高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)5.3.1函数的单调性(原卷版+解析)

5．3．1函数的单调性【题型归纳目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：函数图象与导函数图象的关系题型三：已知单调性求参数的取值范围题型四：判断、证明函数的单调性题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数情形二：函数为准一次函数情形三：函数为二次函数型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型【知识点梳理】知识点一、函数的单调性与导数的关系导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减；③若恒有，则在这一区间上为常函数．反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．知识点诠释：1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．即在某区间上，在这个区间上单调递增；在这个区间上单调递减，但反之不成立．3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间．在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：，，，而在R上递增．4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．5、注意导函数图象与原函数图象间关系．知识点二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增；（2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．知识点诠释：（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间．或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．知识点诠释：1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．知识点四：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间例1．(2023·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．例2．(2023·湖南·新邵县教研室高二期末（文））函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．例3．(2023·吉林·高二期末）函数的递增区间是（

）A． B．和C． D．变式1．(2023·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．变式2．(2023·辽宁丹东·高二期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．变式3．(2023·重庆长寿·高二期末）函数的单调递减区间为（

）A．（0，2） B．（2，3）C．（1，3） D．（3，+∞）【方法技巧与总结】（1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”．题型二：函数图象与导函数图象的关系例4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例5．(2023·吉林·长春市第五中学高二期中）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（

）A． B．C． D．例6．(2023·全国·高二单元测试）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（

）．A． B．C． D．变式4．(2023·山东德州·高二期末）函数的部分图像可能是（

）A． B．C． D．变式5．(2023·广东广州·高二期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（

）A． B．C． D．变式6．(2023·浙江·宁波市李惠利中学高二期中）函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】（1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性．（2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大．题型三：已知单调性求参数的取值范围例7．(2023·江西·上高二中高二阶段练习（文））若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．例8．(2023·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例9．(2023·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．变式7．(2023·广东东莞·高二期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）变式8．(2023·天津一中高二期中）已知函数的单调递减区间是，则（

）A．3 B． C．2 D．变式9．(2023·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．变式10．(2023·福建·莆田一中高二期中）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式11．(2023·全国·高二课时练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式12．(2023·新疆·霍城县第二中学高二期中（文））已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．变式13．(2023·全国·高二专题练习（理））若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．(1，2] D．[1，2)变式14．(2023·山东省东明县第一中学高二阶段练习）函数是上的单调函数，则的范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意．（2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．题型四：判断、证明函数的单调性例10．(2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理））已知，且(1)求实数的值；(2)判断此函数的奇偶性并证明；(3)判断此函数在的单调性（无需证明）.例11．(2023·江苏·高二课时练习）用导数证明：(1)在区间上是增函数；(2)在区间上是减函数．例12．(2023·全国·高二专题练习）证明：(1)函数在定义域上是减函数；(2)函数在区间上是增函数．变式15．(2023·江苏·高二专题练习）证明函数是R上的增函数．变式16．(2023·全国·高二课时练习）证明函数在区间上单调递减．【方法技巧与总结】判断、证明函数的单调性的步骤：1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论．题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数例13．(2023·贵州六盘水·高二期末（文））已知函数.讨论的单调性；例14．(2023·浙江·镇海中学高二期中）已知函数，其中.讨论函数的单调性；例15．(2023·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）已知函数．求函数的单调区间；情形二：函数为准一次函数变式17．(2023·全国·模拟预测（文））设函数，其中．当时，求函数的单调区间；变式18．(2023·江苏·华罗庚中学三模）已知函数，（为自然对数的底数，）．求函数的单调区间；变式19．(2023·云南师大附中模拟预测（理））已知函数，其中．讨论的单调性；变式20．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数．讨论的单调性；情形三：函数为二次函数型1、可因式分解变式21．(2023·河南·睢县高级中学高二阶段练习（理））已知函数.(1)当时，求曲线在点的切线方程；(2)讨论函数的单调性.变式22．(2023·全国·高二课时练习）求函数的单调区间.变式23．(2023·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；变式24．(2023·浙江省江山中学模拟预测）函数．讨论函数的单调性；变式25．(2023·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数．讨论函数的单调性；变式26．(2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；变式27．(2023·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））已知函数（）.(1)，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.2、不可因式分解型变式28．(2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；变式29．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，试讨论的单调区间.【方法技巧与总结】1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3、利用草稿图像辅助说明．情形四：函数为准二次函数型变式30．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数．讨论的单调性；变式31．(2023·全国·二模（理））已知函数．讨论的单调性；变式32．(2023·北京·高二期末）若函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)判断方程解的个数，并说明理由；(3)当，设，求的单调区间.变式33．(2023·浙江·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；【方法技巧与总结】（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【同步练习】一、单选题1．(2023·四川·仁寿一中高二期中（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A．或或 B．或C． D．不存在这样的实数2．(2023·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南·新邵县教研室高二期末（文））设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南·新邵县教研室高二期末（理））已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．(2023·山东泰安·高二期末）已知函数是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高二单元测试）已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．(2023·贵州六盘水·高二期末（理））判断中最大的数为（

