个C．24个D．18个同步精练同步精练选择题1．已知a∈{－1，0，2，3}，b∈{4，5，6，9}，则坐标(a，b)表达不同点的个数是()A．24个B．48个C．12个D．16个2．将3封信投入4个信箱，可能的投放方法共有()A．64种B．27种C．12种D．81种3．在一次读书活动中，一人要从5本不同的科技书、7本不同的文艺书里任意选取一本书，那么不同的选法有()A．35种B．7种C．5种D．12种4．甲、乙、丙、丁四位同学决定通过抽签来调整他们的座位，恰有一人抽到原来位置的情况种数是()A．6种B．4种C．8种D．10种5．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(C)A．25B．20C．16D．12填空题6．从1，2，3，4，5，6这六个数中任选一个数有________种选法．7．书架上有不同的语文书3本，数学书4本，英语书5本，一学生从中任意选一本，不同的选法有________种，另一学生从上述12本书中选语文、数学、英语各一本，不同的选法有________种．8．从0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的3位偶数的个数为_____.9．不共面的4点可以确定________个平面．10．将4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．解答题11．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．

12．8张卡片上写着0，1，2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？13．校运动会要从男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，要选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法．(1)任选5人； (2)男运动员3名，女运动员2名；(3)至少有1名女运动员； (4)队长至少有一人参加．专题四十四分类、分步计数原理思维导图知识要点知识要点1．分类计数原理做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝＋＋…＋种不同的方法．2．分步计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝××…×种不同的方法．3．对两个原理的理解(1)相同点：分类计数原理和分步计数原理都是求完成一件事情有多少种方法的问题．(2)不同点：分类计数原理与“分类”有关，若完成一件事情有n类办法，各种方法彼此之间是相互独立的，使用其中任何一种方法都可以完成这件事情；分步计数原理与“分步”有关，若完成一件事需要分n步完成，各个步骤相互依存，每个步骤都不可缺少，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事情．(3)分类问题——如果完成一件事情有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立，无论哪一类办法中的哪一种都能单独完成这件事情．(4)分步问题——如果完成一件事情需要分成n个步骤，每一个步骤都不能缺少，需要完成所有的步骤才能完成这件事，而完成每一步可能要分为若干种办法．(5)两个原理的难点在于如何恰当地选择分类、分步的标准；分类时，要不重不漏；分步时，不重叠不跳步．典例解析典例解析【例1】某职业高中学校高三共有三个升学班，其各班人数如下表：(1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？班级男生数女生数总数高三升学1班302050高三升学2班303060高三升学3班352055【思路点拨】本题完成的一件事情是选出一名学生任学生会主席，因此从三个班中选出一人就算完成任务，故应用分类计数原理求解．答案：解：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第一类，从1班任选一名学生，有50种不同选法；第二类，从2班任选一名学生，有60种不同选法；第三类，从3班任选一名学生，有55种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法种数为N＝50＋60＋55＝165(种)．(2)由题设知共有三类方案：第一类，从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第二类，从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第三类，从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法种数为N＝30＋30＋20＝80(种)．【变式训练1】从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，不同的走法数共有(A)A．13种B．16种C．24种D．48种【提示】应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．【例2】一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)答案：解：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方法，所以＝10；第二步，有10种拨号方法，所以＝10；第三步，有10种拨号方法，所以＝10；第四步，有10种拨号方法，所以＝10.根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10000(个)四位数的号码．【思路点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理．【变式训练2】已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点．