(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题2.8直线的交点坐标与距离公式(原卷版+解析)

专题2.8直线的交点坐标与距离公式-重难点题型检测【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·黑龙江·高二阶段练习）两平行线x+y−1=0与2x+2y−7=0之间的距离是（

）A．32 B．322 C．2．（3分）（2023·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,−6),C(5,2)A．10 B．210 C．112 3．（3分）(2023·江苏·高二课时练习）经过两直线l1:2x−y+3=0与l2:x+2y−1=0的交点，且平行于直线A．2x−3y+5=0 B．2x+3y−1=0C．3x+2y−2=0 D．3x+2y+1=04．（3分）(2023·江苏南京·高二开学考试）点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为72，则点P的坐标为（

A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）5．（3分）(2023·全国·高二课时练习）直线l1:mx−y−2m=0，直线l2与l1平行且经过点Q(−1,4)，则l1A．6 B．5 C．4 D．36．（3分）(2023·全国·高三专题练习（文））设m∈R，直线x+my+1=0恒过定点A，则点A到直线mx−y−2m+2=0的距离的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．137．（3分）(2023·江苏·高二专题练习）直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0,−1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线A．x+2y−3=0 B．x−y−3=0C．x+2y+3=0 D．x−y+3=08．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知P1a1,b1与P2a2,b2是直线y=kx+1（A．存在k、P1、PB．存在k、P1、PC．无论k、P1、PD．无论k、P1、P二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点3,4，点A−2,2，B4,−2到l的距离相等，则l的方程可能是(A．x−2y+2=0 B．2x−y−2=0C．2x+3y−18=0 D．2x−3y+6=010．（4分）(2023·湖南·高一期末）已知平面上一点M5,0，若直线上存在点P使PM=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（A．y=x+1 B．y=2 C．y=43x11．（4分）(2023·江苏·高二开学考试）下列m的值中，不能使三条直线l1:4x−y=4,l2:mx−y=0A．4 B．−6 C．−1 D．212．（4分）(2023·重庆·高二期末）对于直线l1:ax+2y+3a=0,lA．l1∥l2B．当a=25C．直线l1一定经过点D．点P1,3到直线l三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）与直线x+y+2=0平行且与它的距离为32的直线的方程为14．（4分）(2023·河北·高二阶段练习）若点Ma,b为直线3x−y+3=0上的动点，则a215．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过两直线x+2y+4=0和2x−3y+8=0的交点，且过点0,1，则直线l的两点式方程为16．（4分）(2023·福建省高二阶段练习）已知直线l1 :mx+y+2m−3=0，l2:mx+y−m+1=0，则直线l四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·山西·高二阶段练习）已知直线l1(1)若直线l1在x轴上的截距为−2，求实数a(2)直线l1与直线l2:2x−y+1=0平行，求l18．（6分）(2023·河南·高二阶段练习）已知直线l1:x+my+1=0，l2(1)若这三条直线交于一点，求实数m的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件．19．（8分）(2023·河南·高二阶段练习）已知直线l:(2m+1)x−(3+m)y+m−7=0．(1)m为何值时，点Q(3,4)到直线l的距离最大?并求出最大值；(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．20．（8分）(2023·北京高二期中）已知直线l1(1)当a=1时，求两直线的距离；(2)若l1⊥l(3)写出原点到直线l121．