人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题05三角形难点题型总复习(原卷版+解析)

专题05三角形难点题型总复习◎题型一三角形三边关系的应用1．(2023·安徽合肥·八年级期末）已知的三边长分别为，，8．(1)求的取值范围；(2)如果是等腰三角形，求的值．2．(2023·全国·八年级专题练习）已知a，b，c分别为的三边，且满足，．(1)求c的取值范围；(2)若的周长为12，求c的值．3．(2023·黑龙江省八五五农场学校八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，则BC是多少？4．（2023·江西宜春·八年级期中）已知△ABC三条边的长分别为：a+3，3a+1，a+5（a为正整数）．（1）若△ABC是等腰三角形，求它的三边的长；（2）若△ABC的三条边都不相等，求a的最小值．◎题型二：三角形中线的应用1．（2023·山西忻州·八年级期末）已知，在等边三角形中，为边上的高.操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由；拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由.2．（2023·全国·八年级单元测试）（1）在中，，，，，，，，则的周长为______.（2）如图①，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于______.

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②（3）如②图，三角形的面积为1，点是的中点，点是的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则四边形的面积为______.3．（2023·全国·八年级专题练习）操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为.拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为.4．（2023·安徽·八年级期中）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．◎题型三三角形的角有关难点1．(2023·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)关于“准直角三角形”，下列说法：①在中，若，，，则是准直角三角形；②若是“准直角三角形”，，，则；③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是．（填写所有正确结论的序号）(2)如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”．(3)如图②，、为直线上两点，点在直线外，且．若是上一点，且是“准直角三角形”，请直接写出的度数．2．(2023·全国·八年级专题练习）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；解：（1）结论：∠A2＝度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠，∠2＝∠1+∠（），（完成以下说理过程）(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）3．(2023·全国·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究(1)如图（1），已知，小宋把三角板的直角顶点放在直线上．若，直接写出的度数；若，直接写出的度数（用含的式子表示）．(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．4．(2023·全国·八年级课时练习）阅读并解决下列问题：（1）如图①，中，，、的平分线交于点D，则______．（2）如图②，五边形中，，EF平分，平分，若，求的度数．图①

图②专题05三角形难点题型总复习◎题型一三角形三边关系的应用1．(2023·安徽合肥·八年级期末）已知的三边长分别为，，8．(1)求的取值范围；(2)如果是等腰三角形，求的值．答案：(1)2<m<10；(2)6或4【解析】分析：（1）根据三角形的三边关系列不等式组求解；（2）分m+2=2m，m+2=8，2m=8三种情况，分别讨论即可求解．(1)解：由题意得，解得2<m<10；(2)解：当m+2=2m时，解得m=2（不和题意，舍去）；当m+2=8时，解得m=6，符合题意；当2m=8时，解得m=4，符合题意；∴如果是等腰三角形，的值为6或4．【点睛】此题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，熟记三角形三边关系是解题的关键．2．(2023·全国·八年级专题练习）已知a，b，c分别为的三边，且满足，．(1)求c的取值范围；(2)若的周长为12，求c的值．答案：(1)2<c<6(2)3.5【解析】分析：（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c-2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c-6|＜c，列不等式组求解即可；（2）由△ABC的周长为12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．(1)∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，∴，解得：2<c<6．故c的取值范围为2<c<6；(2)∵△ABC的周长为12，a+b=3c-2，∴a+b+c=4c-2=12，解得c=3.5．故c的值是3.5．【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．3．(2023·黑龙江省八五五农场学校八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，则BC是多少？答案：1【解析】分析：由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=6，从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系即可求出底边．【详解】解：如图所示：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，∵BD将三角形周长分为15和6两部分，∴可知分为两种情况：当AB+AD=15，即3x=15时，解得x=5，此时BC=6-x=1，故三角形ABC三边长为10，10，1，能构成三角形；当AB+AD=6，即3x=6时，解得x=2；此时BC=15-x=13，故三角形ABC三边长为4，4，13，不能构成三角形；∴BC的长为1．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，注意求出的结果一定要检验是否符合三角形三边性质，分类讨论是正确解答本题的关键．4．（2023·江西宜春·八年级期中）已知△ABC三条边的长分别为：a+3，3a+1，a+5（a为正整数）．（1）若△ABC是等腰三角形，求它的三边的长；（2）若△ABC的三条边都不相等，求a的最小值．答案：（1）等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；（2）a的最小值为3．【解析】分析：（1）由于a+3≠a+5，所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①a+3=3a+1；②a+5=3a+1．求出a的值后，根据三角形三边关系即可求解；（2）根据三角形三边关系列出关于a的不等式组求出a的范围，再根据三角形的三条边都不相等，且为正整数可求a的最大值．【详解】解：（1）①如果a+3=3a+1，解得a=1，三角形三边的长为4，4，6，符合三角形三边关系；②如果a+5=3a+1，解得a=2，三角形三边的长为5，7，7，符合三角形三边关系．综上所述，等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；（2）a的最小值为3．由三角形三边关系知，，解得＜a＜7，∵三角形的三条边都不相等，∴a+3≠3a+1，a+5≠3a+1，∴a≠1，a≠2，∴＜a＜7且a≠1，a≠2，∵a为正整数，∴a的最小值为3．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，一元一次不等式组的解法，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系．◎题型二：三角形中线的应用1．（2023·山西忻州·八年级期末）已知，在等边三角形中，为边上的高.操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由；拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由.答案：（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析.【解析】分析：(1)根据三角形的面积公式计算即可证明.(2)由题意可得∠BAD=∠CAD=30°,利用30°直角三角形所对的边是斜边的一半,即可得出,即可推出.(3)连接,由题意得:,利用三角形的面积公式即可证.【详解】（1）.根据三角形的面积公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD即:∵△ABC是等边三角形,即:AB=AC=BC,∴.（2）理由如下：∵为等边三角形∴∵为边上的高∴又∵，，∴∴（3）理由如下：如图，连接，∵为等边三角形，∴∵为边上的高，∴∵，，，垂足分别为，∴∴∴【点睛】本题考查三角形的综合知识,关键在于灵活利用面积公式.2．（2023·全国·八年级单元测试）（1）在中，，，，，，，，则的周长为______.（2）如图①，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于______.

