高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)3.1椭圆(原卷版+解析)

3．1椭圆【知识点梳理】知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．知识点诠释：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形．知识点二：椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）．设（），为椭圆上任意一点，则有．（2）点的集合由定义不难得出椭圆集合为：．（3）代数方程，即：.（4）化简方程由可得，则得方程关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里．椭圆的标准方程：（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；知识点诠释：（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；（3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；（4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．知识点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．知识点四：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作．②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．知识点诠释：椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3），，；知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系．知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．知识点七：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有；若点在椭圆外，则有．直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点，两点，则同理可得这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【题型归纳目录】题型一：椭圆的定义与标准方程题型二：椭圆方程的充要条件题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题题型四：椭圆上两点距离的最值问题题型五：椭圆上两线段的和差最值问题题型六：离心率的值及取值范围题型七：椭圆的简单几何性质问题题型八：利用第一定义求解轨迹题型九：直线与椭圆的位置关系【典型例题】题型一：椭圆的定义与标准方程例1．(2023·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.②与椭圆共焦点的椭圆可设为.③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.例2．(2023·全国·高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．例3．(2023·福建·泉州市第六中学高二期中）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．9例4．(2023·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则______（用含y的式子表示），它的标准方程是______．例5．(2023·全国·高二课时练习）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程．例6．(2023·陕西·定边县第四中学高二阶段练习（文））求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．例7．(2023·上海市虹口高级中学高二期末）已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______.例8．(2023·全国·高二课时练习）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．例9．(2023·全国·高二课时练习）设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（

）A． B．2 C． D．3例10．(2023·广东深圳·高二期末）如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（

）A．1 B．2 C． D．4例11．(2023·全国·高二专题练习）已知点A，D分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，点P是线段AD上的动点，如果的最大值2，最小值是，那么，椭圆的C的标准方程是_____．例12．(2023·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.例13．(2023·四川省内江市第六中学高二开学考试（文））求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程．例14．(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点，且与椭圆有公共的焦点；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．例15．(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；(2)椭圆过点，离心率；(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．题型二：椭圆方程的充要条件例16．(2023·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【方法技巧与总结】表示椭圆的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：.例17．(2023·全国·高二课时练习）已知，当m为何值时，(1)方程表示椭圆；(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．例18．(2023·全国·高二课时练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的______条件．例19．(2023·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））方程表示椭圆的充要条件是__________．题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例20．(2023·全国·高二专题练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（

）A．当点P不在x轴上时，的周长是6B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为C．存在点P，使D．的取值范围是【方法技巧与总结】焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.例21．(2023·江苏·南京二十七中高二开学考试）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且．(1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；(2)求的面积；(3)求点的坐标．例22．(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点．(1)若，求的面积；(2)求的最大值．例23．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为_______.例24．(2023·江苏·高二）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.例25．(2023·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为，则___________.例26．(2023·全国·高二课时练习）经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______．例27．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（

）A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值C．有最小值 D．的范围为例28．(2023·天津河西·高二期中）椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．例29．(2023·全国·高二专题练习）椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（

）A． B． C． D．例30．(2023·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（

）A． B． C． D．例31．(2023·全国·高二课时练习）设、为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A、B两点，则△的周长是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25例32．(2023·全国·高二课时练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（

）A．1 B． C． D．2例33．(2023·全国·高二课时练习）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（

）A． B． C． D．例34．（多选题）(2023·江苏省镇江第一中学高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（

）A．|PQ|的最大值为B．为定值C．椭圆上不存在点M，使得D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为例35．（多选题）(2023·江苏·高二）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（

）A．的最大值为5 B．C．存在点，使 D．的最大值为例36．（多选题）(2023·全国·高二专题练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（

）A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是C．的面积一定是 D．的周长一定是例37．（多选题）(2023·福建福州·高二期末）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在P使得 B．的最小值为C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值例38．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．例39．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴．故答案为：120°，2.例40．(2023·全国·高二专题练习）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．例41．(2023·上海市控江中学高二期中）设､分别是椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则___________.题型四：椭圆上两点距离的最值问题例42．(2023·全国·高二课时练习）点为椭圆上一点，为焦点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【方法技巧与总结】利用几何意义进行转化.例43．(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．例44．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．例45．(2023·江西省靖安中学高二阶段练习（理））已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值是__________.例46．（多选题）(2023·湖南·高二期中）已知椭圆C：的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（

