2024版高考数学微专题小练习专练40空间几何体的表面积和体积理含解析

Page8专练40空间几何体的表面积和体积命题范围：空间几何体的表面积与体积．[基础强化]一、选择题1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π2．[2024·全国甲卷(理)，4]如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A．8B．12C．16D．203．已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A．1－eq\f(π,4)B．3＋eq\f(π,2)C．2＋eq\f(π,4)D．44．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π5．[2024·江西省南昌市高三模拟]圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好沉没了玻璃球，则玻璃球的半径为()A．eq\f(20,3)cmB．15cmC．10eq\r(3)cmD．20cm6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的全部内接圆柱中，全面积的最大值是()A．2πR2B．eq\f(9,4)πR2C．eq\f(8,3)πR2D．eq\f(3,2)πR27．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为()A．8＋eq\f(4\r(3)π,3)B．8＋eq\f(2\r(3)π,3)C．4＋eq\f(4\r(3)π,3)D．4＋eq\f(8\r(3)π,3)8．[2024·全国乙卷(理)，9]已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A．eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(2),2)9．[2024·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为()A．eq\f(\r(,2),12)B．eq\f(\r(,3),12)C．eq\f(\r(,2),4)D．eq\f(\r(,3),4)二、填空题10．[2024·全国卷Ⅲ]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．11．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB相互垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．12．[2024·安徽省高三联考]在三棱锥P­ABC中，侧棱PA＝PB＝PC＝eq\r(10)，∠BAC＝eq\f(π,4)，BC＝2eq\r(2)，则此三棱锥外接球的表面积为________.[实力提升]13．[2024·全国甲卷(理)，9]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面绽开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，则eq\f(V甲,V乙)＝()A．eq\r(5)B.2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)14．[2024·江西省赣州市一模]在半径为2的球O的表面上有A，B，C三点，AB＝2eq\r(2).若平面OAB⊥平面ABC，则三棱锥O­ABC体积的最大值为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(4\r(2),3)15．[2024·安徽省高三一模]半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为V1的二十四等边体，其外接球体积为V2，则eq\f(V2,V1)＝________．16．[2024·江西省高三质量监测]如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在面AA1B1B内，记PD，PC与平面DD1C1C所成角分别为α、β，且tanβ＝3tanα，则四棱锥P­AB1C1D体积的最小值是________．专练40空间几何体的表面积和体积1．B设圆柱的底面半径为r，由题意得高h＝2r，∴(2r)2＝8，得r＝eq\r(2)，∴S圆柱表＝2πr2＋2πrh＝4π＋8π＝12π.2．B如图，将三视图还原成直观图．该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，AA1＝2.所以底面面积S＝eq\f(（2＋4）×2,2)＝6，设该直四棱柱的高为h，则该几何体的体积V＝Sh＝6×2＝12.故选B.3．D由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去一个以1为底面圆的半径，高为1的圆柱的eq\f(1,4)，如图所示，故其表面积S＝1×1＋1×1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×1－\f(π,4)))＋eq\f(2π,4)×1＝1＋1＋2－eq\f(π,2)＋eq\f(π,2)＝4.4．C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示．由于V圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，V圆锥＝eq\f(1,3)π·CE2·DE＝eq\f(1,3)π×12×(2－1)＝eq\f(π,3)，所以该几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).5．B由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积．设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r，则玻璃球的体积为eq\f(4πr3,3)，圆柱的底面面积为πr2,若放入一个玻璃球后，水恰好沉没了玻璃球，则此时水面高度为2r，所以eq\f(4πr3,3)＝πr2(2r－10)，解得r＝15(cm).6．B设内接圆柱的底面半径为r(0<r<R)，母线长为h，则eq\f(r,R)＝eq\f(3R－h,3R)，即h＝3R－3r，则该圆柱的全面积为S＝2πr(r＋3R－3r)＝2π(－2r2＋3Rr)，因为S＝2π(－2r2＋3Rr)＝2πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2（r－\f(3R,4)）2＋\f(9R2,8)))，所以当r＝eq\f(3R,4)时，内接圆柱的全面积的最大值为eq\f(9,4)πR2.7．A8．C设四棱锥的底面为四边形ABCD.设四边形ABCD的外接圆圆心为O′，半径为r.S四边形ABCD＝S△AO′B＋S△AO′D＋S△BO′C＋S△CO′D＝eq\f(1,2)r2sin∠AO′B＋eq\f(1,2)r2sin∠AO′D＋eq\f(1,2)r2sin∠BO′C＋eq\f(1,2)r2sin∠CO′D＝eq\f(1,2)r2(sin∠AO′B＋sin∠AO′D＋sin∠BO′C＋sin∠CO′D).