2019年广州市中考数学试卷

2019年广州市初中毕业生学业考试

数学

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。）

1.|-6|=（）.

A.-6B.6C.--D.-

66

2.广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群'’的生态廊

道，使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为

（单位:千米）:5,5.2,5,5,5,6.4,6,5,6.68,48.4,6.3这组数据的众数是（）.

A.5B.5.2C.6D.6.4

3.如图，有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30〃?，斜坡的倾斜角是/BAC,若

2

tanN84C=f,则此斜坡的水平距离AC为（）.

5

A.751nB.50〃zC.30mD.\2m

4.下列运算正确的是（）.

A.-3—2=-1B.3x（-gj=-gC.x3X1=x15D.y/ayfab-ay/h

5.平面内，。。的半径为1,点P到。的距离为2,过点尸可作。0的切线的条数为（）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

6.甲乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做

150个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件，下列方程正确是（）

120150,120150〃120150.120150

AA.—=------B.------=—C.-------=—D.—=-------

xx-8x+8xx-8xxx+8

7.如图，DABCD^,AB=2,AD=4,对角线AC,BO相交于点O,且E,F,G,”分别是

A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形

C.AC1BDD.△A80的面积是△£F。面积的2倍

8.若点A（-1,%）,B（2,>2），C（3,为）在反比例函数y=9的图像上，则与

x

的大小关系是（）

A.B.%<%<%C.3<%<%D.乂<%<为

9.如图，矩形A8CQ中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AQ于点E,F,若BE=3,

AF=5,则AC的长为（）

A.475B.C.10D.8

10.关于x的一元二次方程f-（左一1口_左+2=0有两个实数根不，%,,若

（七一w+2）a--2）+2不々=-3,贝必的值为（）

A.0或2B.-2或2C.-2D.2

第二部分非选择题（共120分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）

11.如图，点A,B,C在直线/上，PBVl,PA=f>cm,PB=5cm,PC=7cm,则点尸到直线/

的距离是cm.

p

ABC

12.代数式〒^有意义时，无应满足的条件是t

13.分解因式：^y+2xy+y=.

14.一副三角板如图放置，将三角板AOE绕点A逆时针旋转a（0。勺＜90。），使得三角板

ADE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为1

15.如图6放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面

展开扇形的弧长为.（结果保留"）

16.如图7,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,8重合），ND4M=45。,

点F在射线AM上，且力尸=CF与A。相交于点G,连接EC,EF,EG.则下

列结论:

①/ECF=45。；②MEG的周长为（1+

(3)BE2+DG2=EG2;④△E4F的面积的最大值是-a2.

8

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分9分）

x-y=1

解方程组:

x+3y=9

18.（本小题满分9分）

如图，。是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC7/45.求证：&ADEqACFE

19.(本小题满分10分)

已知p=卓丁———(a^+b)

a-ha+b

(1)化简P;

（2）若点（a,b）在一次函数y=的图象上，求P的值.

20.(本小题满分10分)

某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间''的调查，由调查结果描绘了如下

不完整的频数分布表和扇形统计图.

频数分布表

扇形统计

组别时间〃卜时频数/人数

4组0<r<l2

B组l<r<2m

C组2<r<310

。组3<r<412

E组4</<57

F组t>54

请根据图表中的信息解答下列问题：

(1)求频数分布表中m的值；

(2)求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图;

(3)己知尸组的学生中，只有1名男生，其余都是女生.用列举法求下列事件的概率:

从尸组中随机选取2名学生，恰好都是女生.

21.(本小题满分12分)

随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产

业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数量是

目前的4倍；到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.

(1)计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？

(2)按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.

22.（本小题满分12分）

如图9,在平面直角坐标系xO.y中，菱形ABC。的对角线AC与B。交于点P（T,2）,

ABLx轴于点E,正比例函数y=/nr的图像与反比例函数y=2二口的图象相交于A,P两点.

（1）求〃?，〃的值与点A的坐标;

（2）求证：△CPOS/XAE。；

(3)求sin/CDB的值.