）A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△PF1F2的周长为8+2C．|PF1|的取值范围为[，4） D．tan∠F1PF2的最大值为3例47．(2023·全国·高二课时练习）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．例48．(2023·江西省万载中学高二阶段练习（理））线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．例49．(2023·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）例50．(2023·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点M在椭圆上运动，点N在圆上运动，则的最大值为_________．题型五：椭圆上两线段的和差最值问题例51．(2023·福建泉州·高二阶段练习）已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(

)A． B． C． D．【方法技巧与总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．例52．(2023·全国·高二课时练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．5 C． D．13例53．(2023·全国·高二课时练习）已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例54．(2023·河北·高二阶段练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（

）A． B． C． D．例55．(2023·湖北·高二阶段练习）已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为______.例56．(2023·天津市嘉诚中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．例57．(2023·安徽·池州市第一中学高二期中）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________.题型六：离心率的值及取值范围例58．(2023·全国·高二课时练习）设椭圆的右顶点是，其上存在一点，使，则椭圆的离心率的取值范围为______．【方法技巧与总结】求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.例59．(2023·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．例60．(2023·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆，过椭圆的左焦点且斜率为的直线l与椭圆交于两点（点在点的上方），若有，则椭圆的离心率为________.例61．(2023·江西·新余市第一中学高二开学考试）直线过椭圆：的左焦点和上顶点，与圆心在原点的圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为______.例62．(2023·全国·高二单元测试）设椭圆的左、右焦点分别为、，且，若椭圆上存在点M使得在中，，则该椭圆离心率的取值范围为______．例63．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．例64．(2023·广西·玉林市育才中学高二阶段练习（理））已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．例65．(2023·江西·南昌大学附属中学高二期中（理））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例66．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．题型七：椭圆的简单几何性质问题例67．(2023·全国·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则【方法技巧与总结】标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长轴长，短轴长离心率（注：离心率越小越圆，越大越扁）例68．(2023·全国·高二课时练习）设m是正实数，若椭圆的焦距为8，则______．例69．(2023·全国·高二课时练习）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为______．例70．(2023·全国·高二课时练习）若椭圆的焦距为6，则k的值为______．例71．(2023·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））有关椭圆叙述错误的是（

）A．长轴长等于4 B．短轴长等于4C．离心率为 D．的取值范围是例72．(2023·四川省宜宾市第三中学校高二期中（理））已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（

）A．离心率为 B．焦点为C．长轴长为3 D．椭圆上的点的横坐标取值范围为例73．(2023·全国·高二课时练习）若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（

）．A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等题型八：利用第一定义求解轨迹例74．(2023·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.例75．(2023·全国·高二课时练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．例76．(2023·江苏·高二专题练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．例77．(2023·浙江·海盐第二高级中学高二阶段练习）（1）已知椭圆C满足长轴长是短轴长的3倍，且经过P（3，0），求椭圆的方程．（2）已知圆C：及点A（1，0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ与点M，求动点M的轨迹方程．例78．(2023·江苏·高二专题练习）已知的三边满足，且，求点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线．例79．（多选题）(2023·全国·高二）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（

