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文档简介
第4课时函数的对称性[考试要求]1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题.1.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+a)是奇函数,则函数y=f(x)的图象的对称中心为点(a,0).2.函数的轴对称和中心对称(1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(a-x)=f(a+x)⇔f(2a-x)=f(x).(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.(3)若函数y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=c,则函数f(x)的图象的对称中心为a+3.两个函数图象的对称(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.(4)函数y=f(a-x)与y=f(x-b)的图象关于直线x=a+一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数y=f(x-1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. ()(2)若函数y=f(x+1)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称. ()(3)若函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则f(x)的图象关于y轴对称. ()(4)若函数f(x)满足f(1+x)=-f(1-x),则f(x)的图象关于直线x=1对称. ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材经典衍生1.(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)=x3+x的图象关于()A.x轴对称 B.y轴对称C.原点对称 D.直线y=x对称C[因为f(x)=x3+x为奇函数,所以函数的图象关于原点对称.故选C.]2.(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中,函数y=3x与y=13A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称B[因为y=13x=3-x,所以函数y=3x与y=133.(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中,其图象关于y轴对称的是()A.y=x B.y=x+1C.y=2x2+1 D.yAC[由y=x知定义域为R,且f(-x)=−x=x=f(x),所以该函数为偶函数,则图象关于y轴对称,所以A正确;由y=x+1x知定义域为{x|x≠且f(-x)=(-x)+−1x=-x+1x所以该函数为奇函数,则图象关于原点对称,所以B错误;由y=2x2+且f(-x)=2−x2+1=2x所以该函数为偶函数,则图象关于y轴对称,所以C正确;由y=x-1x知定义域为{x|x≠且f(-x)=(-x)-1−x=-x−1x=-f所以该函数为奇函数,则图象关于原点对称,所以D错误.故选AC.]4.(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知f(x)=mx3+nx+1.(1)若f(x)在[-6,6]上的最大值为M,最小值为N,则M+N=________;(2)若m=1,n=-3,则函数f(x)的对称中心为点________.(1)2(2)(0,1)[(1)∵y=mx3+nx在R上为奇函数,∴在[-6,6]上,ymax=-ymin,∴M+N=(ymax+1)+(ymin+1)=2.(2)法一:由(1)知,y=mx3+nx为奇函数,所以对称中心为点(0,0),所以函数f(x)的对称中心为点(0,1).法二:∵g(x)=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)+1-b=x3+3ax2+(3a2-3)x+a3-3a+1-b,在R上为奇函数,所以3a=0所以函数f(x)的对称中心为点(0,1).]考点一轴对称问题[典例1](1)已知定义在R上的函数y=f(x+1)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x)>f(x+2)的x的取值范围为()A.(2,+∞) B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.−∞,−23 D.−∞(2)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称C.f(x)的周期为4D.y=f(x+4)为偶函数(1)B(2)ACD[(1)函数y=f(x+1)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,即函数y=f(x+1)的对称轴为y轴,又函数y=f(x+1)向右平移1个单位长度可得y=f(x),∴函数y=f(x)的对称轴为直线x=1,且在[1,+∞)上单调递增,∴由f(2x)>f(x+2)得|2x-1|>|x+2-1|,解得x<0或x>2.故选B.(2)∵f(2+x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B错误;∵函数f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),∴f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,故C正确;∵f(x)的周期为4且为偶函数,∴y=f(x+4)为偶函数,故D正确.]轴对称的几种表述形式(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x);(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a+[跟进训练]1.(1)已知函数f(x)=3|x-a|+2,且满足f(5+x)=f(3-x),则f(6)=()A.29 B.11C.3 D.5(2)已知函数g(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),则该函数图象的对称轴为直线x=________.(1)B(2)1[(1)因为f(5+x)=f(3-x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,而f(x)=3|x-a|+2的图象关于直线x=a对称,所以a=4,f(6)=3|6-4|+2=11.故选B.