高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)3.3.1抛物线及其标准方程(原卷版+解析)

3．3．1抛物线及其标准方程【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：抛物线的标准方程题型三：轨迹方程—抛物线题型四：抛物线距离和与差的最值问题题型五：抛物线的实际应用【知识点梳理】知识点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．知识点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合，将上式两边平方并化简，得．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线时开口向右时开口向左时开口向上时开口向下④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【典型例题】题型一：抛物线的定义例1．(2023·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（

）A． B．C． D．例2．(2023·全国·高二单元测试）从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为___________.例3．(2023·云南·罗平县第一中学高二期末）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（

）A．1 B．2 C．4 D．6例4．(2023·云南·罗平县第一中学高二开学考试）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（

）A．6 B．8 C．12 D．16例5．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．例6．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.例7．(2023·全国·高二课时练习）若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则______．例8．(2023·云南曲靖·高二期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．题型二：抛物线的标准方程例9．(2023·四川攀枝花·高二期末（理））焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．例10．(2023·全国·高二课时练习）准线方程为的抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．例11．(2023·全国·高二课时练习）若抛物线的焦点为，则其标准方程为（

）A． B．C． D．例12．(2023·陕西宝鸡·高二期末（理））顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或例13．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（

）A． B．C． D．例14．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，点为圆与的一个交点，且，则的标准方程是（

）.A． B． C． D．例15．(2023·江苏常州·高二期中）如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A． B． C． D．例16．(2023·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.故选：B题型三：轨迹方程—抛物线例17．(2023·安徽省宣城中学高二阶段练习）下列说法正确的个数是（

）（1）动点满足，则P的轨迹是椭圆（2）动点满足，则P的轨迹是双曲线（3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线（4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线A．0 B．1 C．2 D．3例18．(2023·全国·高二课时练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．例19．(2023·全国·高二课时练习）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例20．(2023·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线：上的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例21．(2023·广西·南宁市邕宁高级中学高二期末）抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．例22．(2023·全国·高二课时练习）过点且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线例23．(2023·全国·高二课时练习）已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（

）．A． B． C． D．例24．(2023·全国·高二专题练习）设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例25．(2023·全国·高二）若动圆C过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8,则动圆圆心C的轨迹方程是(

)A． B． C． D．()题型四：抛物线距离和与差的最值问题例26．(2023·四川·宁南中学高二阶段练习（理））已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例27．(2023·北京市十一学校高二期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6例28．(2023·湖南·周南中学高二开学考试）已知A（2，1），抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（

）A． B． C． D．例29．(2023·西藏·拉萨中学高二阶段练习（文））已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为（

）A． B． C． D．例30．(2023·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知抛物线，经过点，且焦点为F，点A是抛物线C上任意一点，若点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7例31．(2023·北京顺义·高二期末）已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．例32．(2023·青海海东·高二期末（理））已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例33．(2023·全国·高二课时练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．例34．(2023·河北邢台·高二期末）的最小值为（

）A．5 B． C．6 D．例35．(2023·福建省平和第一中学高二阶段练习）过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型五：抛物线的实际应用例36．(2023·全国·高二专题练习）北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分．已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离为（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1例37．(2023·全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（）米．A． B． C． D．例38．(2023·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角，则其焦径比为______．例39．(2023·江苏·周市高级中学高二阶段练习）一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．卫星发射的信号波束到达后，在轴截面内呈近似平行状态射入，经反射聚集到焦点处，从而位于焦点处的信号接收器可以接受到较强的信号波．已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为1米．根据图2中的坐标系，解答下列问题：(1)求接收器与顶点间的距离；(2)证明一卫星信号波沿着平行于对称轴方向射入，经过抛物线上的点M（不同于抛物线顶点）反射后经过焦点F．例40．(2023·全国·高二课时练习）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是1.5m，暴雨后的水面宽为2m，暴雨来临之前的水面宽为4m，求暴雨后的水面离桥拱顶的距离．例41．(2023·江苏·高二课时练习）如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降1m，求水面宽度（精确到0.01m）．【同步练习】一、单选题1．(2023·广东广州·高二期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（

）A．1 B．2 C．4 D．82．(2023·广西南宁·高二期末（文））已知抛物线（）上的点到该抛物线焦点F的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．3．(2023·河南许昌·高二期末（理））已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．4．(2023·四川达州·高二期末（理））已知直线l过抛物线的焦点，且平分圆，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．5．(2023·广东·中山纪念中学高二阶段练习）设为抛物线：的焦点，直线：，点为上任意一点，过点作于，则（