）A．M到两定点，的距离之和为4B．M到两定点，的距离之和为6C．M到两定点，的距离之和为6D．M到两定点，的距离之和为8例80．(2023·全国·高二专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．例81．(2023·全国·高二课时练习）中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______．例82．(2023·全国·高二专题练习）若△ABC的三边长a､b､c满足，､，则顶点B的轨迹方程是___________.例83．(2023·全国·高二专题练习）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.例84．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆的半径为，记是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆的标准方程；(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点，(O为坐标原点，)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程．例85．(2023·全国·高二课时练习）如图，圆的圆心为，点，点为圆上任意一点，求线段的垂直平分线与线段的交点的轨迹方程．例86．(2023·全国·高二课时练习）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由．例87．(2023·全国·高二课时练习）已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形．例88．(2023·全国·高二课时练习）已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．题型九：直线与椭圆的位置关系例89．(2023·四川省资中县第二中学高二阶段练习（理））点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】设直线交椭圆于点，两点，则例90．(2023·全国·高二课时练习）若过点的直线l与椭圆只有一个公共点，则直线l的方程为______．例91．(2023·安徽·安庆市第二中学高二阶段练习）已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______.例92．(2023·全国·高二课时练习）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．例93．(2023·四川省绵阳南山中学高二开学考试）已知点坐标为，点分别为椭圆的左､右顶点，是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的动直线与相交于两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围.例94．(2023·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，设动点M到坐标原点的距离与到x轴的距离分别为d1，d2，且，记动点M的轨迹为Ω.(1)求Ω的方程；(2)设过点(0，－2）的直线l与Ω相交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，求|AB|.例95．(2023·全国·高二专题练习）设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程；(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.例96．(2023·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知P是圆O：上一动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若A是椭圆E的右顶点，过左焦点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积.例97．(2023·全国·高二专题练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.【同步练习】一、单选题1．(2023·陕西·定边县第四中学高二阶段练习（文））已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（

）A． B．C． D．12．(2023·全国·高二课时练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个3．(2023·全国·高二课时练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（

）．A． B．C． D．4．(2023·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴和短轴之和为36，椭圆上的点到一个焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或5．(2023·全国·高二课时练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．6．(2023·全国·高二单元测试）已知圆与x轴的交点分别为A，B，点P是直线l：上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，则椭圆C的离心率e的取值范围为（

）A． B． C． D．7．(2023·全国·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（

）A．有最大值，为16 B．有最小值，为16C．有最大值，为4 D．有最小值，为48．(2023·全国·高二课时练习）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·全国·高二课时练习）设P是椭圆上的动点，则（

）A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为C．点P到左焦点距离的最大值为D．点P到左焦点距离的最大值为10．(2023·全国·高二课时练习）已知点，，设动点P到直线的距离为d，若，则（

）A．点P的轨迹是以为直径的圆 B．点P的轨迹曲线的离心率等于C．点P的轨迹方程为 D．的周长为定值11．(2023·全国·高二单元测试）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（

）A．椭圆的长轴长为B．线段AB长度的取值范围是C．面积的最小值是4D．的周长为12．(2023·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（

）A．椭圆C的离心率为B．椭圆C上存在点P，使得C．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8D．若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2三、填空题13．(2023·全国·高二课时练习）椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______．请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像．14．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆与过点、的直线l有且只有一个公共点，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的方程为______．15．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．16．(2023·全国·高二单元测试）若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）①椭圆C的离心率为；

②存在点A使得；③若，则；

④面积的最大值为12．四、解答题17．(2023·湖南·新邵县教研室高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)求直线的方程.18．(2023·全国·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点；(2)经过点，．19．(2023·全国·高二课时练习）设、分别是椭圆的左、右焦点．(1)设椭圆上的点到、两点距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；(2)设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．20．(2023·全国·高二专题练习）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，3．1椭圆【知识点梳理】知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．知识点诠释：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形．知识点二：椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）．设（），为椭圆上任意一点，则有．（2）点的集合由定义不难得出椭圆集合为：．（3）代数方程，即：.（4）化简方程由可得，则得方程关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里．椭圆的标准方程：（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；知识点诠释：（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；（3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；（4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．知识点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．知识点四：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作．②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．知识点诠释：椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3），，；知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系．知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．知识点七：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有；若点在椭圆外，则有．直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点，两点，则同理可得这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【题型归纳目录】题型一：椭圆的定义与标准方程题型二：椭圆方程的充要条件题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题题型四：椭圆上两点距离的最值问题题型五：椭圆上两线段的和差最值问题题型六：离心率的值及取值范围题型七：椭圆的简单几何性质问题题型八：利用第一定义求解轨迹题型九：直线与椭圆的位置关系【典型例题】题型一：椭圆的定义与标准方程例1．(2023·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．故选：C【方法技巧与总结】（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.②与椭圆共焦点的椭圆可设为.③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.例2．(2023·全国·高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由对称性，又，则，所以，，又，则，椭圆标准方程为．故选：B．例3．(2023·福建·泉州市第六中学高二期中）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．9答案：A【解析】对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得,又，故.故选：A.例4．(2023·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则______（用含y的式子表示），它的标准方程是______．答案：

