山东省济南市槐荫区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为(

)A.

B.

C.

D.

2.如图，平移到的位置，则下列说法错误的是(

)A.

B.

C.

D.平移距离为线段BD的长

3.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为(

)

A.15 B.5 C. D.4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点若，则(

)A.

B.

C.

D.5.某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为(

)

A. B. C. D.6.若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是(

)A.2 B. C.0 D.7.如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是(

)A.不断增大

B.不断减小

C.先减小后增大

D.不变8.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是(

)A. B.

C. D.9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，，将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形，则点的纵坐标的最小值为(

)A. B. C. D.110.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，若，则一定等于(

)A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，若两个雨刮器的刷片长度相同，即，某时刻雨刮器位置如图所示，此时，则______填“>”“<”“=”12.分式方程的解为______.13.已知一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为______.14.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为______.15.定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”.如图，在“对垂四边形”ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，若点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD，DA的中点，且四边形EFGH是“对垂四边形”，则四边形EFGH的面积是______.

16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AD边上一点，将沿BE翻折，得到若为等边三角形，则______.

三、计算题：本大题共2小题，共14分。17.解方程：18.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差8米，求树高AB多少米．结果保留根号四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题6分

计算：20.本小题6分

如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且分别与AD，BC交于点E，求证：21.本小题8分

如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，

求证：四边形ACFD是矩形；

若，，求四边形ABCE的面积.22.本小题8分

人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.

随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；

从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率.23.本小题10分

【教材呈现】如下是北师大版九年级上册数学课本第6页的部分内容.

结合教材图，完成这个定理证明；

应用上述定理解决实际问题

周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E、B、D、F在同一直线上，

①求证：四边形外框AECF是菱形；

②若外框AECF的周长为80cm，，，直接写出AB的长.

24.本小题10分

某花市销售一批花，平均每天可售出20盆，每盆盈利45元.为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每盆花每降价1元，平均每天可多售出4盆.

请根据题意，完成下列问题：

Ⅰ①若每盆花降价5元，则每盆花盈利______元，每天可售出______盆；

②若每盆花降价x元，则每盆花盈利______元，每天可售出______盆；用含x的代数式表示；

Ⅱ若花市平均每天盈利2400元，每盆花应降价多少元？25.本小题12分

阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值.

例如，求代数式的最小值：

可知当时，有最小值，最小值是

再例如，求代数式的最大值：

可知当时，有最大值，最大值是

【直接应用】

在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；

求当x取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？

【知识迁移】

如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙墙足够长，设垂直于墙的一边长为x米，请用配方法求围成的生物园的最大面积.26.本小题12分

在等腰中，，以C为底角顶点作等腰，使，连接AD，分别以AB、AD为邻边作▱ABFD，连接

如图1，当点E在AC边上不与点A、C重合，且点D在外部时，判断中，AE与EF的数量关系为______，位置关系为______；

如图2，将图1中绕点C逆时针旋转，当点E落在线段BC上时，连接

求证：；

如图3，将绕点C继续逆时针旋转，当▱ABFD为菱形，且在的下方时，若，，求线段AE的长.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：

故选：

根据左视图是从左面看到的图形判定则可．

本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确判断的前提．2.【答案】D

【解析】解：由平移的性质可知，，故选项A不符合题意；

由平移的性质可知，，故选项B不符合题意；

由平移的性质可知，，故选项C不符合题意；

由平移的性质可知，平移距离为线段BE的长，故选项D符合题意；

故选：

根据平移的性质逐项进行判断即可．

本题考查平移的性质，理解平移的定义，掌握平移的性质是正确判断的前提．3.【答案】A

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，

据此可以估计黑色部分的面积为

故选：

用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．

本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．4.【答案】D

【解析】解：四边形ABCD是矩形，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

故选：

先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求解．

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．5.【答案】B

【解析】解：某一时刻在阳光照射下，，且，，

，，

故选：

根据平行线的性质及角的和差即可求得．

本题主要考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．6.【答案】B

【解析】解：由一元二次方程根与系数的关系可得，

为方程的解，

，

解得

方程的另一个解是

故选：

由一元二次方程根与系数的关系可得，然后将代入求解．

本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，解题关键是利用一元二次方程的根与系数的关系求解．7.【答案】D

