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文档简介
微专题立体几何中的动态问题立体几何中的“动态问题”是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放型问题,因其某些点、线、面位置的不确定,往往成为学生进行一些常规思考、转化的障碍.但又因其是可变的、开放的,更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养,以下利用运动变化的观点对几种动态问题的类型加以分析,探求解决此类问题的若干途径.类型一空间位置关系的判定【例1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1上的动点,且EH∥FG,则必有()A.BD1⊥EHB.AD∥FGC.平面BB1D1D⊥平面EFGHD.平面A1BCD1∥平面EFGHB解析:当E与A1重合,H与D1重合时,BD1与EH的夹角即BD1与A1D1的夹角,显然BD1与A1D1的夹角不是π2当FG不与B1C1重合时,因为EH∥FG,EH⊂平面A1B1C1D1,FG⊄平面A1B1C1D1,所以FG∥平面A1B1C1D1.因为FG⊂平面BCC1B1,平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1=B1C1,所以FG∥B1C1∥AD.当FG与B1C1重合时,显然FG∥AD,故B正确.当平面EFGH与平面BCC1B1重合时,显然平面BB1D1D与平面BCC1B1不垂直,故C错误.当FG与BC重合时,平面A1BCD1与平面EFGH相交,故D错误.【例2】如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列结论一定成立的是()A.三棱锥A-A1PD的体积大小与点P的位置有关B.A1P与平面ACD1相交C.平面PDB1⊥平面A1BC1D.AP⊥D1CC解析:对于选项A,VA-A1PD=VP-AA1D.在正方体中,BC1∥平面AA1D,所以当点P运动时其到平面AA1D的距离不变,即三棱锥P-AA1D的高不变.又△AA1D的面积不变,因此三棱锥P-AA1D的体积不变,即三棱锥A-A1PD的体积与点P的位置无关,故A不成立.对于选项B,由于BC1∥AD1,AD1⊂平面ACD1,BC1⊄平面ACD1,所以BC1∥平面ACD1,同理可证BA1∥平面ACD1.又BA1∩BC1=B,BA1,BC1⊂平面BA1C1,所以平面BA1C1∥平面ACD1.因为A1P⊂平面BA1C1,所以A1P∥平面ACD1,故B不成立.对于选项C,因为A1C1⊥BD,A1C1⊥BB1,BD∩BB1=B,所以A1C1⊥平面BB1D,则A1C1⊥B1D,同理A1B⊥B1D.又A1C1∩A1B=A1,所以B1D⊥平面A1BC1.又B1D⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面A1BC1,故C成立.对于选项D,当B与P重合时,AP与D1C的夹角为π4解决空间位置关系的动点问题(1)应用“位置关系定理”转化.(2)建立“坐标系”计算.类型二轨迹问题【例3】(2024·韶关模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为底面正方形ABCD内的一动点.若△APC1的面积S=12,则动点PA.圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分D解析:设d是△APC1边AC1上的高,则S△APC1=12|AC1|·d=32d=12,所以d=33,即点P到直线AC1的距离为定值33,所以点P在以直线AC1为轴,33为底面半径的圆柱侧面上,直线AC1【例4】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为AA1,AB的中点,点M是正方形ABB1A1内的动点.若C1M∥平面CD1EF,则点M的轨迹长度为.2解析:如图,取A1B1的中点H,B1B的中点G,连接GH,C1H,C1G,EG,HF,可得四边形EGC1D1是平行四边形,所以C1G∥D1E.又C1G⊄平面CD1EF,D1E⊂平面CD1EF,所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥CF,C1H∥平面CD1EF.因为C1H∩C1G=C1,C1H,C1G⊂平面C1GH,所以平面C1GH∥平面CD1EF.由点M是正方形ABB1A1内的动点可知,若C1M∥平面CD1EF,则点M在线段GH上,所以点M的轨迹长度为12+1解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法:根据平面的性质进行判定.(2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代替法进行计算.(3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.类型三最值问题【例5】已知在如图所示的正三棱锥P-ABC中,侧棱PA,PB,PC的长为2,底面三角形ABC的边长为2,D为AC的中点,E为AB的中点,M是PD上的动点,N是平面PCE上的动点,则AM+MN的最小值为()A.6+24C.64 D.B解析:将正三棱锥P-ABC放入棱长为2的正方体AGIJ-PCHB中,如图1所示,先固定点M,那么MN的最小值即点M到平面PCE的距离.连接GH,设GH的中点为F,连接PF,DG.由题意,得平面PGF⊥平面PCE,且交线为PF,故MN⊥PF,所以点M在PD上运动时,点N在PF上运动.把平面AGP和平面PGF沿PG展开,示意图如图2所示,作AN′⊥PF交PG于点M′,则AN′即所求,(AM+MN)min=AN′=AP·sin(45°+30°)=3+1【例6】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为a,侧棱长为b,且a≥b,点D是BC1的中点,则直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是()A.13013 B.C.33 D.D解析:如图,取A1B1的中点E,连接BE,C1E,则C1E⊥A1B1.由正三棱柱的性质可知,平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,所以C1E⊥平面ABB1A1,取BE的中点F,连接AF,DF.因为D为BC1的中点,所以DF∥C1E,所以DF⊥平面ABB1A1,所以∠DAF即为直线AD与侧面ABB1A1所成的角.在Rt△AFD中,DF=12C1E=34a,AF=34a2+12b2=9a2+4b24,所以tan∠DAF=DFAF=3a在动态变化过
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