【解析】因为，其表示到点的距离之和为10，又，故点的轨迹满足椭圆的定义，设其标准方程为：，显然，，又，解得，则标准方程为：；故可得代入，则.故答案为：；.例5．(2023·全国·高二课时练习）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程．【解析】由于点满足，即点到两个定点，的距离之和等于常数，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，故，故椭圆的标准方程为.例6．(2023·陕西·定边县第四中学高二阶段练习（文））求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．【解析】（1）由焦距是4可得，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，由椭圆的定义可知，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意知，即，又，所以，所以，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为，所以椭圆的方程为或例7．(2023·上海市虹口高级中学高二期末）已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______.答案：【解析】如图，过点B作x轴的垂线，垂足为M，由定义知，，因为，所以因为，，所以，所以将代入得，解得所以所以椭圆方程为.故答案为：例8．(2023·全国·高二课时练习）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．答案：或【解析】由题意可设椭圆的标准方程为或，由题意可得，，故，故椭圆的标准方程为：或，故答案为：或例9．(2023·全国·高二课时练习）设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（

）A． B．2 C． D．3答案：B【解析】由椭圆可得即，因为P为椭圆上的点，所以，因为，所以，，故，故选：B．例10．(2023·广东深圳·高二期末）如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（

）A．1 B．2 C． D．4答案：B【解析】如图所示：延长交的延长线于点，因为为的外角平分线，，所以易得，所以，，结合椭圆的定义得，又为的中点，为的中点，所以在中，，故选：B.例11．(2023·全国·高二专题练习）已知点A，D分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，点P是线段AD上的动点，如果的最大值2，最小值是，那么，椭圆的C的标准方程是_____．答案：【解析】如图所示；∴直线AD的方程是，；∴，，；设，则表示点P到原点O的距离，∴当P在A点时，最大，此时•；当P在点O到直线AD的距离时，最小，此时，∴t，∴•，整理得，解得a2＝4，或a2（舍去）；综上，，椭圆的方程是1．故答案为：1．例12．(2023·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.【解析】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为由椭圆定义，故故椭圆的标准方程为：（2）不妨设椭圆的方程为：经过两点、故，解得即故椭圆的标准方程为：例13．(2023·四川省内江市第六中学高二开学考试（文））求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程．【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为，因为，，所以，．所以．所以所求椭圆的标准方程为．(2)设椭圆的一般方程为，分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为．例14．(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点，且与椭圆有公共的焦点；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．【解析】（1）方法一：设所求椭圆的标准方程为（）由，得，即．①又点在所求椭圆上，所以，②由①②得，，即所求椭圆的标准方程是．方法二：设所求椭圆的方程为．因为点在所求椭圆上，所以，解得，所以所求椭圆的标准方程为．（2）方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为（）．依题意有，得．由知，不符合题意，故舍去．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（）．依题意有，得．所以所求椭圆的标准方程为．方法二：设椭圆的方程为（，，）．依题意有，解得．所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为．例15．(2023·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；(2)椭圆过点，离心率；(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．【解析】（1）由题意，可知，，得，，从而，又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为．（2）若焦点在x轴上，则，由，得，所以，此时椭圆的标准方程为，若焦点在y轴上，则，由，得，此时椭圆的标准方程为，故椭圆的标准方程为或．（3）分析知，，故椭圆的标准方程为．（4）椭圆可化为，可知焦点在y轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆的方程为，则，又，即，所以，则所求椭圆的标准方程为．题型二：椭圆方程的充要条件例16．(2023·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B【方法技巧与总结】表示椭圆的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：.例17．(2023·全国·高二课时练习）已知，当m为何值时，(1)方程表示椭圆；(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．【解析】（1）若方程表示椭圆，则，解得3<m<7或7<m<11．（2）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m－3>11－m>0，解得7<m<11．（3）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则11－m>m－3>0，解得3<m<7．例18．(2023·全国·高二课时练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的______条件．答案：必要不充分【解析】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立；当为椭圆，则，可得且，必要性成立；综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分例19．(2023·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））方程表示椭圆的充要条件是__________．答案：答案不唯一【解析】方程表示椭圆,则必有解之得或故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对）题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例20．(2023·全国·高二专题练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（

