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文档简介
突破3概率、统计与其他学问的综合1.[命题点1/2024石家庄市三检]国家在《中小学生健康体检管理方法(2024年版)》中规定:中小学校每年组织1次在校学生健康体检.现某学校有4000名学生,假设携带乙肝病毒的学生占m%,某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者,假如对每个人的血样逐一化验,就须要化验4000次.为减轻化验工作量,统计专家给出了一种化验方法:随机依据k个人进行分组,将各组k个人的血样混合再化验,假如混合血样呈阴性,说明这k个人全部阴性;假如混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若m=0.4,记每人血样化验次数为X,求当k取何值时,X的数学期望最小,并求此时化验总次数.(2)若m=0.8,设每人血样单独化验一次费用5元,k个人混合化验一次费用(k+4)元.求当k取何值时,每人血样化验费用的数学期望最小,并求此时化验总费用.参考数据及公式:10≈3.16,(1+x)n≈1+nx(n∈N*,n≥2,|x|≤0.01).解析(1)由题意知,若混合血样呈阴性,则X=1k,P(X=1k)=0.996k,若混合血样呈阳性,则X=1k+1,P(X=1k+1)=1所以E(X)=1k×0.996k+(1+1k)×(1-0.996k)=1+1k-0.996k=1+1k-(1-0.004)k≈1令f(x)=1x+0.004x,则f'(x)=0.004-1x2,当x∈(0,510)时,f'(x)<0,当x∈(510,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,510)上单调递减,在(5因为k∈N*,(留意k取正整数)510≈5×3.16=15.8,且f(15)=115+0.004×15≈0.1267,f(16)=116+0.004×16=所以当k=16时,E(X)取得最小值,且E(X)的最小值为0.1265.所以当k取16时,每人血样化验次数X的数学期望最小,此时化验总次数为4000(2)设每组k人时,每组化验总费用为Y元,若混合血样呈阴性,则Y=k+4,若混合血样为阳性,则Y=6k+4,且P(Y=k+4)=0.992k,P(Y=6k+4)=1-0.992k,所以E(Y)=(k+4)×0.992k+(6k+4)(1-0.992k)=6k-5k×0.992k+4.每个人血样的化验费用为E(Y)k=6-5×0.992k+4k=6-5×(1-0.008)k+4k≈6-5×(1-0.008k)+4k=1+0.04k+4k当且仅当0.04k=4k,即k=10时取等号,所以当k取10时,每人血样化验费用的数学期望最小,此时化验总费用为4000×1.8=7200(元)2.[命题点2/2024南京市二模]进行独立重复试验,设每次胜利的概率为p(0<p<1),失败的概率为1-p,将试验进行到恰好出现r次胜利时结束试验,以X表示试验次数,则称X听从以r,p为参数的帕斯卡分布或负二项分布,记为X~NB(r,p).(1)若X~NB(3,13),求P(X=5)(2)若X~NB(2,12),n∈N*,n≥①求∑i=2nP(X②要使得在n次内结束试验的概率不小于34,求n的最小值解析(1)因为X~NB(3,13X=5表示做了5次试验,前4次中有2次胜利,第5次也胜利,所以P(X=5)=C42(1-13)2×(13)3=6×49(2)①解法一P(X=i)=Ci-11×(1-12)i-2×(12)2=(i-1)记S=∑i=2nP(X=i)=1×(12)2+2×(12)3+…+(n-1)×(12)n,则12S=1×(12)3+2×(12)4+…+(n-1)×(12)n+1,两式相减,得12S=(12)2+(12)3+…+(12)=(12)2[1-(12)n-1=12-(12)n-(n-1)×(12)=2n所以S=2n-n-12n,即∑i=2解法二∑i=2nP(X=i)=P(X≤n),事务“X≤n”的对立事务为“n次试验中,胜利了0次或1“n次试验中,胜利了0次”的概率p1=(1-12)n=1“n次试验中,胜利了1次”的概率p2=Cn1×(1-12)n-1×1所以P(X≤n)=1-12n-n2即∑i=2nP(X=i)②n次内结束试验的概率为P(X≤n),即∑i=2nP(X=i)=2n
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