第7章 第1课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：空间几何体的表面积与体积、空间线面位置关系的证明、立体几何中的向量方法．空间几何体的表面积与体积主要考查小题：一是柱、锥、台体的体积与表面积的计算，二是球与柱、锥、台体的切接问题；空间位置关系的证明与立体几何中的向量方法主要考查解答题，第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第(2)问重点考查空间角，尤其是二面角、线面角的计算．2．轮考点：空间几何体的结构．常与数学文化结合以客观题的形式出现，主要考查对空间几何体的结构认知，难度较小．第1课时基本立体图形、简单几何体的表面积与体积[考试要求]1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)特殊的棱柱①侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．④底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．(3)正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．(4)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2．立体图形的直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上球S＝4πR2V＝43πR[常用结论]1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ()(2)菱形的直观图仍是菱形． ()(3)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方． ()(4)底面是正多边形的棱锥是正棱锥． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P119练习T2改编)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．163π B．32C．16π D．24πB[设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝43πR3＝322．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体C[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cm B．2cmC．3cm D．32B[设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]4．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为________．12[设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝34S△ABC·AA1＝34a·16＝12a，当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，所以当底面ABC水平放置时，液面高为12考点一基本立体图形结构特征[典例1]下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．①②[①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]直观图[典例2](多选)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC的周长是4＋42CD[根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB，因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：所以△ABC的周长是4＋42，面积是4，A错误，C，D正确．由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的22倍，B错误．故选CD.]【教师备选资源】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A．34a2 B．38C．68a2 D．616D[法一：如图①②所示的实际图形和直观图，由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68所以S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616法二：S△ABC＝12×a×asin60°＝34a又S直观图＝24S原图＝24×34a2＝展开图[典例3](1)如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形(2)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是()A．aB．9C．4D．a(1)A(2)A[(1)因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为a2，母线长也为a(2)正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为a2(1)空间几何体结构特征的判断技巧：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)在斜二测画法中，平行于x轴或在x轴上的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴或在y轴上的线段平行性不变，长度减半．(3)在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．[跟进训练]1．(1)(多选)下列说法中正确的是()A．长方体是直四棱柱B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．平行六面体不是棱柱(2)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为()A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺(3)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，则原平面图形的面积为________．(1)AC(2)C(3)32[(1)长方体是直四棱柱，A正确；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错误；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；平行六面体一定是棱柱，D错误．故选AC.(2)如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，圆木的高AB＝24尺，BE＝5尺，因此葛藤绕圆木2周后最少长为BD＝AB2+(3)法一：如图，过点A作AE⊥CD于点E，因为∠ADC＝45°，所以AD＝2AE＝2BC＝2，CD＝CE＋DE＝CE＋AE＝AB＋BC＝2.原平面图形中A′D′＝22，A′B′＝AB＝1，C′D′＝CD＝2，作原平面图形如下，则原平面图形的面积为12(C′D′＋A′B′)×A′D′＝32法二：在直观图中，∠ADC＝45°，AB＝BC＝1，DC⊥BC，所以AD＝2，CD＝2，所以直角梯形ABCD的面积为1+2×12＝32，所以原图形的面积为32×【教师备选资源】1．已知圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的轴截面面积为()A．2C．5B[因为圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，所以圆锥的底面周长为1×2π3＝2π3，所以底面半径为13，高为12−2．多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：V(顶点数)＋F(表面数)－E(棱长数)＝2．在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形．除C60外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，则C84结构含有正六边形的个数为()A．12 B．24C．30 D．32D[设分子中形状为正五边形和正六边形的面各有x个和y个，V＝84，F＝x＋y，E＝3×84÷2.由欧拉公式V＋F－E＝2，可得84＋x＋y－3×84÷2＝2，即x＋y＝44.又由多边形的边数可表示C84的棱数，即(5x＋6y)÷2＝3×84÷2，即5x＋6y＝252，由x+y故C84结构含有正六边形的个数为32．]考点二空间几何体的表面积与体积表面积[典例4](1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64π B．48πC．36π D．32π(2)(2024·湖南长沙模拟)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为()A．78 B．43C．19 D．(1)A(2)B[(1)如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO12＋r2＝(23)2＋22＝16，所以球O(2)设正六边形的边长为a，由题意正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为23a，正六棱锥的侧棱长为133a，正六棱锥的侧面积S1＝6×12a139a正六棱柱的侧面积S2＝6·a·2a＝12a2，所以S1S2体积[典例5](1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A-B1CD1的体积为()A．43 B．8C．4 D．6(2)(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝6，则该棱锥的体积为()A．1 B．3C．2 D．3(3)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为________．(1)B(2)A(3)766[(1)如图，三棱锥A-B1CD1是由正方体ABCD-A1B1C1D1截去四个小三棱锥A-A1B1D1，C-B1C1D1，B1-ABC，D1-又VABCD−A1BVA−A1B1D1＝VC−B1C1D1＝VB1-所以VA−B1CD1(2)如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝3，又PC＝6，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP-ABC＝13×S△ABC×PD＝13×12(3)法一：如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12−BE2＝2−12＝62，所以O1O＝62，所以V正四棱台ABCD⁃法二：如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2−BO2＝6，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为62，所以V正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766.