）A．当点P不在x轴上时，的周长是6B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为C．存在点P，使D．的取值范围是答案：C【解析】由椭圆方程可知，，从而．对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是，故选项A正确；对于选项B：设点，因为，则．因为，则面积的最大值为，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．此时，，又，则为正三角形，，所以不存在点，使，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．故选：C.【方法技巧与总结】焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.例21．(2023·江苏·南京二十七中高二开学考试）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且．(1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；(2)求的面积；(3)求点的坐标．【解析】（1）由椭圆方程得：，，则，椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，，离心率.（2）由椭圆定义知：，，，即，解得：，.（3）设，则，解得：，，解得：；点坐标为或或或.例22．(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点．(1)若，求的面积；(2)求的最大值．【解析】（1）在椭圆中，a＝5，b＝3，则．则，2c＝8，在中，，即有，即，所以，则的面积为．（2）设，，则m＋n＝10，所以，即，当且仅当m＝n＝5时取等号．所以的最大值为25．例23．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为_______.答案：【解析】根据条件可得故则根据椭圆定义可知方法一当即在椭圆上下顶点时，取到等号，的最小值为.方法二设则令，，又．的最小值为故答案为：1例24．(2023·江苏·高二）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.答案：【解析】由题意，椭圆，可得，即，根据椭圆的定义，可得，则，所以，当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，此时，所以的最大值为.故答案为：.例25．(2023·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为，则___________.答案：5【解析】因为，是椭圆：的两个焦点，点在上，所以，则，当且仅当时，取等号，又的最大值为，所以，所以.故答案为：5.例26．(2023·全国·高二课时练习）经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______．答案：8【解析】由椭圆，可得a＝2．由椭圆的定义可得．所以的周长．故答案为：8例27．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（

）A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值C．有最小值 D．的范围为答案：A【解析】对于A，依题意，，A选项错误.对于B，设，则，，为定值，B选项正确.对于C，，，当且仅当时等号成立.C选项正确.对于D，Q在椭圆外，设直线、与椭圆相交于如图所示，则，，，，即，所以所以.D选项正确.故选：A例28．(2023·天津河西·高二期中）椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由椭圆方程得，所以.设，，则由椭圆定义得.在中，由余弦定理得，所以，则，所以，设点到轴的距离为，则，故，解得.故选：C.例29．(2023·全国·高二专题练习）椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】的周长为.故选：A例30．(2023·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，椭圆方程，可得，所以焦点，又由椭圆的定义，可得，因为，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故选:C．例31．(2023·全国·高二课时练习）设、为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A、B两点，则△的周长是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25答案：C【解析】由椭圆的定义可知，，则△的周长为，故选：.例32．(2023·全国·高二课时练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（

）A．1 B． C． D．2答案：C【解析】椭圆中，，，则，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故选：C．例33．(2023·全国·高二课时练习）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，因为椭圆方程为，所以、，此时，，所以，所以为等腰直角三角形，所以．故选：D例34．（多选题）(2023·江苏省镇江第一中学高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（

）A．|PQ|的最大值为B．为定值C．椭圆上不存在点M，使得D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为答案：BD【解析】如图所示：A.|PQ|的最大值为长轴长2，故错误；B.易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.故选：BD例35．（多选题）(2023·江苏·高二）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（

）A．的最大值为5 B．C．存在点，使 D．的最大值为答案：BD【解析】对于A选项，设，则，即，所以，又，所以当时，，故A错误，对于B选项，由椭圆定义，，故B正确对于C选项，当为短轴端点时，，，，故，进而，故C错误，对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.故选：BD例36．（多选题）(2023·全国·高二专题练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（