23.（本小题满分12分）

如图，。。的直径48=10,弦AC=8,连接BC.

（1）尺规作图：作弦CD,使CZ>BC（点。不与B重合），连接A。；（保留作图痕迹,

不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形A8C/）的周长.

24.(本小题满分14分)

如图11,等边AABC中，A8=6,点。在BC上,B£>=4.点E为边AC上一动点(不与点

C重合)，4CDE关于DE的轴对称图形为△")后.

(1)当点尸在AC上时，求证：DFHAB；

(2)设A4CD的面积为0,AABF的面积为S2,记5=51-$2,S是否存在最大值？若存

在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)当B,F,E三点共线时，求AE的长.

25.(本小题满分14分)

已知抛物线G：丁=32-2/nx-3有最低点.

(1)求二次函数y=〃缗-2〃a-3的最小值(用含m的式子表示)；

(2)将抛物线G向右平移〃?个单位得到抛物线Gi.经过探究发现，随着〃，的变化，抛

物线Gi顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自

变量x的取值范围；

(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图像交于点P,结合图象，求点P

的纵坐标的取值范围.

2019年广州市初中毕业生学业考试

数学

（参考答案及解析）

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.【参考答案】B

【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，故选B.

2.【参考答案】A

【分析】本题主要是考查众数的概念，出现次数最多的数是众数，故选A.

3.【参考答案】A

【分析】本题主要是考查锐角三角函数中的正切值，根据正切值的概念去进行计算，故

选A.

4.【参考答案】D

【分析】本题主要是考查实数的计算，累的乘法，二次根式的计算，故选D.

5.【参考答案】C

【分析】本题主要是考查点和圆的位置关系，切线长定理的有关内容，过圆外一点可以

引圆的两条切线，故选C.

6.【参考答案】D

【分析】本题考查分式方程的应用，解决的是工程问题，根据工作总量、工作时间、工

作效率三个量之间的关系进行分析，利用工作时间相等建立方程，故选D.

7.【参考答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，相似的性质.平行四边形

的邻边不一定相等、对角线不一定相等或垂直，所以A和C是错误的，题中出现了4个中

点，所以联系中位线的性质，从而得到平行四边形EFGH,故选B.

8.【参考答案】C

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，可以直接把x的值-1,2,3分别

代入函数解析式直接算出y,%，为从而比较大小，也可以画出函数图象，利用数形结合

来比较y值大小，故选C.

9.【参考答案】A

【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，勾股定理

设AC与EF的交点为O,连接AE,CF.由EF是AC的垂直平分线得出AO=OC,ZAOF=

ACOE,由ASA证出△AOF也△COE,得出OE=OF,证出四边形AFCE是平行四边形，再

根据EFVAC即可得出四边形AFCE是菱形

•..四边形AFCE是菱形，

：.AF=AE=EC=5,

：.BC=S

在山△ABE中，由勾股定理得：

AB2+BE2=AE2

：.AB=4

在ROA8C中，由勾股定理得：

AB2+BC2=AC2

故选A.

10.【参考答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，乘法公式的运用，首先根据题

中已知等式进行整理变形

=(玉2

(x,-x2+2)(x,-x2-2)+2X,X2—x2)—4+2xtx2

=X；+x2_4=(Xj+/)〜—2x^2—4

由题意得，一元二次方程有两个实数根，△》()

・玉+无2=女-1，x\x2=一攵+2

.・.(1)2_2(_、+2)_4=_3

解得：％=±2

当％=—2时，A<0,舍去

.，・2=2

故选D.

第二部分非选择题(共120分)

二'填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分.)

11.【参考答案】_5_

【分析】根据点到直线的距离定义可得出本题答案.

12.【参考答案】x>8

【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，x-8>0,又因为分母不为零，所以

x>8

13.【参考答案】y(x+l)2

【分析】本题考查了分解因式，提取公因式后还要再用完全平方公式.