（8分）(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)，P3,−1，Q(1)若P、Q两点到直线l的距离相等，求此时直线l的直线方程.(2)当k为何值时，原点到直线l的距离最大(3)当k=1时，求直线l上的动点M到原点距离的最小值，并求此时M点的坐标22．（8分）(2023·上海市高二阶段练习）已知两条直线l1(1)若直线l1与两坐标轴分别交于A、B两点，又l1过定点P，当a为何值时，AP2(2)若a≥2，设l1、l(3)设a=1，直线l1与x轴交于点A，l1、l2的交点为P，如图现因三角形OPA中的阴影部分受到损坏，经过点Q(1,1)的任意一条直线MN专题2.8直线的交点坐标与距离公式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）(2023·黑龙江·高二阶段练习）两平行线x+y−1=0与2x+2y−7=0之间的距离是（

）A．32 B．322 C．【解题思路】根据平行线间距离公式求解.【解答过程】方程x+y−1=0可化为2x+2y−2=0，所以两平行线之间的距离为|−2−(−7)|2故选：C.2．（3分）（2023·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,−6),C(5,2)A．10 B．210 C．112 【解题思路】先求出BC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可【解答过程】设过A点中线长即为线段AD.D为BC中点：D3+52,−6+22∴|AD|=故选：B.3．（3分）(2023·江苏·高二课时练习）经过两直线l1:2x−y+3=0与l2:x+2y−1=0的交点，且平行于直线A．2x−3y+5=0 B．2x+3y−1=0C．3x+2y−2=0 D．3x+2y+1=0【解题思路】首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为3x+2y+m=0，将交点坐标代入方程，即可求出参数m的值，即可得解；【解答过程】解：由2x−y+3=0x+2y−1=0，解得x=−1y=1，所以直线l1:2x−y+3=0与l2:x+2y−1=0的交点为−1,1，设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+m=0m≠7故选：D.4．（3分）(2023·江苏南京·高二开学考试）点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为72，则点P的坐标为（

A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）【解题思路】先用两点距离公式求出AB，再求出直线AB的方程，再利用点线距离公式求出P点到AB的距离，再用三角形的面积公式代入求解即可.【解答过程】根据题意，设点P的坐标为x,0，则kAB=3−20−−1=1，故直线故P到直线AB上的距离为：d=x−0+3又因为AB=所以由S△ABC=1解得x=4或x=−10，即P为4,0或−10,0.故选：B.5．（3分）(2023·全国·高二课时练习）直线l1:mx−y−2m=0，直线l2与l1平行且经过点Q(−1,4)，则l1A．6 B．5 C．4 D．3【解题思路】判断出直线l1恒过的定点A的坐标，则|AQ|【解答过程】直线l1:mx−y−2m=0，也即y=m(x−2)，恒过定点显然若直线l2平行于l1且过点Q，则l1又AQ=故选：B.6．（3分）(2023·全国·高三专题练习（文））设m∈R，直线x+my+1=0恒过定点A，则点A到直线mx−y−2m+2=0的距离的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．13【解题思路】把直线x+my+1=0与mx−y−2m+2=0经过的定点求出来，利用数形结合可以得到点A−1,0到直线mx−y−2m+2=0的距离最大值即为AB【解答过程】x+my+1=0恒过的点为A−1,0，直线mx−y−2m+2=0变形为y−2=mx−2，恒过点B2,2，所以点A−1,0到直线mx−y−2m+2=0的距离最大值即为故选：D.7．（3分）(2023·江苏·高二专题练习）直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0,−1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线A．x+2y−3=0 B．x−y−3=0C．x+2y+3=0 D．x−y+3=0【解题思路】由平行线与直线AB垂直时，平行线间距离最大，从而求得直线l1【解答过程】解：由题意可得，l1，l2间的距离最大时，由于AB的斜率为1+11−0=2，故直线l1故它的方程是y−1=−12(x−1)故选：A．8．（3分）(2023·全国·高二课时练习）已知P1a1,b1与P2a2,b2是直线y=kx+1（A．存在k、P1、PB．存在k、P1、PC．无论k、P1、PD．