）A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是C．的面积一定是 D．的周长一定是答案：BD【解析】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；由椭圆定义知，的周长为，D正确.故选：BD例37．（多选题）(2023·福建福州·高二期末）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在P使得 B．的最小值为C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值答案：ABC【解析】设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，所以，，，，，对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；对于B选项，记，则，由余弦定理：，当且仅当时取“=”，B正确；对于C选项，由于，故，所以，C正确；对于D选项，设，则，，于是,故错误.故选：ABC例38．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．答案：

【解析】对椭圆，其，焦点坐标分别为，由椭圆定义可得：；设点的坐标为，则，且，故，又，故，即的取值范围为：.故答案为：；.例39．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．答案：

120°

2【解析】由题得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴，∴|F1F2|＝2．∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2．∴，又0＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°．又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴．故答案为：120°，2.例40．(2023·全国·高二专题练习）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．答案：【解析】，．在中，，．故答案为：.例41．(2023·上海市控江中学高二期中）设､分别是椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则___________.答案：【解析】由题意，椭圆，可得，则，根据椭圆的定义，可得，又由，可得，所以，因为，即，解得.故答案为：.题型四：椭圆上两点距离的最值问题例42．(2023·全国·高二课时练习）点为椭圆上一点，为焦点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7答案：C【解析】，，，即.所以的最大值为.故选：C【方法技巧与总结】利用几何意义进行转化.例43．(2023·全国·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．【解析】因为P是椭圆上一点，所以，且椭圆焦点在y轴上，点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为，则，所以，，，因为，当时，，所以当时，.例44．(2023·全国·高二专题练习）已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．答案：【解析】由椭圆方程可得，则，如图，设锐角，在中，，因为，即，故，所以.故答案为：.例45．(2023·江西省靖安中学高二阶段练习（理））已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值是__________.答案：【解析】∵，∴，∴∵，∴则，∵，∴点M的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，A点同时为椭圆的右焦点.，越小，越小，结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，取最小值，∴最小值是.故答案为：.例46．（多选题）(2023·湖南·高二期中）已知椭圆C：的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（

）A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△PF1F2的周长为8+2C．|PF1|的取值范围为[，4） D．tan∠F1PF2的最大值为3答案：ABD【解析】对于，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在轴上，故正确；对于，因为，而的周长为，故B正确；对于，因为不在轴上，所以，所以的取值范围为，故C不正确；对于，设椭圆的上顶点为，则，所以的最大值为.设，则，且，而，所以的最大值为，故D正确.故选：ABD.例47．(2023·全国·高二课时练习）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．答案：B【解析】设点的坐标为，其中，由，可得，又由，当时，取得最小值，最小值为.故选：B.例48．(2023·江西省万载中学高二阶段练习（理））线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．答案：B【解析】若以为原点为x轴建立平面直角坐标系，由，则，若，故轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，且轨迹方程为，所以|PM|的最小值是.故选：B例49．(2023·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）答案：A【解析】如下图，延长、相交于点，连接，因为，因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，因为为的中点，所以，，设点，由已知可得，，，则且，且有，，故，所以，.故选：A.例50．(2023·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点M在椭圆上运动，点N在圆上运动，则的最大值为_________．答案：【解析】不妨设点为，，则，则设圆的圆心为，则坐标为则的最大值，即为的最大值与圆的半径之和.又当时，，当且仅当时取得等号；故.故答案为：.题型五：椭圆上两线段的和差最值问题例51．(2023·福建泉州·高二阶段练习）已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(