【解析】解：，P为AB的中点，

，

即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变，

故选：

根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．

本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．8.【答案】B

【解析】解：由题意可得，

，

故选：

根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．9.【答案】C

【解析】解：如图，连接OC，过点C作轴，

四边形OBCD是菱形，

，

，且于E，

，，

当点在y轴上时，点的纵坐标有最小值为，

故选：

如图，连接OC，过点C作轴，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求OC的长，即可求解．

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，求出OC的长是本题的关键．10.【答案】A

【解析】解：在正方形ABCD中，，，

将绕点A顺时针旋转，得，如图所示：

则，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

，

故选：

根据正方形的性质可得，，将绕点A顺时针旋转，得，易证≌，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．11.【答案】=

【解析】解：，，

四边形ABCD是平行四边形，

，

故答案为：

先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答．

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．12.【答案】3

【解析】解：原方程去分母得：

整理得：，

解得：，

检验：当时，，

故原方程的解为

故答案为：

利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．

本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．13.【答案】八

【解析】解：边，

多边形的边数为八，

故答案为：八．

根据多边形的外角和是求解即可．

本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是是解题的关键．14.【答案】

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

即

解得

故答案为：

根据一元二次方程根的判别式可知，解不等式即可求解．

本题考查了根的判别式，解决本题的关键是得出时，方程有两个不相等的实数根．15.【答案】2

【解析】解：点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD，DA的中点，

、GH、EH分别为、、的中位线，

，，，，，

，，

四边形EFGH为平行四边形，

，，，

，

平行四边形EFGH为矩形，

四边形EFGH是“对垂四边形”，

矩形EFGH为正方形，

四边形EFGH的面积为：，

故答案为：

根据三角形中位线定理得到，，，，，根据“对垂四边形”的定义得到四边形EFGH为正方形，关键正方形的面积公式计算即可．

本题考查的是中点四边形，掌握正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．16.【答案】

【解析】解：如图，延长交AD于点F，

在边长为2的正方形ABCD中，，，

由翻折可知：，，，

为等边三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

延长交AD于点F，根据翻折的性质和等边三角形的性质求出AF，EF，进而可以解决问题．

本题考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．17.【答案】解：这里，，，

，

，

则，

【解析】找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．

此题考查了解一元二次方程-公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．18.【答案】解：在中，，

，

在中，，

，

，

，

答：树高AB为米．

【解析】利用正切的定义分别在两个直角三角形中有AB表示出BD和BC，然后利用列方程，再解关于AB的方程即可．

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．19.【答案】解：

【解析】根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案

本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键．20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，

，，

，

在和中，

，

≌，

【解析】要证明线段相等，只需证明两条线段所在的两个三角形全等即可．

此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，

，

，，

为线段CD的中点，

，

≌，

，

四边形ACFD是平行四边形，

，

四边形ACFD是矩形；

解：，，

，

四边形ACFD是矩形，

，，

，

≌，

四边形ABCE的面积=平行四边形

【解析】证明≌，得，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；

根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由≌，可得四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD，进而可以解决问题．

本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．22.【答案】

【解析】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，

抽到决策类人工智能的卡片的概率为

故答案为：

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果有：AD，DA，共2种，

抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率为

由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案．

画树状图得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．

本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．23.【答案】证明：由题意可知，，

，，

四边形ABCD是平行四边形，

，

平行四边形ABCD是菱形；

①证明：四边形ABCD是菱形，

，

，，

，

，

，

，

，

≌，

，

同理：，，

，

四边形AECF是菱形；

②解：如图，连接AC，交EF于点O，

四边形AECF是菱形，周长为80cm，，

，，，

，，

，

，

即AB的长为

【解析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；

①证明≌，得，同理，，则，然后由菱形的判定即可得出结论；

②连接AC，交EF于点O，由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由勾股定理求出AB的长即可．

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】

【解析】解：Ⅰ①根据题意得：若每盆花降价5元，则每盆花盈利元；

每天可售出盆

故答案为：40，40；

②根据题意得：若每盆花降价x元，则每盆花盈利元；

每天可售出盆．

故答案为：，；

Ⅱ根据题意得：，

整理得：，

解得：，，

要尽快减少库存，

答：每盆花应降价25元．

Ⅰ①利用每盆花的销售利润每盆花降低的价格，可求出每盆花的销售利润，利用日销售量每盆花降低的价格，即可求出日销售量；

②利用每盆花的销售利润每盆花降低的价格，可用含x的代数式表示出每盆花的销售利润，利用日销售量每盆花降低的价格，即可用含x的代数式表示出日销售量；

Ⅱ利用总利润=每盆花的销售利