人教A版普通高中数学一轮复习第三章学科特色规范解答系列(一)利用导数研究函数问题学案_第1页
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(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a＞0时，f(x)＞2lna＋32思维拆解规范解答阅卷细则第一步：求导．第二步：对a分类讨论，判断f′(x)的符号，得函数f(x)的单调性．第三步：利用(1)的结论，求函数f(x)的最值．第四步：构造函数g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－32第五步：求函数g(a)的最小值，得结论．(1)解：f′(x)＝aex－1，1分当a≤0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在R上单调递减．2分当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞－lna；令f′(x)＜0，得x＜－lna，3分所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．4分综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．5分(2)证明：由(1)可得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna．6分令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－32＝a2－lna－12，a所以g′(a)＝2a－1a令g′(a)＞0，得a＞22；令g′(a)＜0，得0＜a＜22所以函数g(a)在0，22所以函数g(a)的极小值也是最小值为g22＝222－ln22－12＝所以当a＞0时，f(x)＞2lna＋32(1)正确求导得1分．(2)写出a≤0时的单调性得1分．(3)a＞0时，正确解不等式得1分．(4)写出a＞0时的单调性得1分．(5)综述单调性得1分．(6)求出a＞0时f(x)的最小值得1分．(7)构造函数g(x)得1分．(8)研究g(a)的单调性得2分．(9)写

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