）A． B． C． D．8．(2023·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知函数，则（

）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为D．是奇函数10．(2023·全国·高二课时练习）设函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域是B．当时，的图象位于x轴下方C．存在单调递增区间D．有两个单调区间11．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意（），下列结论正确的是（

）A． B．C． D．12．(2023·全国·高二课时练习）若函数（e＝2.71828…是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中不具有M性质的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，若在内为减函数，则实数a的取值范围是______．14．(2023·全国·高二课时练习）若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是______．15．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）若函数在是严格增函数，则实数的最小值是_________.16．(2023·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）若对，，且，都有，则m的最小值是________.四、解答题17．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的单调区间：(1)；(2)．18．(2023·北京平谷·高二期末）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间.19．(2023·陕西·咸阳市高新一中高二阶段练习（文））设函数的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）．(1)求a、b的值．(2)讨论函数f（x）的单调性．20．(2023·陕西师大附中高二期中（文））已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)对任意的，当时都有，求实数的取值范围．21．(2023·全国·高二课时练习）设函数(1)求函数的单调区间：(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.5．3．1函数的单调性【题型归纳目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：函数图象与导函数图象的关系题型三：已知单调性求参数的取值范围题型四：判断、证明函数的单调性题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数情形二：函数为准一次函数情形三：函数为二次函数型1、可因式分解2、不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型【知识点梳理】知识点一、函数的单调性与导数的关系导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上单调递增；②若，则在这个区间上单调递减；③若恒有，则在这一区间上为常函数．反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．知识点诠释：1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．即在某区间上，在这个区间上单调递增；在这个区间上单调递减，但反之不成立．3、在某区间上单调递增在该区间；在某区间上单调递减在该区间．在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：，，，而在R上递增．4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．5、注意导函数图象与原函数图象间关系．知识点二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间内可导，（1）如果恒有，则函数在内单调递增；（2）如果恒有，则函数在内单调递减；（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．知识点诠释：（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间．或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．知识点诠释：1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．知识点四：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间例1．(2023·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由可得，令，解得，所以的单调递增区间是，故选：B例2．(2023·湖南·新邵县教研室高二期末（文））函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．故选：B．例3．(2023·吉林·高二期末）函数的递增区间是（

）A． B．和C． D．答案：C【解析】由题设，且，可得，所以递增区间为.故选：C变式1．(2023·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，令，得，所以函数的单调递减区间是，故选：A.变式2．(2023·辽宁丹东·高二期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为，该函数的定义域为，，由，可得，解得，因此，函数的单调递增区间为.故选：B.变式3．(2023·重庆长寿·高二期末）函数的单调递减区间为（

）A．（0，2） B．（2，3）C．（1，3） D．（3，+∞）答案：B【解析】的定义域为,,令，解得：.所以函数的单调递减区间为（2，3）.故选：B.【方法技巧与总结】（1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”．题型二：函数图象与导函数图象的关系例4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】对于不等式对，当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．综上，原不等式的解集为．故选：A例5．(2023·吉林·长春市第五中学高二期中）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；当时，,函数单调递减；当时，,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.例6．(2023·全国·高二单元测试）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（

）．A． B．C． D．答案：A【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，当时，单调递增，则在上增的越来越快，当时，单调递减，则在上增的越来越慢，当时，单调递减，则在上减的越来越快，当时，单调递增，则在上减的越来越慢，只有A选项符合.故选：A.变式4．(2023·山东德州·高二期末）函数的部分图像可能是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】对求导得恒成立,故在上单调递增，A正确.故选：A.变式5．(2023·广东广州·高二期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】设导函数与横轴的交点为，设，由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，由此可以确定选项C符合，故选：A变式6．(2023·浙江·宁波市李惠利中学高二期中）函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】的解集即为单调递增区间结合图像可得单调递增区间为则的解集为故选：C．【方法技巧与总结】（1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性．（2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大．题型三：已知单调性求参数的取值范围例7．(2023·江西·上高二中高二阶段练习（文））若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．例8．(2023·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.例9．(2023·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以即，故选：A.变式7．(2023·广东东莞·高二期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）答案：B【解析】，由题意得：，即在上恒成立，因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.故选：B变式8．(2023·天津一中高二期中）已知函数的单调递减区间是，则（

