人教A版普通高中数学一轮复习31课时练习含答案

课时质量评价(三十一)1．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1，－1)，则z的实部与虚部的和是()A．2 B．0C．1＋i D．1－iB解析：由题意可知z＝1－i，所以复数z的实部是1，虚部是－1，其和为0.2．(2024·烟台模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z等于()A．－2＋i B．－2－iC．2＋i D．2－iC解析：由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4+3i1+2i＝4+33．已知i为虚数单位，则2+iA．5 B．5iC．－75－125i D．－754．(数学与文化)欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(其中e＝2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是()A．eiπ的实部为0B．e2i在复平面内对应的点在第一象限C．|eiθ|＝1D．eiπ的共轭复数为1C解析：对于A，eiπ＝cosπ＋isinπ＝－1，则实部为－1，A错误；对于B，e2i＝cos2＋isin2在复平面内对应的点为(cos2，sin2)，因为cos2＜0，sin2＞0，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，B错误；对于C，|eiθ|＝|cosθ＋isinθ|＝cos2对于D，eiπ＝cosπ＋isinπ，则其共轭复数为cosπ－isinπ＝－1，D错误．5．已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝2i，则z＝．－1＋i解析：由题意可得z＝2i1-i＝26．(2024·石家庄模拟)设O是坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是5－5i解析：因为向量OA，所以OA＝(2，－3)，OB＝(－3，2)，所以BA＝OA-其对应的复数是5－5i.7．已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为．3π解析：令z＝a＋bi且a，b∈R，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，即对应区域的面积是圆心为(1，－1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积的差，所以点Z所在区域的面积为4π－π＝3π.8．已知复数z＝1-i(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．解：(1)z＝-2i+3+3i2-i＝(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以a+b=1，2+a=-19．在复平面内，满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z对应的点的轨迹是()A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线B解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2结合题意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.故复数z对应的点的轨迹是圆．10．(多选题)设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是()A．z1－z2＝zB．z1z2＝C．若z1z2∈R，则z1＝zD．若z1-z2ABD解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，z1－z2＝(a－c)－(b－d)i，z1－z2＝a－bi－(c－di)＝(a－c)－(z1z2＝ac-bd+ad+bciz1·z2＝a2当z1＝i，z2＝－4i时，z1z2＝4∈R，但是z1≠z2，若z1-z2＝0，则a-c+b-di＝a-c2+b-d2＝0，所以a＝c，b＝d，11．(多选题)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是()A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1＝－25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值为32＋2ABD解析：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；对于B，1z1＝1-2+i＝-2-i对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，又因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，则|z1－1＋2i|＝-32+3|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋32，故D正确．12．(2024·邹城模拟)一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与“三角形式”区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，cos(π＋θ1＋θ2)＝35，其中θ1∈0，π2，θ2∈0，π2，则－35＋45i解析：因为cos(π＋θ1＋θ2)＝－cos(θ1＋θ2)＝35，所以cos(θ1＋θ2)＝－又θ1∈0，π2，θ2∈0，π2，所以θ1所以sin(θ1＋θ2)＝1-cos2θ1+所以z1z2＝(cosθ1＋isinθ1)(cosθ2＋isinθ2)＝(cosθ1cosθ2－sinθ1sinθ2)＋i(cosθ1sinθ2＋sinθ1cosθ2)＝cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)＝－35＋413．在数学中，记表达式ad－bc是由abcd所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝2+i1-i，z3＝z2，则当z1z－2解析：依题意知，z1z2z3z4＝z因为z3＝z2且z2＝2+i1-i＝2+所以z2z3＝|z2|2＝52因此有(1＋i)z4－52＝1即(1＋i)z4＝3－i，故z4＝3-i1+i＝所以z4的虚部是－2.14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋5z②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.设z＝a＋bi(a，b∈R且