备考2025届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破3概率统计与其他知识的综合

突破3概率、统计与其他学问的综合1.[命题点1/2024石家庄市三检]国家在《中小学生健康体检管理方法（2024年版）》中规定：中小学校每年组织1次在校学生健康体检.现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m％，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，假如对每个人的血样逐一化验，就须要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机依据k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，假如混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；假如混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.（1）若m＝0.4，记每人血样化验次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求此时化验总次数.（2）若m＝0.8，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用（k＋4）元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求此时化验总费用.参考数据及公式：10≈3.16，（1＋x）n≈1＋nx（n∈N*，n≥2，｜x｜≤0.01）.解析（1）由题意知，若混合血样呈阴性，则X＝1k，P（X＝1k）＝0.996k，若混合血样呈阳性，则X＝1k＋1，P（X＝1k＋1）＝1所以E（X）＝1k×0.996k＋（1＋1k）×（1－0.996k）＝1＋1k－0.996k＝1＋1k－（1－0.004）k≈1令f（x）＝1x＋0.004x，则f'（x）＝0.004－1x2，当x∈（0，510）时，f'（x）＜0，当x∈（510，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，510）上单调递减，在(5因为k∈N*，（留意k取正整数）510≈5×3.16＝15.8，且f（15）＝115＋0.004×15≈0.1267，f（16）＝116＋0.004×16＝所以当k＝16时，E（X）取得最小值，且E（X）的最小值为0.1265.所以当k取16时，每人血样化验次数X的数学期望最小，此时化验总次数为4000（2）设每组k人时，每组化验总费用为Y元，若混合血样呈阴性，则Y＝k＋4，若混合血样为阳性，则Y＝6k＋4，且P（Y＝k＋4）＝0.992k，P（Y＝6k＋4）＝1－0.992k，所以E（Y）＝（k＋4）×0.992k＋（6k＋4）（1－0.992k）＝6k－5k×0.992k＋4.每个人血样的化验费用为E（Y）k＝6－5×0.992k＋4k＝6－5×（1－0.008）k＋4k≈6－5×（1－0.008k）＋4k＝1＋0.04k＋4k当且仅当0.04k＝4k，即k＝10时取等号，所以当k取10时，每人血样化验费用的数学期望最小，此时化验总费用为4000×1.8＝7200（元）2.[命题点2/2024南京市二模]进行独立重复试验，设每次胜利的概率为p（0＜p＜1），失败的概率为1－p，将试验进行到恰好出现r次胜利时结束试验，以X表示试验次数，则称X听从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为X～NB（r，p）.（1）若X～NB（3，13），求P（X＝5）（2）若X～NB（2，12），n∈N*，n≥①求∑i=2nP（X②要使得在n次内结束试验的概率不小于34，求n的最小值解析（1）因为X～NB（3，13X＝5表示做了5次试验，前4次中有2次胜利，第5次也胜利，所以P（X＝5）＝C42（1－13）2×（13）3＝6×49（2）①解法一P（X＝i）＝Ci－11×（1－12）i－2×（12）2＝（i－1）记S＝∑i=2nP（X＝i）＝1×（12）2＋2×（12）3＋…＋（n－1）×（12）n，则12S＝1×（12）3＋2×（12）4＋…＋（n－1）×（12）n＋1，两式相减，得12S＝（12）2＋（12）3＋…＋（12）＝（12）2[1－（12）n－1＝12－（12）n－（n－1）×（12）＝2n所以S＝2n－n－12n，即∑i=2解法二∑i=2nP（X＝i）＝P（X≤n），事务“X≤n”的对立事务为“n次试验中，胜利了0次或1“n次试验中，胜利了0次”的概率p1＝（1－12）n＝1“n次试验中，胜利了1次”的概率p2＝Cn1×（1－12）n－1×1所以P（X≤n）＝1－12n－n2即∑i=2nP（X＝i）②n次内结束试验的概率为P（X≤n），即∑i=2nP（X＝i）＝2n