(或者V四棱锥P-ABCD＝13×22×6＝463，V四棱锥P⁃求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换)[跟进训练]2．(1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．AC＝22D．△PAC的面积为3(2)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()A．4立方丈 B．5立方丈C．6立方丈 D．8立方丈(3)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，AC是四分之一圆，则图中阴影部分以OC所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________．(1)AC(2)B(3)5π[(1)AC(2)B(3)5π[(1)在△PAB中，由余弦定理得AB＝23.如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝3.该圆锥的体积V＝13πr2h该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝23π，B错误；取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝AO2−OH2＝2，所以AC＝22，C正确；PH＝2OH＝2，S△PAC＝1(2)如图，过点E作EG⊥平面ABCD，垂足为点G，过点F作FH⊥平面ABCD，垂足为点H，过点G作PQ∥AD，交AB于点Q，交CD于点P，过点H作MN∥BC，交AB于点N，交CD于点M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．则它的体积V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝13·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋13·FH·S矩形NBCM＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×(3)该旋转体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1，所以该旋转体的表面积为π×12＋2π×1×1＋12×4π×12＝5π.【教师备选资源】1．(2024·湖北武汉模拟)已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径，则球与圆锥的表面积之比为()A．8 B．163C．316 D．B[设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，球的半径为R，则l＝2r＝R，即R＝2r，l＝2r，球的表面积S1＝4πR2＝16πr2，圆锥的表面积S2＝πrl＋πr2＝2πr2＋πr2＝3πr2，则S1S2＝162．(2024·河北石家庄模拟)一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为93π，则该圆锥的母线长为()A．3 B．33C．6 D．63C[设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥侧面展开的扇形面积为πrl，底面圆面积为πr2，因为πrl＝2πr2，所以l＝2r，得h＝l2−r2＝3r，所以圆锥的体积为V＝13πr2h＝13πr2·3r＝93π，解得3．(2024·江苏常州模拟)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为13A．8π3 B．C．16π3C[假设圆锥半径为R，母线为l，则R＝1．设圆台上底面半径为r，母线为l1，则r＝13由已知可得，π3＝2πRl＝2如图，作出圆锥、圆台的轴截面，则有l−l1l＝rR＝13所以圆台的侧面积为π(R＋r)l1＝4×1+13课时分层作业(四十一)基本立体图形、简单几何体的表面积与体积一、单项选择题1．(2024·河北衡水模拟)将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)，不可能拼成()A．正三棱柱 B．正四棱锥C．正四棱柱 D．正六棱锥D[正三棱柱中9条棱长度可以完全相等，A成立；正四棱锥中8条棱长度可以完全相等，B成立；正四棱柱中12条棱长度可以完全相等，C成立；因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，D不成立．故选D.]2．(2023·山东济南一模)已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为()A．24 B．6C．22 D．26B[由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系S直观图S原图∴该三角形直观图的面积为24×34×23．(2024·湖北武汉模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知正四棱锥的底面边长为32m，侧棱长为5m，则其体积为()A．242m3 B．24m3C．722m3 D．72m3B[如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD交于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接OP，则底面边长AB＝32(m)，对角线BD＝2AB＝6(m)，BO＝12BD又BP＝5(m)，故高OP＝BP故该正四棱锥的体积为V＝13×324．(2024·黑龙江齐齐哈尔模拟)科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050m，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55m，高19m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为(参考数据：42582≈32.6，π≈3.1A．2480m2 B．2498m2C．2502m2 D．2508m2A[由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R＝192＝9.5而圆台另一个底面的半径为r＝1(m)，圆台的母线长为l＝1722+31.52＝42582≈32.6(m)，则S半球＝12×4×π×9.52＝180.5π(m2)，SS圆台侧≈π1+192×32.6＝342.3π(m2)，S圆台底所以S表＝180.5π＋266π＋342.3π＋π＝789.8π≈789.8×3.14≈2480(m2)．故选A.]5．(2023·湖北武汉二调)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为()A．10 B．15C．4 D．5D[大圆柱表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π，小圆柱侧面积为10×2πr，上、下底面积之和为2πr2，所以加工后工件的表面积为750π＋20πr－2πr2，当r＝5时表面积最大．故选D.]6．长方体的体对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为()A．2108 B．2C．29 D．B[不妨设长方体底面为正方形，边长为a，高为b，则底面的对角线为a2+a2∵长方体的体对角线长为1，表面积为1，∴4ab+2∴长方体体积为a2b＝227故选B.]7．(2023·天津高考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝13PC，线段PB上的点N满足PN＝23PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的A．19 B．2C．13 D．B[如图，因为PM＝13PC，PN＝23PB，所以S△PMNS△PBC＝12PM·PN·sin∠BPC12PC·PB·sin∠BPC＝PM·PNPC·PB＝13×238．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙A．5 B．22C．10 D．5C[设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙＝πr1lπr2又2π则r1所以r1＝23l，r2＝13所以甲圆锥的高h1＝l2−49乙圆锥的高h2＝l2−19所以V甲V乙＝13π二、多项选择题9．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则()A．V3＝2V2 B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1CD[设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝13×12×2×2×2＝43，V2＝13×12×2×2×1＝23.连接BD交AC于M，连接EM、FM(图略)，则FM＝3，EM＝6，EF＝3，故S△EMF＝12×3×6＝322，V3＝1310．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，则()A．该圆台的高为1cmB．该圆台轴截面面积为33cm2C．该圆台的体积为73πD．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5cmBCD[如图1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝CD−AB2＝1(cm)，则BE＝22−12圆台的轴截面面积为12×(2＋4)×3＝33(cm2圆台的体积为13×3×(π＋4π＋π·4将圆台的一半侧面展开，如图2中ABCD，设P为AD中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由CE＝EO1可得BC＝OB＝2cm，则OC＝4cm，∠COD＝4π24＝π2，又OP＝OA＋AD2＝3(cm)，则CP＝4三、填空题11．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短为50cm，最长为80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．2600π[将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面面积S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm212．(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．28[如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P-A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4．记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2．易知△PO′H′∽△POH，所以PO'PO＝O'H'OH，即3PO＝12，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝13×13．(2024·陕西西安模拟)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方