无论k、P1、P【解题思路】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1【解答过程】解：因为P1a1,b所以k=b2−并且b1则a2联立a1x+b1y−1=0即a1所以x=b所以方程组a1即无论k、P1、P故选：D.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）(2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点3,4，点A−2,2，B4,−2到l的距离相等，则l的方程可能是(A．x−2y+2=0 B．2x−y−2=0C．2x+3y−18=0 D．2x−3y+6=0【解题思路】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为y−4=kx−3，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l【解答过程】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−4=kx−3，即kx−y+4−3k=0∵点A−2,2∴−2k−2+4−3kk2+1=当k=−23时，直线l的方程为y−4=−2当k=2时，直线l的方程为y−4=2x−3，整理得综上，直线l的方程可能为2x+3y−18=0或2x−y−2=0故选：BC．10．（4分）(2023·湖南·高一期末）已知平面上一点M5,0，若直线上存在点P使PM=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（A．y=x+1 B．y=2 C．y=43x【解题思路】所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析，分别求出定点M到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【解答过程】所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．A．因为d=5+12=32>4，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”；B．因为d=2<4C．因为d=2032+42=4，直线上存在一点，使之到点M距离等于4故选：BC.11．（4分）(2023·江苏·高二开学考试）下列m的值中，不能使三条直线l1:4x−y=4,l2:mx−y=0A．4 B．−6 C．−1 D．2【解题思路】根据题意，可分l1//l2、【解答过程】由题意，当三条直线l1:4x−y=4,l若l1//l当l1//l当l2//l当三条直线经过一个点时，把l1和l2的交点为代入直线2x+3my=4中，可得84−m+12m2综上可得，满足条件的m为4或−16或−1或故选：ACD.12．（4分）(2023·重庆·高二期末）对于直线l1:ax+2y+3a=0,lA．l1∥l2B．当a=25C．直线l1一定经过点D．点P1,3到直线l【解题思路】求出l1∥l2的充要条件即可判断A;验证a=25时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线l1【解答过程】当l1∥l2时，a(a−1)−6=0解得a=3或当a=−2时，两直线为x−y+3=0,x−y+5当a=3时，两直线为3x+2y+9=0,3x+2y=0，符合题意，故A错误；当a=25时，两直线为x+5y+3=0,15x−3y+13=0，所以l1直线l1:ax+2y+3a=0即直线a(x+3)+2y=0，故直线过定点因为直线l1:ax+2y+3a=0过定点−3,0，当直线l1:ax+2y+3a=0与点P1,3和−3,0的连线垂直时，P故D正确，故选：BD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）(2023·全国·高二课时练习）与直线x+y+2=0平行且与它的距离为32的直线的方程为x+y+8=0或x+y−4=0【解题思路】由所求直线与直线x+y+2=0平行，设出直线方程为x+y+c=0c≠0，利用两平行线的距离公式列方程求出c【解答过程】设所求直线方程为x+y+c=0c≠0则c−22=32，解得c=8故答案为：x+y+8=0或x+y−4=0.14．（4分）(2023·河北·高二阶段练习）若点Ma,b为直线3x−y+3=0上的动点，则a2【解题思路】由题意，根据两点之间的距离公式，问题转化为点到直线上的点的最短距离，由点到直线的距离公式，可得答案.【解答过程】解：由a2+(b+1)转化为点Ma,b到点0,−1因为点Ma,b为直线3由点0,−1到直线3x−y+3=0的距离为d=a2故答案为：4.15．（4分）(2023·全国·高二课时练习）已知直线l过两直线x+2y+4=0和2x−3y+8=0的交点，且过点0,1，则直线l的两点式方程为y−01−0【解题思路】联立x+2y+4=0和2x−3y+8=0求出交点坐标，代入两点式方程即可.