14.【参考答案】60°或15°

【分析】此题主要考查了旋转及分类讨论的数学思想.需要考虑边AD所在的直线和边

DE所在的直线都有可能和BC垂直.

15.【参考答案】2亚几

【分析】本题考查了圆锥和扇形之间的关系，根据主视图求出底面圆的直径，利用圆

的周长公式即可求出.

16.【参考答案】①④

【分析】

本题考查了正方形的综合运用，以及半角模型的运用，根据=,想到等腰直角三角

形，过点尸作/7/1_明交54的延长线于点”，尸是等腰直角三角

形，AF=y/2HFJ：AF=gBE,：.HF=BE，易得：丝/EBC,：.FE=CE,且FE

_LCE,得/ECG=45。（方法二：连接AC,根据正方形的性质，44C=45。，

:.NFAC=9Q°,又:AF=6BE，AC=®BC，^FAC^>/XEBC,从而得/C4=/

ECB,VZECB+ZACE^5°,：.ZFCA+ZACE=45°,即NECF=45°）故①是正确的；由

半角模型，将^EBC绕点C顺时针旋转90°易得ZiG/C与△GEC,可得EG=BE+GD,

:QAEG的周长等于2a,故②③是错误；S,.,.^-AEHF，设HF=x,则

（xrtAr2

2

AH=BE=x,AE=a—x'•二SAEAF=^x（a-x）=-^x,当x=时,最大值为

2

La,故④正确.

8

故本题答案为：①④

三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.【参考答案】

解Jn®

x+3y=9②

由①一②得：

_4y=-8

y=2

把y=2代入①得：

x—2=1

x=3

，原方程组的解为《尤=3

[y=2

【分析】

加减消元法解二元一次方程组，主要考查基础计算能力

18.【参考答案】

解：,:FC〃AB,AC.DF交于点E

AZA=ZFCE,ZAED=ZCEF

・••在△ADE和△。£产中

/A=ZFCE

<ZAED=ZCE

DE=FE

：.AADE^ACEF（AAS）

【分析】

（1）此题为几何简单证明；

（2）考查平行线的性质运用，全等三角形基本判定

19.【参考答案】

解：⑴

尸=3,

a2-h2a+b

_2aa-h

（〃+人）（〃一匕）（。+人）（〃一人）

2〃_（〃一匕）

（〃+/?）（〃-人）

_a+b

1

a-b

（2）・・•点（小b）在一次函数y=x-直上

ci—h—V2

把a—近代入P得:

-

二

1

一

一

V2

也

-2

【分析】

(1)本题主要为分式基本运算，平方差公式因式分解

(2)考查学生整体代入思想，分母有理化计算

20.【参考答案】

解：

(1)w=40-(2+10+12+7+4)=5

⑵B组：—X360°=45°；C组：—X360°=90°

4040

如图所示，扇形统计图为所求

扇形统计图

(3)设F组4名学生中，男生为A,女生为B”B2,B3

事件A=(所选取的2名学生恰好都是女生｝

树状图如下：

开始

AAAA

BiB2ByAB2AB[%ABxB2

一共有12种等可能情况，其中满足要求的情况有6种，分别为：BiBo,B1B3,B2B1,

B2B3,B3B1，B3B2

【分析】

(1)主要考查统计数据的收集及分析，要求学生关注统计图表的制作过程

(2)列举法计算简单概率

21.【参考答案】

解：

(1)由题意得到2020年底，全省5G基站的数量为1.5x4=6(万座)

答:到2020年底，全省5G基站的数量为6万座.

(2)设2020年到2022年，全省5G基站数量的平均增长率为1,由题意得：

6(1+x)2=17.34

727

解得“=—，毛=---(舍去)

'10-10

7

—X100%=70%

10

答：2020年到2022年，全省5G基站数量的平均增长率为70%.

【分析】

(1)本题考查了一元二次方程的应用，解决的是增长率问题，比较常规，根据增长率问题

归纳的方法a(l±x)"=y列出方程即可，最后注意结果要符合实际意义.

