高考数学大题精做专题07点、线共面问题的证明与探索(第三篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题07点、线共面问题的证明与探索类型对应典例共面问题典例1共线问题典例2共点问题典例3截面问题典例4【典例1】【浙江省嘉兴一中2020届月考】如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱、上的点，且.（1）证明：四点共面；（2）求几何体的体积.【典例2】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．【典例3】【安徽省合肥市庐阳区第一中学2020届月考】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且；求证：（1）点E，F，G，H四点共面；（2）直线EH，BD，FG相交于同一点．【典例4】【安徽省太和中学2020届月考】如图，是边长为3的正方形，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【针对训练】1.【2020届湖南省长沙市一中高三月考试卷】如图，已知三棱柱中，底面，，，，.，分别为棱，的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若为线段的中点，试在图中作出过、、三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出以该多边形为底，为顶点的棱锥的体积.2．【2020届辽宁省大连市高三双基测试】已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，过侧面中线AE的一个平面与直线PD垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形。（Ⅰ）画出这个平面图形，并证明平面；（Ⅱ）平面将此四棱锥分成两部分，求这两部分的体积比.3．【浙江省宁波市慈溪市2020届模拟】已知在平面外,（1）如图1,若,,,求证:三点共线;（2）如图2,若,,求证:.4．【2020届山西省太原市第五中学高三月考】如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.（1）求证：直线平面PQR；（2）求证：点K在直线MN上.5．【重庆万州三中2020届月考】已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.6．【2020届上海市杨浦区高三第一次模拟】如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,分别为棱的中点.（1）求证:、、、四点共面；（2）求异面直线与所成的角余弦值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题07点、线共面问题的证明与探索类型对应典例共面问题典例1共线问题典例2共点问题典例3截面问题典例4【典例1】【浙江省嘉兴一中2020届月考】如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱、上的点，且.（1）证明：四点共面；（2）求几何体的体积.【思路引导】（Ⅰ）欲证M，N，C，D1四点共面，转证MN∥A1B即可；（Ⅱ）先证明几何体是一个三棱台，再求几何体的体积．试题解析：（1）证明：∵，，又，，∴，且，连接，则四边形是平行四边形，所以在中，，，所以，所以所以，所以四点共面.（2）因为平面平面，又四点共面，所以平面平面延长与相交于点，因为所以，即，解得，同理可得，所以点与点重合所以三线相交于一点，所以几何体是一个三棱台所以.【典例2】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．【思路引导】如下图所示，连接A1B，CD1．易证BD1⊂平面A1BCD1．BD1⊂平面ABC1D1．即平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，下证Q∈平面A1BCD1．Q∈平面A1BCD1．即可.【详解】如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1．∴BD1⊂平面A1BCD1．同理BD1⊂平面ABC1D1．∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1．∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1．又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1．∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．【典例3】【安徽省合肥市庐阳区第一中学2020届月考】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且；求证：（1）点E，F，G，H四点共面；（2）直线EH，BD，FG相交于同一点．【思路引导】（1）根据题意利用中位线定理，平行线分线段成比例逆定理和平行公理，可得，再根据公理2的推论即得证；（2）由（1）知且，所以EH与FG交于一点P，只需再证明点P在直线BD上，即可证出．【详解】（1）如图所示，连接EF，HG，空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，∴且．又，∴且．故，即E、F、G、H四点共面．（2）由（1）知且，∴设EH与FG交于点P，∵平面ABD，P在平面ABD内，同理P在平面BCD内，且平面平面，∴点P在直线BD上，∴直线EH，BD，FG相交于一点．【典例4】【安徽省太和中学2020届月考】如图，是边长为3的正方形，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【思路引导】（1）根据，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点，过作交于，连接，设，求得几何体的体积，将其分割成两个三棱锥，利用表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得的值.解：（1）∵平面，平面，∴，∴平面，∵是正方形，，∴平面，∵，平面，平面，∴平面平面.（2）假设存在一点，过作交于，连接，，设，则，设到的距离为，则，，∴，解得，即存在点且满足条件.【针对训练】1.【2020届湖南省长沙市一中高三月考试卷】如图，已知三棱柱中，底面，，，，.，分别为棱，的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若为线段的中点，试在图中作出过、、三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出以该多边形为底，为顶点的棱锥的体积.【思路引导】（1）连接交于点，根据中位线定理找到与的平行线，并找到异面直线与所成角，计算长度，根据余弦定理，可得结果.（2）画出截面，计算四边形的面积，根据//面，可得到面的距离，结合椎体体积公式，可得结果.【详解】（1）连接交于点，连接如图由底面，面，所以，又所以，面所以面，故四边形为矩形，所以共线为的中点，所以//，故异面直线与所成角为，，，且，分别为棱，的中点所以所以又且所以为等腰直角三角形，故（2）取的中点连接，又为线段的中点，所以//则//，且过、、三点的平面截该棱柱所得的多边形为四边形由（1）可知，//且所以四边形为直角梯形，所以又平面，面，所以//平面，作所以且到截面的距离即所以2．【2020届辽宁省大连市高三双基测试】已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，过侧面中线AE的一个平面与直线PD垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形。（Ⅰ）画出这个平面图形，并证明平面；（Ⅱ）平面将此四棱锥分成两部分，求这两部分的体积比.【思路引导】（Ⅰ）连接,即为所求的平面.根据线段相等关系和三线合一,可证明,,即可证明.（Ⅱ）根据三棱锥与四棱锥的体积求法,结合为PD中点,即可由线段关系求得与,进而求得,即可得两个部分的体积比.【详解】（Ⅰ）连接,即为所求的平面是菱形又E为PD中点,同理又平面平面,即（Ⅱ）是菱形,E为PD中点,两部分体积比为或3．【浙江省宁波市慈溪市2020届模拟】已知在平面外,（1）如图1,若,,,求证:三点共线;（2）如图2,若,,求证:.【思路引导】（1）要证三点共线,只需证平面与有且只有一条经过点的公共直线,,是平面与的公共点,即可求证三点共线;（2）要证,只需证平面,将证线面平行转化为证面面平行,即可求得答案.【详解】（1）,,平面,,平面与有一个公共点,且平面与不重合,平面与有且只有一条经过点的公共直线即平面,.又,,平面,即是平面与的一个公共点,.同理,故三点共线.（2）显然,平面,平面,且,,,平面.平面,.4．【2020届山西省太原市第五中学高三月考】如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.（1）求证：直线平面PQR；（2）求证：点K在直线MN上.【思路引导】（1）根据公理一，证明直线上有两点在平面PQR上；（2）根据公理二，证明都是平面PQR与平面BCD的公共点即可．【详解】证明（1）平面PQR，直线PQ，平面PQR.平面PQR，直线RQ，平面PQR.直线平面PQR.（2）直线CB，平面BCD，平面BCD.由（1）知平面PQR，在平面PQR与平面BCD的交线上，同理，可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，，N，K三点共线，点K在直线MN上.5．【重庆万州三中2020届月考】已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.【思路引导】试题分析：(1)利用EF∥BD确定平面即可；（2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可.试题解析：(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF与BD共面，所以E，F，B，D四点共面.(2)因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，因为A1C∩平面DBFE=R，所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，所以P，Q，R三点共线.6．【2020届上海市杨浦区高三第一次模拟】如图,四棱锥中,底