)A． B． C． D．答案：D【解析】由题意，点为椭圆的左焦点，∴．∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，如图，设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆定义知，．∵，∴，当在线段上时，等号成立.即要求的最大值为，故选：D．【方法技巧与总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．例52．(2023·全国·高二课时练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．5 C． D．13答案：B【解析】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：，当点P在点处，取等号，所以的最大值为5，故选：B.例53．(2023·全国·高二课时练习）已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根据椭圆的定义，得，所以，即所求取值范围为．故选：A例54．(2023·河北·高二阶段练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根据题意作出如图所示的图象，其中、是椭圆的左，右焦点，在中可得：①，当且仅当、、三点共线时，等号成立，在中可得：②，当且仅当、、三点共线时，等号成立，由①②得：，由椭圆方程可得：，即，由椭圆定义可得：，所以，.故选：A.例55．(2023·湖北·高二阶段练习）已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为______.答案：【解析】设为椭圆右焦点，由椭圆的定义可知，，所以.要求的最小值，也就是求的最大值.如图示：而当，，共线(A在中间)时，最大，此时，所以.所以的最小值为.故答案为：例56．(2023·天津市嘉诚中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．答案：1【解析】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，由椭圆的定义得，因此，，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”，所以的最小值为1.故答案为：1例57．(2023·安徽·池州市第一中学高二期中）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________.答案：【解析】由题意，，，所以为左焦点，为右焦点，所，当且仅当M､D､A共线时取等号.故答案为：.题型六：离心率的值及取值范围例58．(2023·全国·高二课时练习）设椭圆的右顶点是，其上存在一点，使，则椭圆的离心率的取值范围为______．答案：【解析】设，由，可知点在以为直径的圆上，则圆心为，半径为，则圆的方程是﹐所以①，又因为点在椭圆上，故②，把①代入②得，所以，故，又，，所以，又，所以，所以，则，所以，因为，故所求的椭圆离心率的取值范围是.故答案为：.【方法技巧与总结】求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.例59．(2023·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．答案：【解析】是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案为：．例60．(2023·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆，过椭圆的左焦点且斜率为的直线l与椭圆交于两点（点在点的上方），若有，则椭圆的离心率为________.答案：【解析】设，，因为，，，将代入椭圆方程得，，两式相减得：，，，则，，因为直线斜率为，，，将代入椭圆方程整理得：，或（舍），故.故答案为：例61．(2023·江西·新余市第一中学高二开学考试）直线过椭圆：的左焦点和上顶点，与圆心在原点的圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为______.答案：【解析】椭圆的焦点在轴上，，，，故直线的方程为，即，所以直线即的斜率为，如图所示，过作的垂线，则为的中点，又，，，，是的中点，直线的斜率，所以，即，，即离心率，故答案为：例62．(2023·全国·高二单元测试）设椭圆的左、右焦点分别为、，且，若椭圆上存在点M使得在中，，则该椭圆离心率的取值范围为______．答案：【解析】设，，，．在中，由正弦定理有，且，则，解得．由于，即．又恒成立，则有，得．故答案为：例63．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．答案：【解析】由题可知，，设，由点P在椭圆上，得，所以，可得，所以．故答案为：.例64．(2023·广西·玉林市育才中学高二阶段练习（理））已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】设，则，，由，，化为，，整理得，，，解得．例65．(2023·江西·南昌大学附属中学高二期中（理））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设是第一象限内使得为等腰三角形的点，若，则，又，消去整理得：，解得(舍去)或，同得，所以，即，若，则，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，的范围是．故选：D．例66．(2023·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即，即，则，即.故选：D．题型七：椭圆的简单几何性质问题例67．(2023·全国·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则答案：C【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.故选：C【方法技巧与总结】标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长轴长，短轴长离心率（注：离心率越小越圆，越大越扁）例68．(2023·全国·高二课时练习）设m是正实数，若椭圆的焦距为8，则______．答案：3【解析】由题意得，显然，则，又m是正实数，解得.故答案为：3.例69．(2023·全国·高二课时练习）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为______．答案：【解析】由已知，，右焦点为，设，，则，消去得，，，（舍去），所以点横坐标为．故答案为：．例70．(2023·全国·高二课时练习）若椭圆的焦距为6，则k的值为______．答案：31或49【解析】因为椭圆的焦距为6，所以c＝3．当椭圆的焦点在x轴上时，因为，，所以，解得k＝31；当椭圆的焦点在y轴上时，因为，，所以，解得k＝49．综上所述，k的值为31或49．故答案为：31或49例71．(2023·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））有关椭圆叙述错误的是（

）A．长轴长等于4 B．短轴长等于4C．离心率为 D．的取值范围是答案：A【解析】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.故选：A.例72．(2023·四川省宜宾市第三中学校高二期中（理））已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（

）A．离心率为 B．焦点为C．长轴长为3 D．椭圆上的点的横坐标取值范围为答案：B【解析】由椭圆方程，可知