）A．－2 B．2 C．3 D．不能确定6．(2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点.若，则点的坐标为（

）A． B．C． D．7．(2023·全国·高二课时练习）如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（

）A． B． C．1 D．8．(2023·江苏省江阴市第一中学高二开学考试）我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（

）A． B． C． D．9．(2023·福建漳州·高二期末）已知抛物线的焦点为，其准线与其对称轴的交点为，点在抛物线上，满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题10．(2023·全国·高二单元测试）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”11．(2023·全国·高二单元测试）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”12．(2023·福建·莆田第二十五中学高二期末）已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（

）A． B．当轴时，C．为定值1 D．若，则直线的斜率为13．(2023·全国·高二课时练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（

）A． B． C． D．三、填空题14．(2023·全国·高二课时练习）若抛物线的顶点在原点，准线与其平行线的距离为，则抛物线的方程为______．15．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______．16．(2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为准线为为上一点垂直于点分别为的中点与轴相交于点若，则等于__．17．(2023·全国·高二课时练习）与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是______．四、解答题18．(2023·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））回答下列各题.(1)求经过点的抛物线的标准方程；(2)求经过点，且与有相同的焦点的椭圆的标准方程.19．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线的方程为，是其焦点，点在抛物线的内部，在此抛物线上求一点，使的值最小．20．(2023·全国·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的方程.(1)焦点为，准线方程为；(2)顶点在原点，准线方程为；(3)顶点在原点，以轴为对称轴，过点．21．(2023·全国·高二单元测试）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．3．3．1抛物线及其标准方程【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：抛物线的标准方程题型三：轨迹方程—抛物线题型四：抛物线距离和与差的最值问题题型五：抛物线的实际应用【知识点梳理】知识点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．知识点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合，将上式两边平方并化简，得．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线时开口向右时开口向左时开口向上时开口向下④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【典型例题】题型一：抛物线的定义例1．(2023·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以，所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C例2．(2023·全国·高二单元测试）从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为___________.答案：【解析】由题意作图如下：则，，在中，，则，即，即直线的斜率为，故答案为：.例3．(2023·云南·罗平县第一中学高二期末）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（

）A．1 B．2 C．4 D．6答案：C【解析】由，可得其焦点，准线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，则，解得，故选：C.例4．(2023·云南·罗平县第一中学高二开学考试）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（

）A．6 B．8 C．12 D．16答案：D【解析】由题意，抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，根据抛物线的定义，可得，解得.故选：D.例5．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．答案：13【解析】抛物线C：的准线方程为，设，，由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有，所以．故答案为：13例6．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.答案：2【解析】如图所示，连接，，设准线与轴交于点，由题意得，.∵，分别为，的中点，∴.∵垂直于点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，，又∵，∴为等边三角形，∴，则四边形为矩形，∴，∴.故答案为：例7．(2023·全国·高二课时练习）若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则______．答案：5【解析】由题意，知抛物线的准线方程为，点A到准线的距离为，因为点在抛物线上，故的长度等于点A到准线的距离，所以,故答案为：5例8．(2023·云南曲靖·高二期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．答案：【解析】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，在直角三角形中，因为，，所以，从而得，设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.故答案为：.题型二：抛物线的标准方程例9．(2023·四川攀枝花·高二期末（理））焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为，故抛物线的标准方程是.故选：A.例10．(2023·全国·高二课时练习）准线方程为的抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】的准线方程为.故选：D.例11．(2023·全国·高二课时练习）若抛物线的焦点为，则其标准方程为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由题意，设抛物线标准方程为，所以，解得，所以抛物线标准方程为.故选：D例12．(2023·陕西宝鸡·高二期末（理））顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或答案：D【解析】设抛物线方程为，则，，方程为，或设方程为，则，，方程为．所以抛物线方程为或．故选：D．例13．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】双曲线的渐近线方程是，即.因为抛物线的焦点到渐近线的距离为2，则，即，所以的标准方程是，故选：D．例14．(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，点为圆与的一个交点，且，则的标准方程是（

）.A． B． C． D．答案：C【解析】设抛物线的方程为，连接，过作准线，交轴于，因为，所以，所以，在中有：，所以，解得：，所以抛物线的方程为：，故选：C.例15．(2023·江苏常州·高二期中）如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A． B． C． D．答案：D【解析】设抛物线方程为，则，将代入抛物线方程得，，由于为等边三角形，故，即，解得.例16．(2023·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x答案：B【解析】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.故选：B题型三：轨迹方程—抛物线例17．(2023·安徽省宣城中学高二阶段练习）下列说法正确的个数是（