）A．3 B． C．2 D．答案：B【解析】函数，则导数令，即，∵，的单调递减区间是，∴0，4是方程的两根，∴，，∴故选：B.变式9．(2023·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由可得：.因为函数在区间内存在单调递增区间，所以在上有解，即在上有解.设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.所以.故选：D变式10．(2023·福建·莆田一中高二期中）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为在区间上不是单调函数，所以在区间上有解，即在区间上有解．令，则．当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增．又因为，且当时，所以在区间上单调递增，所以，解得.故选：A变式11．(2023·全国·高二课时练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由题设，，由存在递减区间，即存在使，∴，可得或.故选：B变式12．(2023·新疆·霍城县第二中学高二期中（文））已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】详因为，令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，则区间（2m，m+1）是区间的子区间，所以，求解不等式组可得：，解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.故选：D变式13．(2023·全国·高二专题练习（理））若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．(1，2] D．[1，2)答案：A【解析】显然函数的定义域为，．由，得函数的单调递增区间为；由，得函数单调递减区间为．因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即．综上可知实数k的取值范围是．故选：A变式14．(2023·山东省东明县第一中学高二阶段练习）函数是上的单调函数，则的范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D【方法技巧与总结】（1）利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即（或）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．②先令（或），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时是否满足题意．（2）理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．题型四：判断、证明函数的单调性例10．(2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理））已知，且(1)求实数的值；(2)判断此函数的奇偶性并证明；(3)判断此函数在的单调性（无需证明）.【解析】（1）由，解得（2）为奇函数.证明：由（1）得，则，为奇函数（3）∵，∴在上单调递增例11．(2023·江苏·高二课时练习）用导数证明：(1)在区间上是增函数；(2)在区间上是减函数．【解析】(1)∵在R上恒成立，故在区间上是增函数；(2)在上恒成立，∴在区间上是减函数．例12．(2023·全国·高二专题练习）证明：(1)函数在定义域上是减函数；(2)函数在区间上是增函数．【解析】(1)证明：函数的定义域为，则对任意的恒成立，故函数在定义域上是减函数.(2)证明：对任意的，，故函数在区间上是增函数.变式15．(2023·江苏·高二专题练习）证明函数是R上的增函数．【解析】，因为，所以，则恒成立，所以函数是R上的增函数变式16．(2023·全国·高二课时练习）证明函数在区间上单调递减．【解析】因为，所以，当时，，所以函数在区间上单调递减．【方法技巧与总结】判断、证明函数的单调性的步骤：1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号，下结论．题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数例13．(2023·贵州六盘水·高二期末（文））已知函数.讨论的单调性；【解析】的定义域为，且，当时，成立，所以在上单调递增；当时，当时，成立，所以在上为增函数；当时，，所以在上为减函数.综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.例14．(2023·浙江·镇海中学高二期中）已知函数，其中.讨论函数的单调性；【解析】,当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，，解得，当，当，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上，时，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.例15．(2023·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）已知函数．求函数的单调区间；【解析】由，得，当时，，则在上递减，所以的减区间为，无增区间，当时，令，得，所以当时，；当时，，所以的减区间为，增区间为，综上，当时，的减区间为，无增区间，当时，的减区间为，增区间为；情形二：函数为准一次函数变式17．(2023·全国·模拟预测（文））设函数，其中．当时，求函数的单调区间；【解析】，．当时，恒成立，则在上为减函数，当时，令，可得，则，解得，令，解得，综上，当时，的减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．变式18．(2023·江苏·华罗庚中学三模）已知函数，（为自然对数的底数，）．求函数的单调区间；【解析】函数的定义域为，，①当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；②当时，由可得，由可得，此时函数的单调递增区间为，递减区间为；综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；变式19．(2023·云南师大附中模拟预测（理））已知函数，其中．讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，．当时，由于在上单调递增，所以至多有一解；又，则当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．变式20．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数．讨论的单调性；【解析】函数的定义域为，．令，解得，则有当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．情形三：函数为二次函数型1、可因式分解变式21．(2023·河南·睢县高级中学高二阶段练习（理））已知函数.(1)当时，求曲线在点的切线方程；(2)讨论函数的单调性.【解析】（1）由，则，，，，切线方程：，则.（2）由，求导得，①当时，，，解得，，解得，则：单减区间：，单增区间：；②当时，令，解得或（舍去）当时，，当时，，则：单减区间：，单增区间：；③当时，令，解得或，当时，，当时，，则：单减区间：和，单增区间：；④当时，，则：单减区间：；⑤当时，令，解得或，当时，，当时，，则：单减区间：和，单增区间：；综上，当时，单减区间：，单增区间：当时，单减区间：和，单增区间：当时，单减区间：当时，单减区间：和，单增区间：.变式22．(2023·全国·高二课时练习）求函数的单调区间.【解析】因为，所以.由，解得x＝0或x＝2a.当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；当时，当时，；当时，，所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；当时，当时，；当时，，所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.变式23．(2023·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【解析】（1）当时，，，∴，又，∴曲线在处的切线方程为；（2）因为.当时，在上为增函数；当时，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，当时，，当时，有，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.变式24．(2023·浙江省江山中学模拟预测）函数．讨论函数的单调性；【解析】函数，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，此时单调递减，令，此时单调递增．