【解答过程】联立x+2y+4=02x−3y+8=0解得交点坐标为−4,0由−4,0和0,1得直线l的两点式方程为y−01−0故答案为：y−01−016．（4分）(2023·福建省高二阶段练习）已知直线l1 :mx+y+2m−3=0，l2:mx+y−m+1=0，则直线l【解题思路】分别求出直线l1，l2过的定点A，B，当AB与两直线垂直时距离最大，且最大值为【解答过程】直线l1:mx+y+2m−3=0化简为：令x+2=0且y−3=0，解得x=−2，y=3，所以直线l1过定点A(−2,3)直线l2:mx+y−m+1=0化简为：令x−1=0且y+1=0，解得x=1，y=−1，所以直线l2过定点B(1,−1)当AB与直线l1，l2垂直时，直线l1且最大值为|AB|=(−2−1)故答案为：5．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）(2023·山西·高二阶段练习）已知直线l1(1)若直线l1在x轴上的截距为−2，求实数a(2)直线l1与直线l2:2x−y+1=0平行，求l【解题思路】（1）根据直线在两坐标轴上截距的定义直接可得a；（2）由两直线平行可得a，再根据平行线间距离公式可得解.【解答过程】解：（1）直线l1:ax+y+2=0，令y=0，解得所以a=1；（2）直线l1与直线l2平行可知−1×a=2×1，解得所以l1:−2x+y+2=0，即所以直线l1与直线l2间距离18．（6分）(2023·河南·高二阶段练习）已知直线l1:x+my+1=0，l2(1)若这三条直线交于一点，求实数m的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件．【解题思路】（1）先由直线l2,l3方程联立求出交点坐标，再代入直线（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形，求出m的取值范围，再求出其补集即可.【解答过程】解：（1）由2x−y−4=0,解得x=1,y=−2,代入l1的方程，得（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．①联立2x−y−4=0,3x+y−1=0,解得x=1,y=−2,代入x+my+1=0，得②当l1:x+my+1=0与l2当l1:x+my+1=0与l3综上所述，当m≠1且m≠13且19．（8分）(2023·河南·高二阶段练习）已知直线l:(2m+1)x−(3+m)y+m−7=0．(1)m为何值时，点Q(3,4)到直线l的距离最大?并求出最大值；(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．【解题思路】（1）由题设求得直线l过定点P(−2,−3)，则Q与定点P的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及kPQ=7（2）设直线l为y+3=k(x+2)，k<0并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程.【解答过程】解：（1）已知直线l:(2m+1)x−(3+m)y+m−7=0，整理得(2x−y+1)m+x−3y−7=0，由{2x−y+1=0x−3y−7=0⇒{x=−2y=−3点Q(3,4)到直线l的距离最大，即Q与定点P的连线的距离就是所求最大值，所以(3+2)2∵kPQ∴(2m+1)x−(3+m)y+m−7=0的斜率为−57，得−5（2）若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，则设直线l为y+3=k(x+2)，k<0，则A(3k−2,0)S△AOB（当且仅当k=−3故△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0.20．（8分）(2023·北京高二期中）已知直线l1(1)当a=1时，求两直线的距离；(2)若l1⊥l(3)写出原点到直线l1【解题思路】（1）利用两平行线间的距离公式求解即可；（2）利用两直线垂直时斜率的关系求解即可；（3）先利用点到直线的距离公式，再分析最小值即可求解【解答过程】解：(1)当a=1时，l1所以两直线的距离为3−51(2)若l1则a×1+−2解得a=6；(3)原点到直线l1d=3当a=0时，dmax21．（8分）(2023·江苏·高二课时练习）已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)，P3,−1，Q(1)若P、Q两点到直线l的距离相等，求此时直线l的直线方程.(2)当k为何值时，原点到直线l的距离最大(3)当k=1时，求直线l上的动点M到原点距离的最小值，并求此时M点的坐标【解题思路】（1）分直线l过PQ的中点，直线l与PQ平行两种情况讨论，分别计算可得；（2）首先求出直线过定点N−2,1，当直线l与ON垂直时，原点到直线l的距离最大，即可求出k（3）首先求出直线l的方程，设Mx,x+3，根据两点的距离公式及二次函数的性质求出OM的最小值，即可求出M【解答过程】解：（1）解：因为P3,−1，Q−3,3，所以PQ的中点为0,1，若直线l：kx−y