第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第02讲玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【题型归纳目录】题型一：异面直线所成的角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题题型五：体积问题【知识点梳理】知识点1、求点线、点面、线面距离的方法(1)若P是平面SKIPIF1<0外一点，a是平面SKIPIF1<0内的一条直线，过P作平面SKIPIF1<0的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2、异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设(2)所求角大小为θ．若SKIPIF1<0，则θ即为所求；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为所求．知识点3、直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．知识点4、作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则SKIPIF1<0为二面角的平面角或其补角．如图③，SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角．知识点5、求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解．【典例例题】题型一：异面直线所成的角例1．如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的大小是(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小为(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的弧度数为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：线面角例4．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，底面ABCD是矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；例5．如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成的角．例6．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面是棱长为SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．题型三：二面角例7．)如图，在多面体SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)在线段AC上是否存在点F，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角的正切值.例8．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形．

(1)若点E是PD的中点，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正切值．例9．如图，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0翻折，使SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，且SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)作出二面角SKIPIF1<0的平面角，并求其大小.例10．四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为AD的中点，F为PC中点．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角SKIPIF1<0的正弦值．题型四：距离问题例11．在斜三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，侧棱SKIPIF1<0，顶点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影为SKIPIF1<0边的中点SKIPIF1<0．

求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．例12．在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离．例13．在直角梯形SKIPIF1<0中(如图一)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0(如图二).

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，求点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离.题型五：体积问题例14．)校联考阶段练习)如图，在正四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点．

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求该四棱锥被平面SKIPIF1<0所截得的两部分体积之比SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．例15．如图，三棱柱SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．例16．如图，在正四棱锥SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0中点.

(1)求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)三棱锥SKIPIF1<0的体积.例17．如图，三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．【过关测试】一、多选题1．如图SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别为圆台上下底面直径，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则(

)

A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为SKIPIF1<0B．圆台的全面积为SKIPIF1<0C．圆台的外接球(上下底面圆周都在球面上)的半径为SKIPIF1<0D．从点SKIPIF1<0经过圆台的表面到点SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<02．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为四边形，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则(

)

A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<03．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点C在底面圆周上，且二面角SKIPIF1<0为45°，则(

)．A．该圆锥的体积为SKIPIF1<0 B．该圆锥的侧面积为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<04．如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则下列选项中正确的有(

)

A．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的正弦为SKIPIF1<0B．二面角SKIPIF1<0的平面角的正切值为SKIPIF1<0C．正方体的外接球体积为SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0与三棱锥SKIPIF1<0体积相等二、单选题5．在二面角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则二面角SKIPIF1<0的余弦值为(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如图，矩形ABCD中，SKIPIF1<0，正方形ADEF的边长为1，且平面SKIPIF1<0平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．如图所示，四棱锥SKIPIF1<0的底面为正方形，SKIPIF1<0平面ABCD，则下列结论中不正确的是(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SCDC．直线SA与平面SBD所成的角等于SKIPIF1<0D．直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.三、填空题9．如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点A到平面SKIPIF1<0距离是______．

10．在四棱锥SKIPIF1<0中，所有侧棱长都为SKIPIF1<0，底面是边长为SKIPIF1<0的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________11．已知直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为________.12．在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的弧度数为_____________．13．正方体SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为__________.14．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角_________．

15．如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为4，点P，Q，R分别在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为__________．

四、解答题16．如图①，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿边SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如图②，过点SKIPIF1<0作一平面与SKIPIF1<0垂直，分别交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．17．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．

(1)求证：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)求点SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离．18．如图，四面体SKIPIF1<0的顶点都在以SKIPIF1<0为直径的球面上，底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，球心SKIPIF1<0到底面的距离为SKIPIF1<0．

(1)求球SKIPIF1<0的表面积；(2)求异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0成角的余弦值．19．如图，在三棱台SKIPIF1<0中，AB=BC=CA=2DF=2，FC=1，∠ACF=∠BCF=90°，G为线段AC中点，H为线段BC上的点，SKIPIF1<0平面FGH．

(1)求证：点H为线段BC的中点；(2)求三棱台SKIPIF1<0的表面积；(3)求二面角SKIPIF1<0的正弦值．20．如图，边长为4的正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点．将SKIPIF1<0分别沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0三点重合于点P．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求三棱锥SKIPIF1<0的体积；(3)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．21．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的大小．

22．已知四棱锥SKIPIF1<0的底面为梯形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)判断直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置关系，并说明理由；(2)若点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角SKIPIF1<0余弦值大小．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角．23．如图，已知四棱锥SKIPIF1<0的底面是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是侧棱SKIPIF1<0的中点.

(1)证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)求异面直线SKIPIF1<0