(2)已知函数g(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∵g(1+x)-g(1-x)=(1+x)2-2(1+x)+a(e1+x-1+e-1-x+1)-(1-x)2+2(1-x)-a(e1-x-1+e-1+x+1)=x2-1+a(ex+e-x)-x2+1-a(e-x+ex)=0,∴y=g(x+1)是一个偶函数.∴g(x)的图象关于直线x=1轴对称.]考点二中心对称问题[典例2](1)(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(-3x+1)为奇函数,则下列式子一定成立的是()A.f(2)=0 B.f(1)=0C.f(0)=0 D.f(-1)=0(2)已知函数f(x)满足:对任意的x∈R,f(x)+f(5-x)=-1.若函数y=f(x)与y=1−x2x−5图象的交点为(xi,yi)(i=1,2,…,n),则i=1A.0 B.nC.2n D.3n(1)BD(2)C[(1)因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),函数f(x)关于直线x=2对称,因为f(-3x+1)为奇函数,所以f(-3x+1)=-f(3x+1),函数f(x)关于点(1,0)对称,因为函数f(x)定义域为R,所以f(1)=0,B正确;又因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=0,由f(-3x+1)=-f(3x+1),令x=23可得f(-1)=-f(3)=0,D正确;可构造函数f(x)=cosπ2x−2满足题意,此时f(2)=cos0=1,(2)由对任意的x∈R,f(x)+f(5-x)=-1,可知函数的图象关于点52又y=1−x2x−5=−x+1所以函数y=1−x2x−5图象的中心对称点为5所以两个函数图象的交点成对出现,且每对交点都关于点52则x1+xn=x2+xn-1=…=52×2=5,y1+yn=y2+yn-1=…=-12所以i=1nxi+yi=5中心对称的几种表述形式(1)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点a+(2)双曲线型函数f(x)=cx+dax[跟进训练]2.(1)若函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=-2,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1(2)(多选)以下函数的图象是中心对称图形的是()A.f(x)=2x2+1 B.f(x)=x3C.f(x)=2x+1x−1 D.f((1)D(2)BCD[(1)因为f(2-x)+f(x)=-2,所以f(x)关于点(1,-1)对称,所以将f(x)向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1,该函数的对称中心为点(0,0),故y=f(x+1)+1为奇函数.(2)对于A,由二次函数的性质可知,函数f(x)=2x2+1无对称中心,故A错误;对于B,函数f(x)=x3是奇函数,故其图象关于原点对称,故B正确;对于C,f(x)=2x+1x−1=2x−2所以f(x)=2x+1x−1的图象可以由反比例函数y=3x的图象向右平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到,且反比例函数y=3x的图象关于原点对称,所以函数f对于D,函数的定义域为R,且f(0)=0,当x>0时,-x<0,f(-x)=-x(1+x)=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(1-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故D正确.故选BCD.]考点三两函数图象间的对称问题[典例3](1)已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)的图象与y=f(4-x)的图象()A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称(2)(多选)函数f(x)=sinx的图象与g(x)=cosx的图象关于某条直线对称,这条直线的方程可以是()A.x=π4 B.x=C.x=-7π2 D.x(1)A(2)AD[(1)设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上,而P(x0,y0)与Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x+2)的图象与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.(2)设这条直线的方程是x=a,∵函数f(x)=sinx的图象与g(x)=cosx的图象关于直线x=a对称,∴sin(2a-x)=cosx,即cosπ2−2a−x∴π2-(2a-x)=x+2kπ,k∈Z,解得a=π4-kπ,k∈Z,当k=0时,a=当k=2时,a=-7π故选AD.]函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b−a2对称.[跟进训练]3.设函数y=f(x)的图象与y=3x+m的图象关于直线y=x对称,若f(3)+f(9)=1,实数m的值为________.1[∵函数y=f(x)的图象与y=3x+m的图象关于直线y=x对称,∴x=log3y-m,∴f(x)=log3x-m,∴f(3)+f(9)=1-m+2-m=1,∴m=1.]课时分层作业(九)函数的对称性一、单项选择题1.已知函数f(x)=x2+ax对定义域内任意的x都有f(2-x)=f(2+x),则实数a等于()A.4 B.-4C.14 D.-B[∵f(2-x)=f(2+x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称,故-a2=2,∴a=-4.故2.下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)B[y=lnx的图象上的点P(1,0)关于直线x=1的对称点是它本身,则点P在y=lnx的图象关于直线x=1对称的图象上,结合选项可知B正确.故选B.]3.(2024·南昌模拟)函数f(x)=9xA.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=x对称B[由题意知f(x)的定义域为R,且f(x)=32x+13x=3x+3-x,f(-x)=3∴f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.]4.函数y=f(x)是定义在R上的函数,那么y=-f(x+4)与y=f(6-x)的图象()A.关于直线x=5对称 B.关于直线x=1对称C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称C[由复合函数的对称性知函数y=-f(x+4)与y=f(6-x)的图象关于点6+5.设函数f(x)=ax3-x-3+a,若函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则a=()A.