22.【参考答案】

解：

(1)P(-1,2)在反比例函数图象上，又在正比例函数图象上

〃一3

.,.将P(-1,2)代入y=----得：〃=1

x

将P(-1,2)代入y=〃a得：m--2

由题意得，P点与4点关于。点中心对称

点A的坐标为(1,-2)

(2)证明：在菱形ABCD中，AP1.BD

ZAEO=ZAPB=90°

又NOAE=NBAP

:./\OEA^/\BAP

在菱形ABCD中，

易证：△84尸出△QPC

:.△CPMXAEO

(3)由题意得：

由(2)可知△AEOsacPQ

/.NCDB=NCDP=ZAOE

在△HEO中

OE=\,AE=2,NAEO=90°

由勾股定理得：

.MO=JF+22=也

Ap22A/5

：.sinZCDB=sinZAOE=——=-=----

AO455

【分析】

(1)本题考查知识点主要有：菱形的性质，正比例函数和反比例函数解析式的求法，求两

函数交点，相似三角形的判定，锐角三角函数；

(2)要求学生平时要注重基础知识的掌握；第3问要求学生有转化思想，注重对学生数学

思想的考查.

23.【参考答案】

解：(1)如图所示，8即为所求.

(2)连接BD,OC,设OC交BD于点E,设OE=x,贝UCE=5-X

在R2BOE与R2BCE中，由勾股定理得

BE1=BO2~OP=BCi~CEl

52-x2=62-(5-x)2

7

解得x

5

CB=CD

：.0E±BDFlE为8为勺中点

又。为A3中点

0E为△A3。的中位线

714

AD=2OE=2x-=—

55

14124

，四边形ABCQ的周长为：CB+CD+BA+AD=6+6+10+y=—

【分析】

(1)本题是儿何的小综合，第1问是尺规作图，做一条线段等于已知线段，比较基础;

(2)第2问在圆的背景下，考虑圆有关性质的运用，结合勾股定理建立方程求解.

24.【参考答案】

(1)解：当尸在4c上时，如图所示;

DE为△DC尸的对称轴，

ZDFC=ZC=60

又AABC为等边三角形,

，NA=60°，

:.NDFC=NA，

:.DF//AB

(2)解：存在，鼠取=6-36.

过点A作BC的垂线交于点G

Ss=：C£)AG=gx2xAG

则在Rt/VSG中，

AG=—AB=—x6=3y/3,

22

则5i=-XBCXAG=-X2X3M=3有

22

s=¥_S?,

当与取最小值时，S取得最大值.

DF=DC=2,

,斤在以。为圆心，DC为半径的圆上.

如图，作。O,当F到直线钻距离最小时，邑取得最小值.

过。作交。。于点F,此时PF最小，

在叨中,

BD=BC-CD=6—2=4,

./R_PD_PD.pc”向

sin/B===—,..PD—25/3,

BD42

:.PF=PD-FD=2y/3-2,

此时S2=gAB.PF=；x6xQW_2)=6G-6,

：.Snm=Sl-S2=3y/3-(6y/3-6)=6-3y/3.

(3)当8、F、E三点共线时，如图所示

过。点作于"，过£点作于

DF=DC=2,NDFH=NC=60,

:.FH=l,DH=6

BD=4,

BH=ylBD'-DH2=

设EC=x

NC=60,

:.CM=-,EM=—x

22

CD=2,

Y

：.DM=2——,

2

2

tan/EBC=叽=也

BHBM

x/3

.昱上

••石一方

2

解得工=>/53-1

EC=V13-1

AC=6

.-.A£,=AC-^=6-(713-1)=7-713

【分析】

m根据轴对称图形的性质，得到是等边三角形,由等边三角形的性质得到NB=

NFDC,证出A8〃FD

过A作BC的高，求出△AC。的面积，再过。作AB的高，通过sin60°和8。求出

(2)

高，根据点尸是在以。为圆心，半径为2的圆弧上和垂线段最短求出PF的最小值(即高减

去半径)，此时S2最小，由于S