）（1）动点满足，则P的轨迹是椭圆（2）动点满足，则P的轨迹是双曲线（3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线（4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【解析】（1）公式的几何意义为到、的距离之和为4，而、的距离等于4，故P的轨迹不是椭圆，错误；（2）公式的几何意义为到与到的距离之差为5，且、的距离等于4，P的轨迹不是双曲线，错误；（3）由题设，到y轴的距离比到的距离小1，则，可得P的轨迹是或，错误；（4）由题设，或，故P的轨迹是圆和直线（在圆上或圆外部分，即两条射线)，正确.故选：B.例18．(2023·全国·高二课时练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由题意可知，动点到点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹为以点为焦点，以直线为准线的抛物线，其轨迹方程为.故选：C.例19．(2023·全国·高二课时练习）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】抛物线的标准方程是，故．设，，的中点，即，即故选：．例20．(2023·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线：上的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由题意，，所以点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由得，所以抛物线方程为．故选：A．例21．(2023·广西·南宁市邕宁高级中学高二期末）抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由抛物线的方程可得焦点，可得过焦点的直线的斜率不为0，设直线方程为：，设直线与抛物线的交点，，，，设的中点，联立直线与抛物线的方程可得：，，，所以可得，消去可得的轨迹方程：，故选：C．例22．(2023·全国·高二课时练习）过点且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线答案：D【解析】设圆心坐标为，因为圆过点且与y轴相切的圆，所以，化简得，所以圆心的轨迹为抛物线，故选：D例23．(2023·全国·高二课时练习）已知动点到点的距离比到直线的距离小，则点的轨迹方程为（

）．A． B． C． D．答案：D【解析】因为动点到点的距离比到直线的距离小，所以，点到点的距离和到直线的距离相等，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线．所以，，则，故点的轨迹方程为．故选：D.例24．(2023·全国·高二专题练习）设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】设，则．由得又在抛物线上，，即，即，故选：A．例25．(2023·全国·高二）若动圆C过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8,则动圆圆心C的轨迹方程是(

)A． B． C． D．()答案：C【解析】设圆心的坐标为，过作轴，垂足为，则，，，得.故选：C.题型四：抛物线距离和与差的最值问题例26．(2023·四川·宁南中学高二阶段练习（理））已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】方程可化为，所以直线恒过定点，因为抛物线：的焦点坐标为，所以，即，所以，过点作准线，垂足为，则，过点作准线，垂足为，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故选：C.例27．(2023·北京市十一学校高二期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：B【解析】过点M作准线的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，其最小值为.故选：B．例28．(2023·湖南·周南中学高二开学考试）已知A（2，1），抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】抛物线的准线，过点P作垂直于准线，由题可知，△PAF的周长为,，易知当三点共线时，△PAF的周长最小，且最小值为.故选：C.例29．(2023·西藏·拉萨中学高二阶段练习（文））已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，如下图所示：过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，所以，，由图可知，当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，且最小值为.故选：C.例30．(2023·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知抛物线，经过点，且焦点为F，点A是抛物线C上任意一点，若点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B【解析】由题可得，即，抛物线为，准线l的方程为．设A到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知，所以．故选：B例31．(2023·北京顺义·高二期末）已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．答案：C【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线为，所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，故选：C.例32．(2023·青海海东·高二期末（理））已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8答案：D【解析】由已知得抛物线的焦点为，准线方程为，设点到准线的距离为，则，则由抛物线的定义可知．∵，当点、、三点共线时等号成立，∴，故选：.例33．(2023·全国·高二课时练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】将化为，则其焦点，准线方程为，则，设，则由抛物线的定义，得，所以的周长（当且仅当轴时取得最小值）.故选：A.例34．(2023·河北邢台·高二期末）的最小值为（