问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种不同的结果第2步确定b的值，也有6种不同的结果根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36(个)(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成第1步确定a的值，由于a<0，∴有3种不同的结果第2步确定b的值，由于b＞0，∴有2种不同的结果由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6(个)【例3】从A，B，C3本不同的书中选取2本分别送给张三和李四，有多少种不同的送法？【思路点拨】(1)运用计数原理求解：按自然顺序“书送人”或逆向思维“人找书”求解．(2)用“枚举策略”求解：用初中学习的方法把分布的所有结果清楚的表示出来．答案：解：从3本不同的书中选取2本分别送给张三和李四，可分为二步：第一步：从3本书中选1本给张三，有3种不同的选法；第二步：从剩下2本书中选1本给李四，有2种不同的选法．由分步计数原理可知，不同的选法种数为N＝3×2＝6(种)．【变式训练3】将5封信投入3个邮筒，不同的投信方法共有()A．3种B．15种C．125种D．243种【提示】每一封信都有3种投信方式，即3×3×3×3×3＝243种．【例4】某班有9人外语较好，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？【思路点拨】9人中有一人既会英语又会日语，先确定分类标准，所选2人中是否包含会英、日语的人，分两类：(1)会英日语的人不当选；(2)会英日语的人当选．答案：解：由题可知，9人中有1人同时会英语和日语．当此人被选时，则另一人共有8(种)选法；当此人不被选时，则共有(7－1)×(3－1)＝12(种)选法．所以一共有8＋12＝20(种)选法．【变式训练4】现有高一年级的学生34人，其中来自(1)班、(2)班、(3)班、(4)班的人数依次为7，8，9，10，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第1类，从(1)班学生中选1人，有7(种)选法；第2类，从(2)班学生中选1人，有8(种)选法；第3类，从(3)班学生中选1人，有9(种)选法；第4类，从(4)班学生中选1人，有10(种)选法．∴共有N＝7＋8＋9＋10＝34(种)不同的选法．【变式训练4】现有高一年级的学生34人，其中来自(1)班、(2)班、(3)班、(4)班的人数依次为7，8，9，10，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第1类，从(1)班学生中选1人，有7(种)选法；第2类，从(2)班学生中选1人，有8(种)选法；第3类，从(3)班学生中选1人，有9(种)选法；第4类，从(4)班学生中选1人，有10(种)选法．∴共有N＝7＋8＋9＋10＝34(种)不同的选法．(2)分四步：第一、第二、第三、第四步分别是从(1)班、(2)班、(3)班、(4)班学生中选一人任组长．∴共有N＝7×8×9×10＝5040(种)不同的选法．(3)分六类，每类又分两步：从(1)班、(2)班学生中各选1人，有7×8＝56(种)不同的选法；从(1)班、(3)班学生中各选1人，有7×9＝63(种)不同的选法；从(1)班、(4)班学生中各选1人，有7×10＝70(种)不同的选法；从(2)班、(3)班学生中各选1人，有8×9＝72(种)不同的选法；从(2)班、(4)班学生中各选1人，有8×10＝80(种)不同的选法；从(3)班、(4)班学生中各选1人，有9×10＝90(种)不同的选法．∴共有N＝56＋63＋70＋72＋80＋90＝431(种)不同的选法．高考链接高考链接1．从10人的学习小组中选出正、副组长各一人，选法共有(C)A．30种B．45种C．90种D．100种【提示】先选出正组长有(种)选法，副组长从剩余的9人中选1人有(种)选法．现从中选出正、副组长各一人共有＝90(种)选法．2．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是(B)A．18B．24C．36D．48【提示】由题意得，最后一位在2，4中选择1个有种，剩余两位从剩下的4个数中选择2个有种，故有＝24(种)．3．景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路．某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是(D)A．6B．10C．12D．20【提示】假设从南面上山，北面下山有2×3＝6(种)；反之从北面上山，南面下山有3×2＝6(种)，∴一共12(种)．4．用0，1，2，3四个数字可组成没有重复数字的三位数共有(C)A．64个B．48个C．24个D．18个【提示】由题意得：百位有种，十位有种，个位有P，∴共有＝3×3×2＝18(个)．同步精练同步精练选择题1．已知a∈{－1，0，2，3}，b∈{4，5，6，9}，则坐标(a，b)表达不同点的个数是(D)A．24个B．48个C．12个D．16个2．将3封信投入4个信箱，可能的投放方法共有(A)A．64种B．27种C．12种D．81种3．在一次读书活动中，一人要从5本不同的科技书、7本不同的文艺书里任意选取一本书，那么不同的选法有(D)A．35种B．7种C．5种D．12种4．甲、乙、丙、丁四位同学决定通过抽签来调整他们的座位，恰有一人抽到原来位置的情况种数是(C)A．6种B．4种C．8种D．10种【提示】假设甲抽到自己的位置，则有2种，∴恰有1人抽到自己的位置有2×4＝8(种)．5．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(C)A．25B．20C．16D．12【提示】分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16.填空题6．从1，2，3，4，5，6这六个数中任选一个数有______6__种选法．7．书架上有不同的语文书3本，数学书4本，英语书5本，一学生从中任意选一本，不同的选法有__12______种，另一学生从上述12本书中选语文、数学、英语各一本，不同的选法有____60____种．8．从0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的3位偶数的个数为__328____.【提示】注意“0”这个特殊元素的定位．9．不共面的4点可以确定___4_____个平面．10．将4种不同颜