-1 B.0C.1 D.2B[因为函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故函数f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数,故f(-x)+f(x)=a(-x)3-(-x)-3+a+ax3-x-3+a=2a=0,所以a=0.故选B.]6.函数f(x)=ex-2-e2-x的图象关于()A.点(-2,0)对称 B.直线x=-2对称C.点(2,0)对称 D.直线x=2对称C[∵f(x)=ex-2-e2-x,∴f(2+x)=e2+x-2-e2-(2+x)=ex-e-x,f(2-x)=e2-x-2-e2-(2-x)=e-x-ex,所以f(2+x)+f(2-x)=0,所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称.]7.(2024·福建福州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=2-f(x).若f(x)的图象关于直线x=3对称,则下列选项中一定成立的是()A.f(-3)=1 B.f(0)=0C.f(3)=2 D.f(5)=-1A[函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则必有f(3-x)=f(x+3),所以f(0)=f(6),f(1)=f(5),f(2)=f(4),又因为f(x)满足f(2-x)=2-f(x),取x=1,所以f(1)=2-f(1),f(1)=1,则f(1)=f(5)=1,取x=5,则f(-3)=2-f(5)=1,A正确.故选A.]8.已知函数y=f(x+1)-2是奇函数,函数g(x)=2x−1x−1的图象与f(x)的图象有4个公共点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4),且x1<x2<x3<x4,则g(x1+x2+x3+x4)g(y1+y2+y3+y4A.2 B.3C.4 D.5D[由函数y=f(x+1)-2是奇函数,其图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到f(x)的图象,所以f(x)的图象关于点(1,2)对称,由g(x)=2x−1x−1=2+1x−1,可得g(x)的图象是由奇函数y=1x的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,所以g所以P1,P4与P2,P3都关于点(1,2)对称,所以x1+x4=x2+x3=2,y1+y4=y2+y3=4,所以g(x1+x2+x3+x4)g(y1+y2+y3+y4)=g(4)g(8)=73×故选D.]二、多项选择题9.(2024·湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列说法一定正确的是()A.函数f(x)的周期为2B.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称C.函数f(x)为偶函数D.函数f(x)的图象关于直线x=3对称BC[因为f(x)的定义域为R,且f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为4,A错误;因为函数y=f(2-x)是偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(2-x)=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,函数f(x)图象关于点(1,0)对称,B正确;由f(2-x)=f(2+x),得f(-x)=f(4+x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,C正确;由f(x+2)+f(x)=0,得f(x+3)+f(1+x)=0,由f(2-x)=f(2+x),得f(3-x)=f(1+x),因此f(x+3)+f(3-x)=0,函数f(x)的图象关于点(3,0)对称,D错误.故选BC.]10.(2024·河北衡水开学考试)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(x)不是常数函数,设F(x)=f(1-x)-1,已知函数g(x)=f(x+1)-1是奇函数,则()A.y=f(x)的图象关于(1,1)对称B.f(x)=f(x+4)C.F(x)=f(1-x)-1是奇函数D.F(x)的图象与g(x)的图象关于原点对称ABC[对于A选项,因为函数g(x)是奇函数,所以g(x)+g(-x)=0,又g(x)=f(x+1)-1,所以f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,整理得f(x+1)+f(-x+1)=2,所以y=f(x)的图象关于(1,1)对称,故A正确;对于B选项,因为f(x)为定义在R上的偶函数,所以f(x)+f(x-2)=f(x)+f(2-x),由A选项知f(x+1)+f(-x+1)=2,则f(x)+f(2-x)=2,所以f(x)+f(x-2)=2,所以f(x-2)+f(x-4)=2,所以f(x)=f(x-4),所以f(x)=f(x+4),故B正确;对于C选项,因为F(x)+F(-x)=f(1-x)-1+f(1+x)-1.由A选项知f(x+1)+f(-x+1)=2,则F(x)+F(-x)=0,所以F(x)是奇函数,故C正确;对于D选项,因为F(x)=f(1-x)-1,所以F(-x)=f(1+x)-1=g(x),所以F(x)的图象与g(x)的图象关于y轴对称,又f(x)不是常函数,则F(x)的图象与g(x)的图象不关于原点对称,故D错误.故选ABC.]三、填空题11.若函数f(x)=ax−2x−1的图象关于点(1,1)对称,则实数a1[f(x)=ax−a+a−2x−1=a图象关于点(1,a)对称,故a=1.]12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①f(3-x)=-f(x);②f(x)=f(1-x);③函数f(x)在0,2sinπ2x+5π4(答案不唯一)[对于①,若f(3-x)=-f(x),则对于②,若f(x)=f(1-x),则f(x)的图象关于直线x=12对称,设f(x)=2sin(ωx+φ),则T=4×32−12又f(x)的图象关于直线x=12对称,且函数在0,12上单调递减,则ω2+φ=3π2得φ=5π4+2kπ,k∈13.(2024·江苏扬州模拟)已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f′(x),且满足f(x)-f(2-x)=0,则()A.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称C.函数f′(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f′(x)的图象
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