综上可得：当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为．变式25．(2023·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数．讨论函数的单调性；【解析】若时，，在上单调递增；若时，，当或时，，为增函数，当时，，为减函数，若时，，当或时，，为增函数，当时，，为减函数．综上，时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减．变式26．(2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；【解析】函数的定义域为则：当，时，恒成立，所以单调递减；当时，令，解得或（舍去），令，，令，所以在上单调递减；上单调递增．综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（0，）变式27．(2023·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））已知函数（）.(1)，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.【解析】（1）时，，，切线的斜率，则切线方程为；（2）函数的定义域为，且，①当时，，由，得；由，得则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.②当，即时，由，得或；由，得.则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.④当，即时，由，得或；由，得，则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.2、不可因式分解型变式28．(2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；【解析】由得，函数的定义域为，且，令，即，①当，即时，恒成立，在单调递增；②当，即时，令，当时，，的解或，故在上单调递增，在上单调递减；当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．变式29．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，试讨论的单调区间.【解析】解析：因为，所以，令.①当a＝0时，，，所以的单调递增区间为R，无单调递减区间.②当时，.（i）当时，，令，得，，且，所以当或时，，，当时，，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间；（ii）当时，，所以，，所以的单调递增区间为R，无单调递减区间.综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间.【方法技巧与总结】1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3、利用草稿图像辅助说明．情形四：函数为准二次函数型变式30．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数．讨论的单调性；【解析】由题，①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；②当时，令则，：当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；当，即时，，单调递增；当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减变式31．(2023·全国·二模（理））已知函数．讨论的单调性；【解析】设．当时，则，在R上单调递增，当时，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．变式32．(2023·北京·高二期末）若函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)判断方程解的个数，并说明理由；(3)当，设，求的单调区间.【解析】（1）因为，所以，所以，则，所以切点坐标为，切线的斜率，所以切线方程为.（2）因为，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则仅有一个实数解；（3）当时，，，则，令，解得或，当时，，此时令，解得或，令，解得，故的单调递增区间为：，，单调递减区间为，当时，令时，解得或，令时，解得，故的单调递增区间为、，单调递减区间为．当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间．综上所述：当时，的单调递增区间为：，，单调递减区间为，当时，单调递增区间为、，单调递减区间为．当时，单调递增区间为，无单调递减区间．变式33．(2023·浙江·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；【解析】定义域为R，，当时，恒成立，在R上单调递减，当时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在R上单调递减，当时，则在上单调递减，在上单调递增．【方法技巧与总结】（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【同步练习】一、单选题1．(2023·四川·仁寿一中高二期中（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A．或或 B．或C． D．不存在这样的实数答案：B【解析】，令，解得，或，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，即函数极值点为，若函数在区间上不是单调函数，则或，所以或，解得或故选：B．2．(2023·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，由可得，即，所以只需，方程在上有两个不同的实数根.故选：A.3．(2023·湖南·新邵县教研室高二期末（文））设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取得，所以．故选：D．4．(2023·湖南·新邵县教研室高二期末（理））已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为，所以，即函数单调递增，由可得，，解得．故选：D．5．(2023·山东泰安·高二期末）已知函数是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意在R上恒成立，即恒成立.又，故.故选：D6．(2023·全国·高二单元测试）已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为可化为，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，因为，所以，所以，所以，即不等式的解集为．故选：A．7．(2023·贵州六盘水·高二期末（理））判断中最大的数为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，在单调递减；因为，所以，即，所以，，，所以，，，所以，，，又在都单调递增，所以，所以中最大的数为，故选：D8．(2023·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】设，则，当得：，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，又，所以，即c<a<b．故选：D．二、多选题9．(2023·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知函数，则（

）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为D．是奇函数答案：AC【解析】对A：，定义域为，则，由都在单调递增，故也在单调递增，又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，故只有一个零点，B错误；对C：，根据导数几何意义可知，C正确；对D：定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.故选：AC.10．(2023·全国·高二课时练习）设函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域是B．当时，的图象位于x轴下方C．存在单调递增区间D．有两个单调区间答案：BC【解析】由，得且，所以函数的定义域为，所以A不正确.当时，，，所以，所以当时，的图象位于x轴下方，所以B正确.，令，则，所以函数单调递增，，故存在，使得，则函数只有一个根，当和时，，函数单调递减，当时，