因为∠AO′B＋∠AO′D＋∠BO′C＋∠CO′D＝2π，且当θ＝eq\f(π,2)时，sinθ取最大值1，所以当∠AO′B＝∠AO′D＝∠BO′C＝∠CO′D＝eq\f(π,2)时，S四边形ABCD最大，即当四棱锥O－ABCD的底面为正方形时，四棱锥O－ABCD的体积取得最大值．设AB＝a(a>0)，则正方形ABCD的外接圆的半径r＝eq\f(\r(2),2)a，四棱锥O－ABCD的高h＝eq\r(1－\f(1,2)a2)，则1－eq\f(1,2)a2>0，解得0<a<eq\r(2)，所以VO－ABCD＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\r(a4－\f(1,2)a6).令f(x)＝x4－eq\f(1,2)x6(0<x<eq\r(2))，则f′(x)＝4x3－3x5＝x3(4－3x2).当x∈(0，eq\f(2\r(3),3))时，f′(x)>0；当x∈(eq\f(2\r(3),3)，eq\r(2))时，f′(x)<0.所以f(x)在(0，eq\f(2\r(3),3))上单调递增，在(eq\f(2\r(3),3)，eq\r(2))上单调递减．当x2＝eq\f(4,3)时，f(x)取得极大值，也是最大值，即VO－ABCD取得最大值，此时四棱锥O－ABCD的高h＝eq\r(1－\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(3),3).故选C.9．A如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝eq\r(2).连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝eq\r(1－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，所以三棱锥O－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC×OO1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).10.eq\f(\r(2)π,3)解析：如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图．其中球心为O，设其半径为r，AC＝3，O1C＝1，∴AO1＝eq\r(AC2－O1C2)＝2eq\r(2).∵OO1＝OM＝r，∴AO＝AO1－OO1＝2eq\r(2)－r，又∵△AMO∽△AO1C，∴eq\f(OM,O1C)＝eq\f(AO,AC)，即eq\f(r,1)＝eq\f(2\r(2)－r,3)，故3r＝2eq\r(2)－r，∴r＝eq\f(\r(2),2).∴该圆锥内半径最大的球的体积V＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2)π,3).11．8π解析：由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得eq\f(1,2)l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故该圆锥的体积V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.12.eq\f(50π,3)解析：因为PA＝PB＝PC＝eq\r(10)，所以点P在底面ABC的射影为△ABC的外心O1，所以球心O在直线PO1上，设三棱锥外接球的半径为R，因为2AO1＝eq\f(2\r(2),sin\f(π,4))，所以AO1＝2，PO1＝eq\r(6)，由AO2＝OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))可得，R2＝(eq\r(6)－R)2＋4，解得R＝eq\f(5,\r(6))，故此三棱锥外接球的表面积为4πR2＝4π×eq\f(25,6)＝eq\f(50π,3).13．C设甲、乙两个圆锥的母线长都为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2.因为两圆锥的侧面绽开图的圆心角之和为2π，所以eq\f(2πr1,l)＋eq\f(2πr2,l)＝2π，则r1＋r2＝l.又eq\f(S甲,S乙)＝2，所以πr1l＝2πr2l，所以r1＝2r2，所以r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l，所以h1＝eq\r(l2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)l))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),3)l，h2＝eq\r(l2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)l))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))h1,\f(1,3)πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))h2)＝eq\f(\f(4,9)l2·\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2·\f(2\r(2),3)l)＝eq\r(10).故选C.14．B作出如图三棱锥O­ABC，OA＝OB＝OC＝2，取AB中点D，连接DC，DO，则OD⊥AB，又平面OAB⊥平面ABC，平面OAB∩平面ABC＝AB，OD⊂平面OAB，所以OD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，则OD⊥CD，又AB＝2eq\r(2)，OA2＋OB2＝AB2，所以OD＝eq\r(2)，OA⊥OB，所以CD＝eq\r(22－（\r(2)）2)＝eq\r(2)＝eq\f(1,2)AB，所以AC⊥BC，S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2，要使三棱锥O­ABC体积最大，则C到平面OAB的距离h最大，明显h≤CD，当CD⊥AB时，平面OAB∩平面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面OAB，此时h＝CD＝eq\r(2)，为最大值，Vmax＝eq\f(1,3)×2×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3).15.eq\f(2\r(2)π,5)解析：设该半多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，其体积V1＝2×2×2－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(20,3)；由二十四等边体的对称性可知，如图所示，其外接球的球心即为正方体中心O，半径为中心到一个顶点的距离，则R＝eq\r(OA2＋AB2)＝eq\r(1＋1)＝