）A．5 B． C．6 D．答案：C【解析】设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为，则．故选：C例35．(2023·福建省平和第一中学高二阶段练习）过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B【解析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程，消去得：，设，，，，，，由抛物线的性质可知：，，直线的斜率为：，，，，，抛物线方程为：，准线方程为：，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示：的最小值为3，故选：B．题型五：抛物线的实际应用例36．(2023·全国·高二专题练习）北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分．已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离为（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1答案：A【解析】由题意，设点所在的抛物线方程为，又由抛物线与椭圆的交点，代入抛物线方程得，解得，即抛物线的方程为，令，可得，解得或（舍去），所以，即航天器降落点B与观测点A之间的距离为.故选：A.例37．(2023·全国·高二专题练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（）米．A． B． C． D．答案：B【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0，故水面宽为2m．故选：B．例38．(2023·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角，则其焦径比为______．答案：【解析】设抛物线的方程为，则．设，因为，所以，所以，所以，所以，故其焦径比．故答案为：例39．(2023·江苏·周市高级中学高二阶段练习）一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．卫星发射的信号波束到达后，在轴截面内呈近似平行状态射入，经反射聚集到焦点处，从而位于焦点处的信号接收器可以接受到较强的信号波．已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为1米．根据图2中的坐标系，解答下列问题：(1)求接收器与顶点间的距离；(2)证明一卫星信号波沿着平行于对称轴方向射入，经过抛物线上的点M（不同于抛物线顶点）反射后经过焦点F．【解析】(1)设抛物线的方程为：，因为接收天线的口径（直径）为4米，深度为1米，故且，故，故抛物线的方程为：.此时接收器与顶点之间的距离为1.(2)设，当时，不妨设在第一象限，则抛物线在处的切线的斜率必存在，设，由可得，整理得到：，故，故.故切线方程为：，当光线沿射入时，反射光线的斜率为，其倾斜角为，法线的倾斜角为，则，且，当时，故，故反射光线的方程为：，故反射光线过焦点，当时，，此时，故反射光线的方程为：，此时反射光线过焦点，当时，反射光线过焦点，综上，反射光线过焦点.例40．(2023·全国·高二课时练习）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是1.5m，暴雨后的水面宽为2m，暴雨来临之前的水面宽为4m，求暴雨后的水面离桥拱顶的距离．【解析】如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由已知得且，所以，解得，所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为例41．(2023·江苏·高二课时练习）如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降1m，求水面宽度（精确到0.01m）．【解析】建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线的方程为：，由题意知：点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线方程为，当水面下降1m时抛物线上点的纵坐标为-3，代入，得，解得，此时水面的宽度为.【同步练习】一、单选题1．(2023·广东广州·高二期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：C【解析】因为，所以抛物线准线为又，所以圆心坐标为，半径为2由已知得：圆心到准线的距离为半径，则，所以故选：C.2．(2023·广西南宁·高二期末（文））已知抛物线（）上的点到该抛物线焦点F的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．答案：B【解析】抛物线的准线方程为由抛物线的性质可知，得，故，故选：B.3．(2023·河南许昌·高二期末（理））已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】当时，，显然，解得，故，解得，故抛物线，焦点坐标为故选：A4．(2023·四川达州·高二期末（理））已知直线l过抛物线的焦点，且平分圆，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，所以可得直线经过点和，故斜率，由斜截式可得方程为：，故选：C5．(2023·广东·中山纪念中学高二阶段练习）设为抛物线：的焦点，直线：，点为上任意一点，过点作于，则（

）A．－2 B．2 C．3 D．不能确定答案：A【解析】由题意，抛物线的准线为，且到的距离等于.又点到距离为，故故选：A6．(2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点.若，则点的坐标为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】抛物线，，抛物线的准线方程是，设，，，解得，所以，解得，故点的坐标为或．故选：D7．(2023·全国·高二课时练习）如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】由题意，得点的坐标为，点的坐标为，∵，两点都在抛物线上，∴，即，即，解得或，又，∴,故选:A8．(2023·江苏省江阴市第一中学高二开学考试）我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由抛物线知可以看做时抛物线(焦点坐标)先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，故的焦点坐标为故选：C9．(2023·福建漳州·高二期末）已知抛物线的焦点为，其准线与其对称轴的交点为，点在抛物线上，满足，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】若轴，准线，如下图示：令，而，所以，又，所以.故选：C二、多选题10．(2023·全国·高二单元测试）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”答案：BCD【解析】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线：的距离，故点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误．由上述可知点P的轨迹与直线没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确．易知“最远距离直线”与抛物线有交点，把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确．把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．11．(2023·全国·高二单元测试）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”答案：BCD【解析】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线：的距离，故点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误．由上述可知点P的轨迹与直线没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确．易知“最远距离直线”与抛物线有交点，把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确．把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选