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②（3）如②图，三角形的面积为1，点是的中点，点是的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则四边形的面积为______.答案：（1）36（2）2（3）【解析】分析：(1)利用三角形面积公式，求出AB、AC的长，再计算三角形的周长即可；(2)设在边上的高为，则，根据线段中点的定义以及线段的和差得出，继而再根据三角形面积公式进行求解即可；(3)设，，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而得，，，，，，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x、y的方程，求出x、y的值即可求得答案.【详解】(1)，∴，即，∴，，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=36；(2)设在边上的高为，则，∵为中点，∴，∵为中点，∴，∴，∴；(3)设，，∵点，分别是，的中点，，∴，∴，，，∴，即，解得，又，，，∴，得，故.【点睛】本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．3．（2023·全国·八年级专题练习）操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为.拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为.答案：解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5【解析】【详解】试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．试题解析：解：解决问题连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，∴S△ADE=2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．拓展延伸：解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积=S2，∴S1=2S2．（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．4．（2023·安徽·八年级期中）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．答案：（1）＝；（2），20；（3）S四边形ADOE＝13．理由见解析．【解析】分析：（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论；（2）利用题干所给解答方法解答即可；（3）连接AO，利用（2）中的方法，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝CD，∴，，∴S△ABD＝S△ACD，故答案为：＝；（2）解方程组得，∴S△AOD＝S△BOD＝10，∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，故答案为：，20；（3）如图3，连接AO，∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，可列方程组为：，解得：，∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝13．【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了三角形的面积公式，等底同高的三角形面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比，二元一次方程组的解法．本题是阅读型题目，准确理解题干中的方法并正确应用是解题的关键．◎题型三三角形的角有关难点1．(2023·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)关于“准直角三角形”，下列说法：①在中，若，，，则是准直角三角形；②若是“准直角三角形”，，，则；③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是．（填写所有正确结论的序号）(2)如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”．(3)如图②，、为直线上两点，点在直线外，且．若是上一点，且是“准直角三角形”，请直接写出的度数．答案：(1)①(2)证明见解析(3)当，，，时，满足条件【解析】分析：（1）只要证明，即可判断．（2）根据“准直角三角形”的定义即可判断．（3）根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．(1)①，，，是“准直角三角形”．故①正确．②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，，三角形的第三个角大于，由已知得又，故②错误，③正确．②中已经证明．故答案为①③．(2)在中，，，是的角平分线，，，是“准直角三角形”．(3)如图②中，当，，，时，满足条件，是“准直角三角形”．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．2．(2023·全国·八年级专题练习）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；解：（1）结论：∠A2＝度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠，∠2＝∠1+∠（），（完成以下说理过程）(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）答案：(1)34；角平分线的定义；A1；A2，过程见解析(2)17°(3)【解析】分析：（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；（2）根据（1）的解法即可直接求解∠A3的度数；（3）利用（1）的结论找到规律，求解即可．(1)解：结论：∠A2＝34度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分线的意义）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），所以∠A2＝∠A1，因为∠A1＝68°，所以∠A2＝34°，故答案为：34；角平分线的定义；A1；A2．(2)解：∠A3＝17°，理由如下：由（1）得：∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∴∠A3＝∠A1=17°．(3)解：∠An＝，理由如下：由（1）中结论知，∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∠A3＝2∠A4，…，∴∠A1＝∠An，∴∠An＝．【点睛】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解题关键是解决（1）后利用其结论解答．3．(2023·全国·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究(1)如图（1），已知，小宋把三角板的直角顶点放在直线上．若，直接写出的度数；若，直接写出的度数（用含的式子表示）．(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直